Gut, dann kann es losgehen. Ja, wie schon gestern angekündigt, würde ich heute gerne einsteigen

in heterotischen String. Ja, das Wort heterotisch ist vielleicht etwas ungewohnt, gehört nicht zum normalen Wortschatz. Heterotik auf Englisch ist, ich glaube etwa, er hat eine ähnliche Bedeutung wie hybrid. Also hybrid ist etwas, was zusammengesetzt ist aus zwei unterschiedlichen Teilen. Und das geht beim heterotischen String genauso. Und die Idee ist,

man nimmt einen bosonischen String und einen Super-String und klebt die zusammen. Also nicht im wortwörtlichen Sinne, hier zwei Strings zusammen zu kleben, sondern wir haben ja gesehen, in der Konstruktion von Strings, dass Rechts- und Linksläufer ziemlich unabhängig

voneinander funktionieren. Bei der Zerlegung, bei der Lösung der Wellengleichung gab es die Lösung, die setzt sich zusammen aus einem, also für die X-String-Kordinaten, aus einem linkslaufenden Anteil und einem rechtslaufenden Anteil. Das führt dann zu den Moden Alpha mit Alpha-Schlange und so weiter. Und entsprechend bei den Fermionen war das auch so, die

in der beschwarzen Ramonfelder, da gab es die zwei Komponenten des Majorana-Spielhaus, Psi oben und Psi unten, Pfeil oben und Pfeil unten. Die eine war linksläufig, die andere rechtsläufer. Also im Prinzip haben die nichts miteinander zu tun. Erfüllen separate Bewegungsgleichungen. Und so kamen eben die vier Herren, die ich gestern genannt habe, auf die interessante Idee, man könne ja versuchen, für die Linksläufer was anderes

zu nehmen als für die Rechtsläufer. Die Frage ist, ist das konsistent? Und die einzige Stelle, wo Links- und Rechtsläufer miteinander kommunizieren, ist bei dem Schwerpunkt-Dimpuls und der Schwerpunkt-Koordinat des Strings. Denn vielleicht erinnern Sie sich ganz ursprünglich bei der Lösung der Wellengleichung, da gab es ein P links und ein P rechts. Das eine war P

plus W und das andere war P minus W. W ist die Windungszahl. Das war bei der Lösung, wenn der String sich entwickelt um einen nicht trivialen Zykel. Sodass eben x von Sigmarq plus zwei Pi nicht gleich x sein muss, sondern x plus ein Shift. Also wenn diese

Koordinate ein Winkel ist. Ein Winkel kann sich um zwei Pi, vielfach von zwei Pi ändern, ohne dass der String trotzdem geschlossen ist, weil es dieselbe Position im Koordinatenraum ist. Und in dem Moment, gut, wenn wir Windungszahl Null setzen, dann ist P rechts gleich P links. Dann sind die verkoppelt. Dann gibt es nur einen Schwerpunkt-Impuls. Aber wenn die

Windungszahl nicht Null ist, dann haben wir im Prinzip aus P und W können wir so zwei unabhängige Links- und Rechts-Impulse machen. Und in dem Moment sind die beiden Anteile richtig entkoppelt. Die Schwerpunkt-Koordinate spielt im Grunde keine Rolle. Mit der kann man, die macht auch kein Problem in dieser Hinsicht. Die spielt ja in den Amplituden auch keine

Rolle. Ja, und gut, das ist sozusagen in zwei Worten die Idee. Und wie das funktioniert, will ich dann natürlich ausführen. Der hätte rutsche String. Und eine wesentliche

Ingredienz, die wir dafür brauchen, die ich noch nicht richtig entwickelt habe, sind Symmetrieströme auf der Weltfläche. Okay, ein Problem mit dem Super-String,

das ich gestern ja schon genannt hatte, war, dass die Realisierung von Yang-Mills-Symmetrie, wenn man sie haben will, eigentlich nur im offenen String mit den Schenpettenfaktoren funktioniert. Und wenn wir im Tagedraum Eichtheorien haben wollen, also masselose

Eichfelder haben wollen, dann müssen wir irgendwie auf dem masselosen Zuständen, im masselosen Spektrum, Vektorpersonen haben. Und beim geschlossenen String gab es eine Super-Gravitation, da gab es keine Eichfelder auf dem masselosen Niveau. Und die Alternative

zu den Schenpettenfaktoren ist, diese Ladung nicht an den Enden des String, eines offenen String, anzuheften. Beim geschlossenen String hat man diese Möglichkeit ja nicht, sondern sich zu verschmieren über den gesamten String. Also eine Art Ladungsdichte. Das könnte man sich wirklich vorstellen, wie in der

Elektrodynamik. Im offenen String könnte man hier eine Ladung haben, da eine Punktladung am Ende. Oder man definiert eine kontinuierliche Ladungsverteilung über den gesamten String hinweg. Und das Integral über den String gibt die Gesamtladung. Das ist so eine andere Möglichkeit. Und das ist, was im heterologischen String realisiert wird. Und wir kennen das eigentlich schon. Also die Idee, kontinuierliche Ladungsverteilung,

ja, auf dem String. Und das gab es schon. Und zwar bei der Lorenz-Symmetrie, bei der

globalen Lorenz-Symmetrie. Zum Beispiel im Neveu-Schwarz-Ramon-String. Also zum Beispiel im NSR-String. Ich schreibe das nochmal hin. Also wie sah die Wirkung im NSR-String aus? NSR reich fixiert. Hatte die Form minus eins durch

Mal über 4 Pi. Da stimmen die 4 hier nicht ganz, aber das spielt noch keine große Rolle. Und dann gab es ein D minus x, D plus x, i, psi unten, D plus, psi unten und

entsprechend oben D minus. Das war die eich fixierte Wirkung. Und in diesem, und wir hatten,

