Guten Morgen. Es freut mich, dass Sie trotz des Streiks den Weg hierher gefunden haben.

Diejenigen, die es nicht geschafft haben, können sich ja das Video anschauen, hoffe ich, in etwa zwei Stunden. Aber ich bin heute hier, um Ihnen zu erklären, wie Zustände und Messungen beschrieben werden,

im einfachsten Fall in der Quantenmechanik. Kurzer Rückblick auf den Dienstag. Ich hatte die Polarisationszustände von monokomatischen Photonen, die sich in Z-Richtungen einfach bewegen,

definiert durch Einführung eines solchen Symbols, ein Kettvektor. Das ist ein zweikomponentiger komplexer Vektor, der aber nicht Null sein darf.

Diese Beschreibung ist redundant. Es sind vier reelle Werte, die da eingehen. Aber die Polarisation eines Photons wird beschrieben durch eine komplexe Zahl oder zwei reelle Zahlen. Die Renundanz besteht darin, dass wir diesen komplexen Vektor multiplizieren können

mit einer beliebigen, nicht verschwindenden komplexen Zahl, C ohne Null wiederum. Die Menge aller Polarisationen ist nichts anderes als der Quotientenraum,

die Menge der Äquivalenzklassen dieser Relation.

Diese Menge ist nichts anderes als die Kugeloberfläche, oder die komplexe Ebene vereinigt mit dem Punkt im Unendlichen.

Oder die Riemannsche Zahlenkugel, wie immer Sie das nennen wollen. Gegeben ist so eine Polarisation schlichtweg durch das Verhältnis. Warum habe ich es geschrieben? Ich vergesse immer.

C2 durch C1, oder Cy durch Cx. Das ist diese komplexe Zahl. Die kann unendlich sein. Und die Zahl hätte ich P genannt. Das heißt, zu jedem solchen Zustandsvektor gehört ein P.

Aber zu jedem P gehören viele Zustandsvektoren. So etwas nennt man einen Strahl. Strahlen in diesem Raum.

Also jede Richtung sozusagen. In dem komplexen Raum gehört eine Polarisation. Und dann hatte ich den Bra-Vektor eingeführt. Das war ein Kett. Und dieses ist ein Bra. Das ist schlichtweg der dazu konjugierte, komplex adjungierte Vektor.

Wir hatten eine Basis. Eine Orthonormalbasis. Von Zuständen zum Beispiel x und y.

Also orthonormal, da muss ich das Skalarprodukt erklären. Das kommt dann gleich. Aber das ist im Wesentlichen nichts anderes als die Zustände, die Zweiervektoren 0, 1, 1, 0, 0, 1. Ja, in dieser Basis. Und ein beliebiger Zustand z lässt sich einfach entwickeln in dieser Basis.

Das sieht in dieser Schreibweise so aus.

Und dieses hier, ach so, ich sollte vielleicht sagen, die adjungierten Zustände, die adjungierte Basis, ist damit nichts anderes gemeint als die Zeilenvektoren.

1, 0 und 0, 1. Und dann steht hier etwas, das können Sie als eine Zahl. Denn wir haben ein Skalarprodukt.

Phi, Psi. Ich schreibe das hier gerade noch zu Ende. Und das Skalarprodukt ist einfach in dieser Basis. Phi x Stern Psi x plus Phi y Stern Psi y.

Also heißt, wenn ich diesen hier entwickle, kann ich das genauso machen.

Und dann ist dies hier Psi phi, die x-Komponente von Phi. Aber hier muss ich einen Stern dran machen.

Die Regel ist, beim Adjungieren im Komplexen, in einem unitären Vektorraum, müssen wir nicht nur transponieren, sondern auch komplex konjugieren. Sonst ist das Skalarprodukt, was man da herausbekommt, nicht positiv definiert. Das heißt, so wie ich den Kett entwickle nach der Basis xy

mit Komponenten Psi x Psi y, kann ich auch einen Bra entwickeln mit den entsprechenden Komponenten Phi x Stern und Phi y Stern. Und daraus ergibt sich, wenn Sie das einsetzen und die Regeln benutzen, das als eine Orthonormalbasis ist, also x mit x gibt 1, x mit y gibt 0 etc.,

dann bekommen Sie das. Das ist nichts anderes als lineare Algebra in zwei Dimensionen, im Komplex ein bisschen ungewöhnlich hingeschrieben mit diesen Symbolen. Aber das sollte eigentlich aus dem ersten Semester vertraut sein.

Und mit dem Skalarprodukt können wir eine Norm definieren. Die Norm eines Vektors n von Psi ist einfach die Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst. Das ist, wenn Sie so wollen, die Länge, eine positive, reelle Zahl.

Und wir können normieren, einen Vektor, der nicht normiert ist, nehmen und ihn teilen durch seine Länge.

Und wenn ich diesen Vektor anders nenne, den nennen wir was, was ich xy, dann gilt, dass der die Länge 1 hat, wie man durch Einsetzen und Hinschreiben sieht. Das ist klar, wenn Sie einen Vektor durch seine Länge teilen, hat er Länge 1. Und das gilt natürlich auch in dieser Schreibweise.

Das ist noch ein bisschen zu der Notation. Interessant vielleicht hier, das ist nicht symmetrisch, dieses Skalarprodukt, aber es ist symmetrisch mit Komplexkondikation. Also wenn Sie die beiden Argumente vertauschen, gibt es einen Stern.

Manchmal ist das reell. In dieser Basis sind die Basisvektoren real, da ist es egal. Aber wenn die Basisvektoren komplexe Einträge haben, dann ist das Skalarprodukt nicht real und dann müssen sie Komplexkondilieren. Okay, das war eine Basis.

Und dann hatte ich auch andere Basen eingeführt. Okay, machen wir gleich. Wir hatten die Basis R und L, die Basen U und V für entsprechende andere Polarisationen. Das entsprach Polarisation I und –I und das entspricht Polarisation I und –I.

Und diese Vektoren waren Polarisation 0 und unendlich. 0 und unendlich, 1 und –1 sind linear polarisierte Photonen.

In diese Richtung schwingt oder in 45°-Richtung schwingt, in der Y- und X-Ebene. Und diese sind interessanterweise komplexe Basisvektoren, die korrespondieren zu zirkular polarisiertem Licht.

Dann hatte ich die Passierwahrscheinlichkeit bestimmt, einfach als den Anteil der elektrischen Feldenergie, der Feldenergie, der einem Polfilter passiert, der Bruchteil. Und dieser Bruchteil hängt von zwei Dingen ab. Es hängt ab von dem ursprünglichen Zustand, Polarisationszustand, den Sie auf das Filter schicken,

und es hängt ab von der Art des Filters, was für eine Art Polfilters ist. Das heißt, wir haben die Passierwahrscheinlichkeit W, machen wir es gleich allgemein,

von psi, dass ein Photon im Zustand psi einen Phi-Filter passiert.

Der Filter wird auch durch einen Zustand charakterisiert, nämlich der Zustand, der die Polarisation des Filters charakterisiert.

Wenn Sie einen X-Filter haben, dann ist eben dieses Phi zum Beispiel der Basisvektor 1,0 oder X. Und diese Wahrscheinlichkeit, wir haben es an vielen Beispielen gesehen, an mehreren Beispielen, wir haben zwei lineapolarisierte Vektoren gehabt,

da war die Wahrscheinlichkeit einfach das Cosinus-Quadrat des Winkels zwischen den beiden Vektoren. Und dann haben wir es auch ausgerechnet für den Fall, dass ein lineapolarisiertes Photon einen Rechtsfilter passiert, das war ein Halb, wenn Sie sich erinnern.

Da habe ich genau das Gleiche ausgerechnet. Also die Regel in all diesen Fällen ist immer die gleiche. Allgemein war das die Projektion des ursprünglichen Zustandsvektors auf die Richtung im Polarisationsraum, die durch den Filter vorgegeben ist.

Zum Beispiel auf den X-Vektor, auf den Y-Vektor, auf den R-Vektor. Und Projektionen in dieser Sprache ist nichts anderes als Sie nehmen den Zustandsvektor, Sie bilden das Skalarprodukt mit dem Vektor, der die Polarisation angibt.

Und dann musste noch das Quadrat gebildet werden. Diese Formel ist richtig, wenn beide Vektoren normiert sind auf 1. Also die ist nicht allgemeingültig, ich schreibe sie trotzdem mal.

Ich gebe Ihnen eine Nummer, 1,5. Sind wir schon bei 1,5? Ich glaube, dass ich nichts ausgelassen habe. Also die Definition von bra war 1,3, habe ich vielleicht vergessen, weiß ich nicht mehr. Das Skalarprodukt war 1,4, kann man noch mal angeben.

Also im Eifer des Gepächts. Und dann den hier 1,3. Vergess ich das manchmal.

Also für solche Fälle können wir leicht einfach normierte Vektoren nehmen,

und dann ist das die Formel. Für nicht normierte Vektoren müssen Sie solche Normen teilen.

Dann ist die Regel halt einfach, dann ist es das.

Die Norm fällt natürlich raus, es geht nur um die Richtung. Es hängt nur von der Relativen Polarisation des Filters und des Zustands ab. Und nach Passieren des Filters befindet sich das Photon im Zustand Phi.

Normiert oder nicht ist egal. Equivalenzrelation, selbe Physik, selbe Polarisation wird projiziert. Das heißt, wenn Sie X-Polisation haben, können Sie das zerlegen da oben, und dann wird einfach der Y-Anteil gekillt durch das Filter und der X-Anteil wird durchgelassen.

Das ist eine Projektion. Das heißt, die Länge des Vektors wird kleiner, aber wenn Sie dann wieder auf 1 normieren möchten, können Sie das tun. Dann hatte ich diese Fragen gestellt, jetzt kann man noch mal kurz darauf zurückkommen.

Ich hatte Ihnen vorgerechnet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein R-Photon ein X-Filter passiert, glaube ich, ein halbes.

Aber das ist die umgekehrte Fragestellung, ein X-Photon passiert ein R-Filter. Aber die Formel, wenn Sie die Formel anschauen, die ist komplett symmetrisch. Das Skalapodot ist zwar nicht symmetrisch, bis auf Komplexkondikationen, aber da steht Absolutquadrat. Und dafür ist es dann egal, ob Sie einen Stern kriegen oder nicht unter dem Absolutquadrat.

Das heißt, bezüglich Phi und Xi ist die Formel komplett symmetrisch. Das heißt, da kommt auch ein Halb raus. Und das hatten die meisten von Ihnen auch richtig gesehen. Deswegen gehen wir da gleich mal weiter. Ja, okay, nicht ganz vergessen worden. Zu einer nächsten Frage. Können Sie also gleich ein bisschen weitermachen.

Ist schon frei geschaltet? Oder muss ich nochmal drücken? Ja, so, jetzt können Sie abstimmen. Und jetzt sieht man auch die Zahl der Stimmen, das hatte ich letztes Mal übersehen. Also, gucken Sie mal. Das ist auch durch meine Einführung eben schon beantwortet, die Frage.

Der Raum der Polarisationszustände, der reelle, der lineare Raum hat eine bestimmte Dimension. Wie viele Parameter brauchen Sie, um einen Polarisationsvektor im Zustandsraum zu beschreiben? Wie viele relle Parameter gehen da ein? Das ist die erste Zahl, die ich messen möchte. Und die zweite Zahl, die ich messen möchte, ist die Zahl der Redundanzen.

Also, wie viele Einschränkungen, wie viel können Sie machen? Und dann ist irgendwie Differenz D minus R die Zahl der physikalischen Parameter. Die Dimension des Raums der Äquivalenzklassen. Etwas kompliziert ausgedrückt.

Also, die Frage, haben wir vier relle Parameter und eine? Sie wollen noch nicht abstimmen? Ist noch nicht freigeschaltet? Oder Sie denken noch nach? Die Zähler funktionieren nicht. Die Zähler funktionieren nicht? Okay, dann gucken wir gleich mal.

Okay, oder gibt es drei Parameter und am Ende eine? Also, die drei Möglichkeiten bin ich Ihnen an. Brauchen Sie noch Zeit oder sollen wir mal nachgucken? Okay, ich schaue nach. Ich bin neugierig.

Wow, okay. Da haben Sie aufgepasst. Okay, der Zähler scheint nicht zu funktionieren. Keine Ahnung, warum das liegt. Müssen wir das anders machen. Noch eine dritte Frage.

Die Vollständigkeitsrelation. Ich habe sie nicht wieder benannt. Aber Sie sehen sie hier versteckt in diesen Zerlegungen hier. Ja, ich würde nochmal darauf hinweisen, wenn Sie diese Gleichung hier nehmen und einfach das Psi auf der rechten Seite überall rausstreichen, dann kriegen Sie eine Gleichung.

Für diese komischen Symbole, bra ket mal bra. Das ist nicht das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ist bra mal ket. Aber hier haben wir die andere Reihenfolge. Ket mal bra und hier ket mal bra. Und die Summe von zwei solchen Termen, das hatte ich die Vollständigkeitsrelation genannt. Und hier biete ich Ihnen mehrere Varianten davon an,

von solchen Gleichungen. Ich möchte gerne wissen, welche von denen Vollständigkeitsrelationen sind. Freischalten. Sowas gibt es für jede Basis. Wenn Sie nicht diese Notationen gerne mögen, dann denken Sie immer bei ket an den Spaltenvektor

und bei dem bra an den Zeilenvektor. Das ist der Linienalgebra. Es kann mehr als eine Antwort richtig sein. Habe ich nicht gesagt. Sie können nur eine auswählen.

Na gut, dann wählen Sie eine aus, von denen Sie ... Aha, ich glaube, ich habe das ... Dann muss ich möglicherweise etwas umstellen. Das ist insofern aber ungünstig. Na gut, können wir gleich ... Ich habe es so eingestellt, dass man pro Gerät nur eine Stimme abgeben kann. Aber das ist natürlich nicht dafür gedacht,

dass Sie nur eine Antwort auswählen. Ich werde das wieder ändern. Okay, macht denn nichts, solange Sie eine richtige Antwort auswählen, wenn wir hoffentlich ein gutes Spektrum kriegen. Sie denken noch nach?

Zeit genug? Dann schauen wir mal. Also, die überwiegende Mehrheit sagt A und D. Die Mehrheit hat meistens recht. In diesem Fall.

Das stimmt. Gut, das hier sind offensichtlich Skalarprodukte. Das ist keine Vollständigkeitsrelation. Genauso hier oben. Und hier haben wir irgendwie Mischtherme R und L. Das ist sicherlich auch nicht so, von dem, was es sein soll. Ich konnte Sie offenbar oder nur wenige von Ihnen wirklich in die Irre führen.

Gut, aber ich muss hier noch ein bisschen arbeiten. An der Präsentation. Gut, dann reicht das für einen Moment. Ich schließe mal hier die Geschichte. Aber ich werde das regelmäßig einbauen,

die Vorlesung, damit Sie auch, wie ich, ein Feedback kriegen. Und ich hoffe, dass das okay ist.

So, Tafel, Einwand, Jalousie. Ich glaube, es geht.

Okay, Sie sehen genug. Dann mache ich das in der Pause. Ich wollte noch ein paar Worte zu einem Basiswechsel sagen. Das ist etwas, was Sie für die eine Hausübung brauchen. Falls Sie nicht schon durchgeblickt haben dort.

Es ist häufig erforderlich, dass man Gleichungen von einer Basis in eine andere transferiert. Und das wissen Sie im Grunde, wie das in der Linie an Algebra funktioniert. Sie haben eine Basistransformation,

die ist zum Beispiel dargestellt durch eine Matrix. Und wie berechnen Sie dann die Komponenten eines Vektors in der transformierten Basis aus den Komponenten des Vektors in der alten Basis durch Anwendung der entsprechenden Transformationsmatrix. Also um ein Beispiel zu machen.

Wir transformieren von dieser Basis in eine neue Basis. Zum Beispiel x Strich, y Strich. Das kann R und L sein, das kann U und V sein. Das habe ich jetzt nicht festgelegt. Und in der alten Basis

hat der Vektor Pi die Komponenten, die Komponenten psi x und psi y. Und ich schreibe die gleich mal in unserer schönen neuen bra- und ket-Welt. Und in der neuen Basis ist derselbe Vektor einfach x Strich, psi.

Hat andere Komponenten. Nein, ist derselbe Vektor. Aber es ist eine gute Frage. Insofern, als das gerne durcheinandergeworfen wird.

Man kann zwischen aktiven und passiven Transformationen unterscheiden. Bei einer passiven Transformation bleibt der Vektor, was er ist, und wir drehen die Basis und transformieren die Basis. Das heißt, die Komponenten ändern sich, der Vektor ist derselbe. Bei einer aktiven Transformation ist genau das Umgekehrte. Sie behalten die Basis bei und sie transformieren den Vektor in einen neuen Vektor,

aber beziehen beide Vektoren auf dieselbe Basis x, y. Diese beiden Transformationen hängen zusammen. Die Komponenten, wir vergleichen jetzt zwei verschiedene Sätze von Komponenten, hängen im einen Fall durch eine Matrix zusammen,

im anderen Fall durch die inverse Matrix. Das kennen Sie bei Drehungen. Sie müssen die umgekehrte Drehung um den negativen Drehwinkel anwenden, wenn Sie von aktiv auf passiv umschalten oder umgekehrt. Man kann das aber leicht, wenn man das vergessen hat, nachrechnen. Man projiziert einfach.

Wir möchten ja gerne diese Größen durch diese ausdrücken oder umgekehrt. Also nehmen wir einfach die Zerlegung, zum Beispiel in der alten Basis. Wenn man nicht mehr weiter weiß in den Gleichungen, ein guter Tipp ist, einfach mal die Vollständigkeitsrelation zu verwenden,

eine 1 einzufügen. Einmal psi, 1 war das plus das. Ich habe da nur ein 1 eingefügt. Ich hatte die Gleichung z gleich psi und habe die Vollständigkeitsrelation von links ranmultipliziert, wenn Sie so wollen. Und jetzt projiziere ich das auf die neue Basis.

Denn letztendlich, was wir wollen, sind ja die neuen Komponenten. Die kriege ich dadurch, dass ich den selben Vektor, der hat sich nicht geändert, auf die neue Basis projiziere. Projizieren heißt, von links mit einem Basis bra ranmultiplizieren. Also, das mache ich jetzt auf beiden Seiten der Gleichung.

Zu viele Symbole. Einmal mit dem x-Strich oder mit dem y-Strich-Basisvektor.

Schön ausführlich. Viele Striche und Klammern, aber ich hoffe, Sie sehen die Struktur. Und das kann ich jetzt auswerten,

weil was hier entstanden ist, sind Skalarprodukte zwischen den alten und den neuen Basisvektoren. Und hier stehen die Komponenten in der alten Basis. Und links stehen die Komponenten in der neuen Basis. Diese Zahlen sind Linearkombinationen von diesen Zahlen. Also, ich kann das Ganze auch schreiben.

In einer Matrix-Schreibform x-Strich-Y-Psi y-Strich-Psi ist gleich eine 2x2-Matrix x-Strich-X, x-Strich-Y, y-Strich-X, y-Strich-Y

multipliziert mit dem alten Basisvektor. Hier stehen jetzt nur noch Zahlen. Die neuen Komponenten ausdurch die alten mit Hilfe dieser 2x2-Matrix. Und diese Transformationsmatrix, sagen wir M,

wir haben hier eine Basistransformation in einem unitären Vektoraum. Zweitimensional komplex, uniterer Vektoraum.

Bei einem reellen Vektoraum, bei einer Basistransformation, das ist eine Transformation, die das Skalarprodukt erhält. Da wissen Sie, was im reellen Vektoraum ist, das ist eine orthogonale Transformation. Die Skalarprodukte ändern sich nicht. In einem komplexen Vektoraum, in einem unitären Vektoraum, die Skalarprodukte werden hier auch nicht geändert. Die Basis ist ja nach wie vor eine Ortonormalbasis.

Durch die Transformation ändern sich die Skalarprodukte nicht. Das heißt, diese Matrix ist eine unitäre Matrix. Der Unterschied, orthogonal beim reellen Fall, im komplexen Fall haben Sie einen unitären Vektoraum, also diese Transformationsmatrix, ein Element von U2, unitäre 2x2-Matrizen.

Das können Sie auch nachrechnen. Also wenn Sie es nicht glauben, das ist ein guter Test, checken Sie mal, ob diese Matrix unitär ist. Dann entdecken Sie die Vollständigkeitsrelation wieder.

Das wäre eine passive Drehung. Passive, nicht Drehung, allgemein passive Transformation. Und wir können anders auch eine aktive Transformation machen.

Und da wird C nach C-Strich transformiert. Aber diese Transformation würde so aussehen, die würde so aussehen. Wenn Sie die wählen, als aktive Transformation, transformieren Sie sich die.

Hier müssen wir jetzt was anderes machen. Hier müssen wir jetzt die Zustände des neuen Vektors in der einen Basis, die wir haben, ausdrücken durch die Komponenten des alten Vektors.

Also hier haben wir quasi die Umgekehrtransformation für den aktiven Vektor. Und der Zusammenhang zwischen den beiden Zusammenhangen ist,

dass die Komponenten des neuen Vektors in der alten Basis das gleiche ist wie die Komponenten des alten Vektors in der neuen Basis. Und das gleiche mit y. Also das ist der Zusammenhang zwischen aktiver und passiver Transformation.

Wenn Sie das benutzen, dann können Sie diese Formel sehr schnell ableiten, aus der da oben. Also ich mache das jetzt nicht vor, das ist ein bisschen langweilig. Am einfachsten sehen Sie es bei Drehungen. Und das ist das Beispiel, was wir auch brauchen werden. Schreibe ich jetzt mal hier in dieser Ecke.

Das ist nur eine kurze Formel. Beispiel reelle Drehung. Also eine Drehung in einem Komplex 2 mit einer reellen Drehung ist ja auch eine unitäre Transformation. Wenn alles reell ist, macht das Komplexkonjugieren keinen Unterschied. Das ist erlaubt.

Um einen Winkel theta. Und dann lautet die Matrix. Die können wir auch Rotation von theta nennen. Und die Matrix kennen Sie alle.

Das ist ein Beispiel für eine solche Transformation. Das ist eine passive Drehung. Das schreibe ich deshalb an. Wir werden nämlich gleich, ein bisschen später in der Vorlesung,

dieses Beispiel häufiger verwenden. Und insbesondere werde ich die Eigenzustände, die Eigenvektoren dieser Drehmatrix brauchen. Das kennen Sie vielleicht, im Reellen gibt es da gar keine Eigenvektoren. Eine zweidimensionale Ebene wird kein Vektor festgelassen. Im Reellen.

Aber wir sind im komplexen Vektorraum, da sieht das anders aus. Da gibt es tatsächlich komplexe Vektoren, die von solchen Drehungen nicht geändert werden. Ok, neues Unterkapitel.

Ich möchte eine neue Observable einführen. Bisher hatten wir nur die Passierwahrscheinlichkeit als Observable. Das ist nur eine Wahrscheinlichkeit. Also gibt die Wahrscheinlichkeit an,

ob für eine Ja-Nein-Entscheidung, Photon passiert, Photon passiert nicht. Und ich möchte jetzt Wahrscheinlichkeiten einführen, für etwas allgemeinere physikalische Fragestellung. Und nicht einfach nur Ja-Nein-Fragen sind. Und das mache ich an einem anderen physikalischen Beispiel fest. Nicht der Energie meines Photonfeldes,

sondern am Drehimpuls. Oder etwas moderner ausgedrückt. Für Quantenfelder, für Photonen, das sind ja Quantenobjekte, nennen wir das dann nicht der Drehimpuls,

sondern der Anteil des Drehimpulssystems, der heißt Helizität. Und genauso wie vorher mit dem experimentellen Input, dass die Energie dieser elektromagnetischen Welle sich zusammensetzt aus den Einzelteilen der Energie eines jeden einzelnen Photons

mit Beitrag H quer Omega, ist hier ein ähnliches Input experimentell erforderlich. Und der lautet, dass der Drehimpuls einer Lichtwelle

sich zusammensetzt aus den Drehimpulsen der einzelnen Photonen.

Wobei, das ist die Einschränkung, der Drehimpuls eines Photons in Flugrichtung.

Und wir gucken nur den Drehimpuls in Flugrichtung an. Das Photon geht in Z-Richtung nach wie vor und wir schauen die Komponente an vom Drehimpuls in Z-Richtung. Andere interessiert uns nicht. Also nur eine Zahl, die Komponente gegeben ist

oder nicht gegeben ist, sondern nur die Werte H quer oder minus H quer

annehmen kann.

Das Vielfache von H quer, also plus eins oder minus eins, das ist das was Helizität heißt.

Diese beiden Möglichkeiten gibt es. Das ist natürlich anders als im klassischen Fall, wo ein Teilchen irgendwie den beliebigen Drehimpuls haben kann, aber die Photonen sind halt was Besonderes. So, und jetzt mache ich wieder das Gleiche, was ich bei der Energie gemacht habe, um den Drehimpuls zu bestimmen,

der zu dem Potentationszustand C gehört, berechne ich erstmal klassisch den Drehimpuls aus einer klassischen Welle und dann breche ich das wieder runter auf einen Photon. Das ist wieder die Strategie. Also Drehimpuls einer klassischen Lichtwelle

und dazu brauche ich die Impulsdichte, die hatten wir schon gehabt, die ist eins durch C E Kreuz B und da habe ich jetzt eine Energiedichte hatten wir, E Quadrat plus B Quadrat.

Impulsdichte kennen Sie das Pointing Vektor E Kreuz B? Dichte, Impuls, er hat eine Richtung, das ist ja ein Vektor. Und die Drehimpulsdichte, das ist vielleicht nicht so vertraut. Weiß jemand wie die lautet für ein elektromagnisches Feld?

Da kam ein bisschen Elektrodynamik vor. Meistens guckt man sich den Energienpulstensor an, da sind dann die Komponenten Energiedichte, Impulsdichte, Energieflussdichte und diese Spannungskomponenten vom Spannungstensor. Macht den 4 x 4 Tensor T µ µ.

Dann gibt es aber auch noch einen Drehimpulsstensor, der hat drei Indizes T µ µ Rho. Da gibt es sozusagen zwei Indizes, die geben die Ebene an, in der gedreht wird. Der dritte Index ist der Index, der an die Richtung,

die Komponente, ob Fluss oder Dichte. Ne? Traut sich keiner was zu sagen? Na ja, wie ist das in der Mechanik? Wenn Sie einen Puls haben, wie kriegen Sie den Drehimpuls da draus?

R · P. Das ist beim elektromagnetischen Feld nicht anders. Das ist die Drehimpulsdichte. Und der Gesamtdrehimpuls ist demnach L,

1 x C. Dann integrieren wir über ein Volumen diese Dichte. Drehimpuls in einem Volumen V. Das ist wichtig, denn Sie sammeln die Drehimpulse

in den einzelnen Teilen der Welle und je nachdem, was Sie da nehmen, kriegen Sie einen anderen Wert. Jetzt könnte ich Sie fragen, was erwarten Sie denn, was da rauskommt für eine monochromatische Welle in Z-Richtung?

Sie würden, denke ich, berechtigterweise die Antwort geben, da soll Null rauskommen. Warum? Na ja, für unsere Welle

ist E · B in Z-Richtung. Der Pointingvector zeigt die monochromatische Welle in Flugrichtung. E und B sind in der XY-Ebene, also ist das Kreuzprodukt in Z-Richtung. Dann ist R · E · B

sicherlich senkrecht. Das ist ja ein Kreuzprodukt von einem Vektor in Z-Richtung mit einem Ortsvektor. Der Kreuzprodukt steht immer senkrecht auf den beiden Teilvektoren. Aber das bedeutet, dass die Komponente vom Drehimpuls

in Z-Richtung verschwinden soll. Der Anteil hier, der Z-Anteil, wenn Sie das skalaarm modifizieren, projizieren auf die Z-Richtung, gibt es Null. Aber das ist nur richtig für eine unendlich ausgedehnte Welle.

Bei einer endlichen Welle ist es anders. Eine endliche Welle sieht so aus, dass das ganze Wellenpaket,

hier ist die Z-Richtung, sich in einem Zylinder befindet. Außerhalb fallen die E- und B-Vektoren ab, das sind Null. Wir wollen die Welle begrenzen auf ein endliches, räumliches Gebiet. Dann ist unser Volumen V und hier gibt es einen Rand des Volumens,

LV, ein Rand. Die Maxwell-Gleichungen am Rand sind komplizierter, da muss man übergehen. Das ist keine ebene Welle mehr, E und B ändern ihren Betrag. Am Rand gilt eben nicht mehr, dass E Kreuz B proportional zu EZ ist

oder parallel zu EZ. Deshalb gibt es einen Beitrag mit dem Rand bleibt etwas über. Der Beitrag ist natürlich proportional zur Oberfläche. Das kann man vernachlässigen zum Volumen,

wir haben ein Volumenintegral. E Kreuz B ist proportional zur Oberfläche, aber wird mit R multipliziert. Deshalb gibt es wieder ein Faktor R, und am Ende ist es doch ein Volumeneffekt. Ich kann Ihnen das kurz vorrechnen.

Ich will das nicht zu ausführlich machen, ich mache das in 5-10 Minuten, dann machen wir die Pause, wie das ungefähr geht. Das ist nichts, was Sie für die Verständnis

der Vorlesungen wirklich brauchen. Nur um Sie zu überzeugen, dass ich Ihnen keinen Quatsch erzähle, möchte ich mein Argument ein wenig substantiieren. Ich habe Ihnen gerade erzählt, dass Sie eigentlich keinen Drehimpuls erwarten.

Eine kleine Rechnung dazu. Wir haben die Max-Wirgleichung, Divergenz E ist 0, keine Quillen, B ist Rotation A,

und E ist minus 1 durch C die Zeitableitung von A, denn ich setze das elektromagnetische Skalarpotential zu 0. Das kann ich machen, weil ich keine Quellen habe. Ich stecke alles in das Vektorpotential.

Die Idee ist, ich ersetze in unserer Formel B durch A, und entferne das explizite R aus der Formel.

Da steht R Kreuz, E Kreuz, B. Ich will das R loswerden. Wenn ich B einsetze, habe ich eine Ableitung. Dann mache ich eine Partiellintegration, und ein Teil der Ableitung wird auf den Vektor R fallen. Das ist die Idee.

Ich setze das alles ein. Das sieht ziemlich kompliziert aus. R Kreuz, E Kreuz, Rotation A,

also ein 4-faches Kreuzprodukt. Dann verwenden sie die Bac-Zap-Formel, Divergenz E,

R Kreuz. Jetzt mache ich das in Komponenten. Ich schreibe das ein bisschen, weil die Skalarprodukte sonst nicht so oft gut zu sehen sind. A I minus E I D I A. Das ist sozusagen

Skalarprodukt von E mit A mal den Vektor Gradient NABLA minus Skalarprodukt von E mit NABLA mal den Vektor A. Ich habe hier Bac-Zap verwendet. Das I wird summiert. Einstandige Informationskonvention. Das taucht zum ersten Mal auf.

Das I wird summiert. Jetzt mache ich eine Partiellintegration P I. Dann kriegen wir folgendes.

Wir kriegen einmal den Ausdruck, wo die Ableitung hier ... Moment, das bleibt stehen. Da mache ich nichts. Ich schreibe ihn noch ein bisschen anders. E I R Kreuz V NABLA auf A I.

Das ist dasselbe. Ich habe nur umgeschrieben. Das E I und das R vertauscht. Hier haben wir eine Art Sparprodukt. Hier haben wir ein Skalarprodukt. Ich habe gar nichts geändert. Die beiden Vektoren sind R und NABLA.

Die stehen nach wie vor hier. Ich habe nur das E I vorgezogen. Das ist eine Zahl. In dem anderen Ausdruck mache ich eine Partiellintegration. Das ist ein Minuszeichen. Die vorgezogen.

E I R Kreuz A. Das ist R Kreuz A. Die nach vorne. Die Partiellintegriert wirkt es hier drauf. Diese Ableitung wird partiell integriert. Ich kriege einen Beitrag neben dem Gesamtherm. Ein Beitrag, wo die Ableitung hier drauf wirkt.

Und einen, wo sie hier drauf wirkt. Die schreibe ich jetzt beide hin. Der erste, wo es auf das R wirkt, ist das. Kreuz E I A. Der andere ist R Kreuz D I E I mal A.

Das sieht jetzt kompliziert aus. Aber einiges fällt weg. D I E I ist die Differenz von E. Das können wir schon mal streichen. D I R ist nichts anderes als der I der Einheitsvektor. Dieses hier behaupte ich ist Null.

Das liegt daran, das ist wirklich ein Oberflächentherm. Aber der ist nicht proportional zu R. Das ist der Witz. Der Integräne über das Gesamtvolumen ist vernachlässigbar, wenn das Volumen groß wird. Da steht eine Ableitung.

Das kann ich nach Stokes schreiben, als ein Integral über die Oberfläche von V von dem Ausdruck. Normalen Vektor, skala-multipliziert mit diesem hier. Das kann ich wegschmeißen. Dann bleibt nicht mehr so viel über.

Zwei Terme bleiben über. Ich schreibe mal den zuerst. Den E I Kreuz A.

Und E I R Kreuz Nabla angewandt auf A I. Dies hier ist das, was man den Bahndrehimpuls nennt. Eines Lichtfeldes. Und dies hier nennt man den Spindrehimpuls.

Hier haben wir zwei Teile, die etwas unterschiedlich aussehen. Für eine ebene Welle verschwindet der zweite Term.

Warum? Weil das, was da steht, R Kreuz Nabla, das ist nichts anderes, als wenn ich die Z-Komponente angucke. Das ist das, was ich brauche bei der ebenen Welle. Ich möchte gerne die Z-Komponente.

Also, Entschuldigung, Z-Komponente. Nicht das Ganze. Ich will ja LZ haben, wie in Flugrichtung. Z-Komponente verschwindet, denn die Z-Komponente von diesem Term hier, das ist ja der Drehimpuls, ist nichts anderes, als die Ableitung nach dem Winkel in der Ebene.

Winkel in XY-Ebene. Und dieses hier ist ein Ungleich Null nur am Rand.

Wo die Gleichungen anders sind. Also für eine ebene Welle. Eine ebene Welle hat keine Viehabhängigkeit. Das Vektorpotenzial, das können Sie nachgucken. Also, die Behauptung ist, für einen Bahndrehimpuls,

das ist auch, was Sie erwarten würden, eine ebene Welle in Z-Richtung hat keinen Bahndrehimpuls in Z-Richtung. Aber hier ist noch ein Term, der erst bleibt übrig. Also, das verschwindet, geht gegen Null, für V nach und endlich, V groß.

Und übrig bleibt Lz. Also, die ist ungefähr, also in guter Näherung, 1 durch C integral über das Volumen, D3R. Und hier haben wir einfach den election-Feld-Vektor E Kreuz A.

Die Z-Komponente. Und das ist das Ergebnis meiner kleinen Rechnung. Das kann man sich gleich merken. Und das Einzige, was wir jetzt noch brauchen, und dann setze ich das ein, wir müssen jetzt A kennen. E kenne ich ja schon.

Und was ist A in dem Fall? Naja, unser Ansatz für die ebene Welle, ich erinnere nochmal, E ist E x, E y und der Phasenfaktor E kz minus I omega t.

Mit komplexen Koeffizienten. Und A kriegen Sie aus E, einfach indem Sie auf die Obergleichung hier gucken. E ist die Zeitableitung von A. Also, wir müssen einfach nur diesen Phasenfaktor einmal hoch integrieren in T. Dann kriegen Sie A.

Oder wir raten es, ich schreibe es Ihnen hin, dann könnt ihr es überprüfen, es ist einfacher. A ist einfach C durch I omega E x, E y mal E hoch I kz minus I omega t. Oder diese Komponenten können wir natürlich A x A y nennen,

wenn Sie wollen. Wenn Sie nämlich hier nach T differenzieren, dann kommt ein I omega runter, ein minus I omega kommt runter, kürzt sich mit dem hier vorne weg. Und dann haben wir noch ein Minuszeichen und eins durch C, und dann ist da vorne alles weg. Dann kommen Sie auf E.

Also, jetzt habe ich einen Ausdruck. Ich habe E und A ausgedrückt durch die E x Y Komponenten. Das ist ja im Wesentlichen wieder unser psi. Und das setze ich dann gleich ein in diese Formel und rechne aus, was für ein einzelnes Photon, z. B. psi, rauskommt. Für den Spinnanteil des Drehimpulses in Z-Richtung.

Gut, Pause. Zur Fortsetzung. Oder sollen wir noch zwei Minuten warten? Geht? Ist gleich so weit, ne? Also, gut. Dann rechne ich ihn jetzt aus, was rauskommt für eine ebene Welle,

für den Z-Komponente des Spinnanteils des Drehimpulses. Ausgedrückt eben durch die Polarisationskomponenten E x, E y oder vielleicht einer anderen geeigneren Basis. Erstmal in der X-Y Basis. L z ist eins durch C mal den Volumenintegral von E x A.

Und dann setze ich jetzt den Ansatz, den ich jetzt eliminiert habe, durch wischen, aber den Sie hoffentlich noch vor sich sehen,

einfach da ein. Nur muss ich aufpassen, natürlich wieder bei allen quadratischen Ausdrücken wie der Energie real und imaginär teilzunehmen. Nicht die komplexen Größen miteinander multiplizieren. Das funktioniert nur bei linearen Gleichungen. Also, wir nehmen den Realteil von unserem E x

und müssen ihn multiplizieren mit dem Realteil von A y. Und dann subtrahieren wir das in umgekehrter Reihenfolge, E y Realteil A x. Die Z-Komponente vom Kreuzprodukt ist x Komponente von E mal Y-Komponente von A,

Minus umgekehrt. Kreuzproduktbildung aus Komponenten, kathetische Vektoren. Und ich habe nur Realteil davor geschrieben, damit wir sichergehen, dass da auch Sinus und Cosinus stehen. Okay, jetzt möchte ich nicht jedes Mal diesen Phasenfaktor abschreiben. Ich kürze den einfach mal ab.

Das nenne ich E hoch I alpha. Für den Moment, nur für diese Tafel. Denn jedes dieser Es enthält ja... Ah, so, Entschuldigung, ich sollte vielleicht... Das ist die gesamte... Ah, das war jetzt irreführend.

Hier stehen ja noch die Ortsabhängigkeit. Also, hier muss ich eigentlich schreiben von T und R. Von T und R. Das ist nicht die Komponente alleine, sondern die Komponente mal der Phase. Von T und R. So, und jetzt setze ich aber das ein.

Und, naja, was ist das? Das ist ein halb... Der Realteil ist ein halb... Okay, vielleicht... Zum Beispiel E x von T und R

ist E x mal E hoch I alpha, ja, etc. Alpha enthält die X, die Z- und T-Abhängigkeit. Ist das klar? Die X-Komponente jeweils von der gesamten ebenden Welle, und das ist eben eine Zahl, die komplexe Amplitude,

mal diese Phase der Welle. Die steht ja noch drinnen, aber ich muss ja darüber integrieren. Also ist das hier E x jetzt ohne Argument, also nur die komplexe Amplitude, mal E hoch I alpha, plus den komplex konjugierten, geteilt durch zwei. Das ist der Realteil. Der Realteil ist

komplexe Zahl plus komplex konjugierten halbiert. Das selbe mache ich für a, ein halb a x, naja, aber a y, E hoch I alpha, plus a y Stern, E hoch minus I alpha,

und dann muss man das Ganze noch malsch hinschreiben, andersrum, E y, E hoch I alpha, da gibt es einen Stern, I alpha, mal ein halb a x, E hoch I alpha, plus a x Stern,

minus alpha. Alright, da habe ich den Realteil ausgeschrieben. Naja, jetzt kann man das ein bisschen sammeln. Die zwei Halben ziehe ich nach vorne, ein Viertel. Und jetzt sehen Sie, wir haben Terme,

jetzt gucken Sie auf die Phasen, wir haben Terme beim Ausmultiplizieren, die E hoch 2 I alpha haben, wir haben Terme, die keine Phasenabhängigkeit haben, wo E hoch I alpha mit E hoch minus I alpha multipliziert wird, und wir haben solche, wo E hoch minus 2 I alpha vorkommt. Die sammle ich jetzt. Also E hoch 2 I alpha.

da steht jetzt Ex Ay minus Ey Ax, das sind diese beiden, dann gibt es die Terme mit E auch minus 2i alpha, das ist Ex Stern Ay Stern minus Ey Stern Ax

Stern und dann gibt es die Terme ohne Phase, wo sich die beiden Phasen weg geben und das ist Ex Ay Stern plus Ex Stern Ay minus Ey Ax Stern minus Ey

Stern Ax. Das sind alle acht Terme, 4 plus 4 und Ihnen fällt vielleicht auf, die

Terme, die eine Phase noch haben, da ist das die beiden Argumente in dem Produkt, die beiden Faktoren sind entweder beide nicht gesternet oder beide gesternet und etwas mit etwas gesternetem, diese Paarung tritt immer nur auf bei den Termen, die keine Phasenabhängigkeit haben. Aber gut, wir müssen jetzt

integrieren. Die Abhängigkeit von R und T oder von R steckt nur in dem Alpha. Was passiert jetzt, wenn ich diese Phase hier integriere oder zweimal die Phase, 2i alpha über ein Volumen. Da sind viele Wellenzüge drin.

Nach Annahmen ist das V groß gegenüber der inversen Wellenzahl. Naja, das ist so ein Sinus und Cosinus, da schwingt jemand hin und her und der Mittelwert von Sinus oder Cosinus ist Null. Das heißt, wenn Sie integrieren d3r

e hoch i alpha über ein Volumen oder wenn ich hier i n mal alpha mache, zweimal oder minus zweimal, dann ist das nur dann nicht Null, wenn n gleich Null ist. Also ist proportional zu Delta n Null. Und zwar, ich kann auch sagen,

was es ist, wenn es ist es V mal. Und vielleicht nicht gleich, aber für ein großes Volumen. Für V groß gegenüber inverser Wellenzahl. Dann mitteln sich alle Schwingungen weg, es sei denn, es sind keine da. Bei n gleich Null haben wir Konstante, dann ist das eine 1 und dann steht hier einfach das Integral,

gibt einfach nur das Volumen. Und das bedeutet, dass diese Therme und diese Therme im Integral keine Rolle spielen. Die sind klein, die mitteln sich raus.

Ja, mitteln sich weg und über bleibt in guter Nährung, ja meinetwegen machen sie so, ja, ist nicht exakt, aber wird immer besser, wenn V groß ist. Bleibt übrig, eins durch vier C. Jetzt mache ich noch folgendes, ich ersetze das A schon durch das E. Sie erinnern sich,

die A-Komponenten waren die E-Komponenten mal C durch I Omega. Habe ich ganz kurz vor der Pausing geschrieben. Also C durch I Omega schreibe ich davor, dann schreibe ich für jedes A, schreibe ich ein E. Die Integration ist schon gemacht, gibt nur ein V und übrig bleibt dann einfach nur EX,

EY Stern, Minus und hier steht das gleiche aber nochmal, ne plus Moment, ne Entschuldigung, nicht das gleiche nochmal, Vorsicht, EX,

irgendwas habe ich jetzt gerade falsch gemacht, aber wir hatten noch ein Minus-Zeichen, die A-Komponenten, ne, jetzt sehe ich gerade ein Minus-Zeichen hier.

Hier, weil ich diesen Termin gerade hinschreibe, aber wenn ich den ersten Termin hier nehme, ah, jetzt sehe ich es gerade, ja, ich habe ein Minus-Zeichen, ich mache es schon so hier in der Reihenfolge, aber dann muss ich hier ein Minus-Zeichen machen, ich muss ein bisschen aufpassen, vielleicht noch

mal zur Erinnerung, AX ist gleich 1 durch C durch I Omega EX, ja, aber wenn ich diese gleich im Komplex konjugiere, AX Stern, bekomme ich durch das I hier unten ein Minus-Zeichen,

ok, das habe ich übersehen, das heißt die Beiträge, wo hier ein Stern auf dem A ist, muss ich ein Vorzeichen spendieren, wenn ich das de facto vorziehe und das durch E ausdrücke, bei dem zweiten Termin ist ok, EX Stern EY, der dritte Termin ist wiederum, da ist das Stern auf

dem A, ein anderes Vorzeichen, EY, EX Stern und der letzte Termin ist in Ordnung, EY Stern EX, so, das war jetzt ein bisschen, ein bisschen aufpassen, aber jetzt müsste man eigentlich

sehen, dass die Terme paarweise gleich sind, der erste und der letzte Termin und die beiden Mittler sind gleich, also C hebt sich weg, also V durch 2 I Omega und dann steht da EX Stern

Kreuz EY, das ist der Minus EY Stern EX, ok, das ist das Ergebnis in der kathesischen Basis, ok, also wenn sie die Polarisation angegeben haben durch die E in der XY Basis durch die

Komponente XY, ist das das Ergebnis für die ebene Welle, Spinnanteil der Drehimpuls in die Z-Richtung, so, jetzt möchte ich das aber umschreiben, mir gefällt diese Basis nicht, aus irgendeinem Grund, das ist also in der XY Basis ausgedrückt, das Resultat ist

natürlich allgemein richtig, aber die Komponenten sind ja in dieser Basis, ich möchte gerne einen Basiswechsel machen, und zwar möchte ich in die RL Basis wechseln, ja,

da erinnern sie sich einfach nur, dass EX gleich 1 durch Wurzel 2 ER plus EL war und die

Y war 1 durch Wurzel 2 ER minus EL, nicht 1 durch Wurzel 2, Entschuldigung, ganz wichtig, ein I durch Wurzel 2, da steht ein I, eine Varianteilung, also ich muss nur die alten

Basiskomponenten durch die neuen ausdrücken und dann nur einsetzen, also die ausdrücken durch die, ich setze das hier oben ein, da kriege ich einen Ausdruck in den RL Komponenten, also das ist jetzt nicht schwer, da kommt raus, V, da kriege ich ein I, weil da kommt

ja immer einer mit Y und einer mit X, also einmal kriege ich immer ein I, und ich bekomme in Wurzel 2 zweimal, also wieder ein Faktor 2, zusätzlich durch die zwei Faktoren Wurzel 2, da habe ich eine 4, das ziehe ich alles raus, und dann bleibt da noch, naja, ich setze

einfach ein, ER Stern plus EL Stern, das ist EX Stern, EY ist ER minus EL minus ER

Stern minus EL Stern, und hier habe ich einfach nur ER plus EL, okay, das können Sie wieder leicht ausmultiplizieren, und dann ergibt sich wieder paarweise Gleichheit, vier Terme,

nee, einiges fällt weg, also ER Stern, ER hält sich raus, EL Stern, die Diagonaltermen heben sich weg, ja, und die Kreuzterme bleiben übrig, ER Stern, EL, EL Stern, ER, aber die kommen jeweils zweimal vor, mit gleichem Vorzeichen. So, wenn Sie dann

kürzen, das I kürzt sich, der Faktor 2, zwei gleiche Terme, kürzt die 4 zum Teil weg, das bleibt über, und EL Stern, ER, oh, ER, er ist R, minus EL Stern, EL, oder anders

geschrieben, vielleicht machen Sie das besser, das ist nichts anderes als das Absolutquadrat von der rechtszirkularen Komponente minus das Absolutquadrat von der linkszirkularen Komponente,

also so kann man, das ist das gleiche Resultat, und jetzt normiere ich das auf einen Photon, ich mache das gleiche wie bei der Energie, ja, Sie erinnern sich, ich schreibe E ist gleich

die Wurzel aus 2 h quer Omega durch V mal Xi entsprechende Komponente, also Umrechnung von E auf Xi, Feldkomponization auf Komponenten des normierten Zustandsvektors ist nur dieser Skalierungsfaktor. Wenn Sie das einsetzen, dann sehen Sie, E kommt ja quadratisch

vor, Sie kriegen den Faktor 2 h quer Omega durch V, und hier steht V durch 2 I Omega, er hebt sich fast alles weg, ah, Entschuldigung, kein I, wie komme ich auf das I hier, kein I, er hebt sich alles weg bis auf das h quer, 1 h quer bleibt über, also es bleibt

übrig, Lz ist gleich h quer Xi r Quadrat minus h quer Xi l Quadrat, und das kann

ich ein bisschen anders schreiben, weil Xi r ist ja nichts anderes als die Projektion, die Komponente von meinem Zustandsvektor auf den Basisvektor r, wie x Komponente

projizieren Sie auf x Basisvektor, r Komponente heißt projizieren auf den r Basisvektor, mit dem Basis bra von links ran multiplizieren, gibt die Zahl, ja, Skalarprodukt mit Basisvektor, der ist auf 1 normiert, ist einfach die Projektion, okay, das ist eine

wichtige Formel, die mache ich gleich weiter gebraucht von, deswegen kriege ich eine Nummer, das ist jetzt also das Endergebnis, wie berechne ich den Drehimpuls eines Photons im Zustand Xi, ja, dazu ist diese RL-Basis die einfachste, so, und jetzt habe ich

wieder das gleiche Problem, das kann nicht der Drehimpuls eines einzelnen Photons sein, denn nach dem Input, habe ich ja weggewischt, nach dem Quanteninput hat jedes Photon nur Spinnen oder Helizität plus H quer oder minus H quer, okay, aber diese Zahl hier ist nicht

einfach plus oder minus H quer, die kann alle Möckchenwerte annehmen, das hier kann zum Beispiel 0,7 sein und das kann minus 0,4 sein, ja, es gibt irgendetwas proportional zu H quer, irgendeine reelle Zahl, ja, vielleicht ist die beschränkt, kann nicht beliebig groß sein, aber die ist nicht einfach nur einmal oder minus einmal H quer, ja,

also haben wir wieder das gleiche Problem, wir können, also experimentell gefunden, Photonen tragen nur einmal H quer oder minus einmal H quer als Helizität, also

eigentlich ein Widerspruch und der Ausweg ist, dass diese Formel gibt nicht den Wert

eines Photons, den Spinnwert oder Helizitätswert eines Photons, sondern es gibt den durchschnittlichen Wert des Drehimpulses, wenn Sie viele identische Photonen betrachten, die Photonen sind identisch, aber Ihnen kommt kein Drehimpuls zu, sondern Sie haben nur im Mittel einen Drehimpuls

Wert, erst wenn wir den angucken, wenn wir den messen, stellen wir fest, ein paar Photonen haben plus eins, ein paar minus eins, mal H quer, vielleicht haben 80% plus H quer und 20% minus H quer, dann wird der Mittelwert irgendwo dazwischenliegen.

Wir hatten ja jetzt bei der Anschauung den Urlaub, aber wenn wir uns die Fälle anschauen, dann kann ich ja nicht sagen, dass es gelingen und endlich die große Niederrichtung ist, außer bei der Kugelwelle. Also der Zylinder, das ist schon zylindrisch und der Zylinder soll halt groß sein gegenüber

der Länge der einzelnen Wellenzüge, sodass da viele Wellen reinpassen, also die Ausdehnung soll groß sein gegenüber der inversen, also auch die Länge in Z-Richtung, die Deckel können, das ist ja auch Oberflächentherm, wenn der Zylinder groß wird, ist das

der Oberfläche klein gegenüber dem, was im Inneren passiert, auch wenn der Zylinder unendlich lang ist, ist trotzdem noch so. Ja, aber wieso wählen wir denn, sag ich mal, dass den Zylinder unendlich vom Durchmesser, das ist doch nicht krank. Nein, nicht unendlich, das ist doch nur groß.

Die Lichtwelle, ich will jetzt nicht so einen kleinen, dünnen Strahl haben, dann wird diese Nährung nicht mehr gut sein. Genau das meine ich, wir trauen uns doch einzelne Photonen an, dann kann ich wieder nicht sagen, dass die Photonen irgendwo dünn sind. Nein, nein, die Photonen sind Bestandteile eines großen Lichtfeldes, was eben in diesem Zylinder existiert, also wir gehen aus, das ist ja erst die klassische Betrachtung,

wir haben dieses Lichtfeld, was konzentriert ist auf diesen großen, breiten Zylinder, da sind viele Wellenzüge drin und jetzt breche ich sozusagen diese Berechnung runter auf einen Photon, weil diese Wellenzüge besteht aus N, wie der N-Photon, die wandern alle innerhalb dieses Zylinders entlang, aber irgendwo.

Die sind ja nicht lokalisiert. Nur, dass die sich nicht außerhalb des Zylinders befinden, da ist nix. Irgendwo da drin.

Also, ich will sagen, wir haben identische Photonen und eigentlich haben wir ein Problem damit, jedem Photon einen Drehimpulswert zuzuordnen. Also, man muss sich verabschieden und das ist jetzt der erste Fall von, man könnte es Realitätsverlust in der Quantentheorie nennen. Ja, das ist etwas, was Einstein halt auch immer gestört hat.

Er war der Meinung, dass zu einer vollständigen Beschreibung der Realität jedem Bestandteil, der eine physikalische Observate zugeordnet werden kann, auch ein Wert zukommt. Also, Photonen haben eine Helizität, die halt plus oder minus eins sein kann.

Also, muss jedes einzelne Photon, wenn es da durch die Gegend wandert, eben Helizität plus eins haben oder minus eins haben. Und das steht im Widerspruch zu dem hier, wenn die alle identisch sind, haben sie alle im Zustand psi, alle Helizität plus eins oder alle Helizität minus eins, die alle identisch. Wir haben einen Zustand psi, alle Photonen haben den selben Zustand.

Es kann nicht sein, dass einige plus Hackweh und andere minus Hackweh haben. Das widerspricht der Annahme. Also, der einzige Ausweg ist zu sagen, es stimmt nicht. Den Photon kommt keine Helizität zu oder die Helizität kommt als Eigenschaft zu, aber diese Helizität hat keinen festen Wert.

Wir können nicht sagen, die Helizität ist plus eins oder minus eins viel das Photon. Dieser Wert kommt dem Photon nicht zu. Das ist etwas, was Sie untersuchen können. Aber mit dem Moment, wo Sie die Helizität messen wollen, feststellen wollen, ändern Sie den Zustand. Wir haben gesehen, dass so ein Filter, was Photon durchlässt oder nicht,

anschließend den Photon in einen anderen Zustand versetzt. Bevor das Photon durch den Filter geht, wissen wir schlichtweg nicht, welche Helizität es hat. Und es ist schlimmer, es hat keine. Der Wert ist nicht festgelegt, er ist unbestimmt. Das ist also ein Teil der physikalischen Realität, von der Sie sich

abschienen müssen in der Quantentheorie. In der Regel ist es so, dass bestimmte Observablen Ihrem System keine festen Werte zukommen. Sie sind nicht festgelegt. Erst wenn Sie nachgucken, verfrachten Sie das System in einem Zustand, in dem der Wert festliegt.

So etwas lapidar gesprochen, dieser Spruch, der Mond ist nur da, wenn man hinguckt. Das ist natürlich eine maßlose Übertreibung dieses Sachfalls, aber hat eine gewöhnliche Wahrheit. Das gilt nicht für klassische Systeme wie den Mond.

Also der Ausweg, ein einzelnes Photon im Zustand Ψ, hat in der Regel, es gibt Ausnahmen,

keinen definierten Lz-Wert. Aber es gibt einen Präzisen Mittelwert von Lz

bei vielen identischen Photonen im Zustand Ψ,

ist definiert. Und wie ist der Mittelwert definiert? Viele identische Photonen heißt auch, wir können das Experiment oft wiederholen. Wir müssen nicht viele Photonen in einem Lichtstrahl betrachten.

Wir können auch ein Photon nehmen und das immer wieder losschicken. Und wir präparieren das Photon immer im selben Zustand Ψ. Und wir messen irgendwie die Helizität und da kommt dann eine Verteilung aus. Und den Mittelwert können wir vorher besagen. Wir können nicht sagen, was das einzelne Photon uns liefert bei der Messung. Aber wir können sagen, wenn wir das oft genug machen, was für eine Verteilung der Helizitäten rauskommt.

Und ich erinnere, was der Mittelwert ist. Der Mittelwert einer Größe A oder einer Verteilung wird berechnet auf diese Art und Weise,

wobei dies hier die möglichen Messwerte sind und das sind die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten.

Also wenn ich den Mittelwert des Alters der Zuhörer in diesem Hörsaal ermitteln will, dann ist eine Möglichkeit, ich gebe für jedes gegebenen Alter, das Alter ist quantisiert, es sind ganze Zahlen, wir messen nur die Jahre. Dann gucke ich, was weiß ich, wie viele sind 21 Jahre alt, wie viele sind 22 Jahre alt,

wie viele sind 18 Jahre alt. Und jede Zahl, 18, 19, 20, ein Ai, multipliziere ich mit der Häufigkeit. Wie viele von Ihnen haben dieses Alter? Oder das ist ja nichts anderes als bei großen Zahlen die Wahrscheinlichkeit des Auftretens. Und dann kriege ich den Mittelwert. Es ist eine Möglichkeit, den Mittelwert auszurechnen.

So, und was haben wir denn hier in unserem Beispiel? Der Mittelwert von Lz, Mittelwert, schweres Wort, von Lz ist plus h quer mal die Wahrscheinlichkeit

für plus h quer im Zustand z, plus minus h quer mal die Wahrscheinlichkeit für minus h quer. Dieses heißt, ich kopiere einfach das. Das i läuft über zwei Werte, ich habe nämlich zwei Messwerte. Plus h quer und minus h quer, die stehen hier

und die werden multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon im Zustand z die Helizität plus h quer hat oder minus h quer. Irgendein Photon hat diese Helizität nicht, aber wenn Sie da nachgucken, werden Sie eine von den beiden Möglichkeiten finden

mit einer gewissen Häufigkeit. Das ist das, was die Theorie uns vorhersagen kann. Sie sagt eine Wahrscheinlichkeit. Wenn ich das oft noch mache, finde ich, 70% haben plus h quer, 30% haben minus h quer. So, und die Konsequenz, Sie können jetzt einfach vergleichen. Vergleichen Sie diese Gleichung mit der Gleichung da oben.

Dann folgt daraus, das W von plus h quer an dem Zustand ist einfach das, was das plus h quer multipliziert, nämlich dieses Absolutquadrat.

Und entsprechen die Wahrscheinlichkeit für minus h quer, da steht das Minuszeichen. Im Zustand z ist Betragsquadrat von L z. Also das ist unsere Formel. Wie wir für den Zustand z die Wahrscheinlichkeit ausrechnen können oder den Mittelwert bei vielen Experimenten

und Wahrscheinlichkeit bei einem Einzelnen, plus h quer oder minus h quer zu finden, sollten wir denn die Messung durchführen. Und das kann man nachprüfen. Also, man kann testen. Das überlasse ich mal Ihnen.

Das ist eine einfache Rechnung, dass die Summe dieser beiden Zahlen 1 gibt. Das sollte so sein. Denn das sind ja beiden alle Möglichkeiten, wenn die Wahrscheinlichkeit an den Minus 1 rauskommt. Probieren Sie es aus.

So, nochmal was ich gesagt habe, im Allgemeinen, für allgemeines psi sind diese Wahrscheinlichkeiten plus minus h quer

nicht 0 oder 1. Das heißt, dass psi hat keinen L z Wert. In dem Sinne.

Es kommt ihm kein L z Wert zu. Aber wir können einen Erwartungswert oder einen Mittelwert ausrechnen. Es gibt aber Ausnahmen für Allgemeine. Es gibt zwei Ausnahmezustände und Sie können raten, welche Zustände das sind. Das passiert dann, wenn die Wahrscheinlichkeit für die eine Möglichkeit 1 ist

und die andere 0. Das sind die Extremfälle. Wann ist das eine von denen hier 1 und wann ist das andere 0? Naja, wenn das psi einer von diesen Basiszuständen ist. Nehmen wir an, psi wäre R. Die stehen ja senkrecht aufeinander. Das ist eine Ortonormalbasis. Dann ist das hier 0 und das ist 1.

Dann wissen Sie, für diesen einen Zustand wissen Sie genau, was rauskommt bei der Messung. Also, falls psi gleich R ist, kommt raus L z gleich plus h quer und wenn psi gleich L ist,

L z gleich minus h quer. Deshalb rechts und links zirkular polarisierte Photon. Die tragen genau die und nur die tragen einen definierten Drehimpuls. Also L z gleich h quer mal Helizität. Man sagt gerne, ist scharf. Hat einen scharfen Wert.

Nur für diese beiden Zustände. Nicht im Allgemeinen. Dann starte ich noch für ein paar Minuten in einen neuen Unterkapitel. Und da geht es dann, brauchen wir noch ein weiteres Konzept um Operatoren und Eigenwerte.

Erwartungswerte und Projektoren.

Die wichtige Beobachtung hier ist, dass diese Zustände R und L Eigenzustände eines Operators sind. Also R und L sind R und L sind Eigenzustände

von einem Operator S. S, wofür steht S? Na ja, S steht für Spinnen. Das heißt, was das bedeutet, die Eigenwerte, ich definiere diesen Operator einfach, indem ich seine Wirkung auf der Basis hinschreibe.

Dieser Operator sei so, dass er auf R plus eins gibt und auf L minus eins. Das legt den Operator fest. Denn auf allen beliebigen Linearkombinationen kann ich ihn dann auch ausrechnen.

Das definiert den Operator S. Und wir können ihn in der L-R-Basis auch direkt angeben. In der L-R-Basis na ja, da ist S

natürlich einfach eins, null, null, minus eins. Wenn das der erste Komponente die R-Richtung und die zweite die L-Richtung ist, der ist diagonal, aus R macht er nur wieder R, aus L macht er minus L, dann hat er diese Matrixelemente.

Sie können ihn umrechnen, das in die orthogonal in die alte XY-Basis, das schreibe ich jetzt nicht hin, wie das geht, aber Sie wissen im Prinzip, wie man das macht. Einfach Basis ausdrücken, die L-R-Vektoren wieder durch XY ausdrücken, ausmultiplizieren alles, dann kriegen Sie wieder eine lineare Beziehung

und dann in dieser Basis sieht diese Matrix so aus, ist nicht mehr diagonal. Aber dieses S ist kein dahergelaufener beliebiger Operator, der hat noch eine andere

sehr nützliche und wichtige Eigenschaft. S ist außer dem nämlich die Erzeugende von Drehungen um die Z-Achse

in unserem Zustandsraum. In unserem Zustandsraum können wir ja passiv drehen, oder wir können auch aktiv drehen und eine solche Drehung ist eine unithäre Transformation und die ändert die Komponenten unseres zweidimensional komplexen Vektors. Das heißt, die wird dargestellt durch eine 2x2-Matrix.

Und ich behaupte, das ist genau das S. Wie kann man das sehen? Na ja, erzeugt heißt, das kennen Sie vielleicht noch aus der Mechanik, wenn Sie das gesehen haben, erzeugen ist dadurch, dass Sie es exponenzieren und mit dem I schreiben. Also die Erzeugende ist

eine Matrix, wenn Sie E hoch, das kennen Sie, glaube ich, aus den mathematischen Methoden. Die Erzeugende von Drehungen. Exponenzieren Sie die, dann kriegen Sie die endlichen Drehungen. Das sind die infinisimalen Drehungen. Die Eigenschaft, die Sie brauchen hier bei der Matrix, ist das S²

ist eine sehr einfache Matrix. S² ist die Einheitsmatrix. Das heißt, wenn Sie die Exponentialreihe hinschreiben, 1 plus I theta S plus 1 durch 2 Fakultät plus I theta S zum Quadrat plus 1 durch 3 Fakultät I theta S durch 3

und so weiter. Dann können Sie das sehr schnell ausrechnen, weil alle geraden Potenzen geben 1. Also 1 plus I theta Quadrat durch 2 Fakultät plus I theta auch 4 durch 4 Fakultät. Aber das ist die Tälereihe vom Cosinus.

Das ist also die Einheitsmatrix mal Cosinus theta und die ungeraden Potenzen sind alle proportional zu S, weil S hoch 3 ist wieder S. S hoch 5 ist auch S. Das gibt dann I mal S mal dem Sinus theta.

Und dies ist die Matrix, die ich eben als Drehmatrix bezeichnet habe, denn in der Xy Basis ist dieses R,

ja, können Sie ablesen, was macht dieser, was machen diese beiden, das ist die Einheitsmatrix, das ist ein Cosinus theta, steht auf der Diagonal. Und I mal S lesen Sie es ab in der Xy Basis. Diese Matrix mit I multipliziert

steht hier eine minus 1 und hier eine plus 1. Richtig? Oder umgekehrt, plus 1 minus 1, aber mit Sinus multipliziert, steht dann eine Sinus theta und hier eine minus Sinus theta. Es gibt gerade das, wenn Sie die S da einsetzen. Voilà. Das erkennen Sie wieder. Sie können es aber auch in der RL Basis machen.

Dann sieht es noch einfacher aus. Die Drehungen sehen nämlich einfach so aus. Dann exponentiert sich einfach diese Einheitsmatrix da, wie eine Einheitsmatrix exponentiert, wissen Sie. Einfach jede Komponente, jede Diagonalelemente wird exponentiert. Dann steht auf der,

hier oben steht einfach I over I theta, weil der Eigenwert plus 1 ist und hier steht I over minus I theta. Dann sieht die Drehung in dieser Basis so aus. Und jetzt sehen Sie auch, dass das Eigenzustände sind. Nicht nur von den infinitimalen Drehungen, auch von den endlichen Drehungen. Ein Zustand R wird durch eine endliche Drehung mit der Phase I over I theta multipliziert,

ein Zustand L wird einfach mit der Phase R minus I theta multipliziert. Deswegen ist diese Basis was Besonderes. Wir können natürlich zerlegen und wissen genau auf den Eigenzustand R, wenn Sie es zerlegen, hat R diese Wirkung und auf den Eigenzustand L hat es diese Wirkung.

Es heißt Helizitäts- oder Spin-Operator. Helizitäts- oder Spin-Operator.

Was ich Ihnen nicht mehr ausrechnen kann, das werde ich am Dienstag machen. Ich kann Ihnen dieses hier, was wir ausgerechnet haben, diesen Erwartungswert oder Mittelwert, den können wir auch schreiben als ein Matrix-Element dieses Operators S

oder H quer mal S zwischen den Zuständen Xi und Psi. Matrix-Element heißt Bra-Psi, Operator, Cat-Psi. Wie Sie das aus einer Matrix in einer Zahl machen. Zeilenvektor, Matrix, Spaltenvektor. Sie packen den Operator zwischen die Zustände und dann gibt Ihnen dieser Operator

genau den Mittelwert des Spins. Das ist seine Funktion. Das machen wir nächste Woche. Ich bedanke mich.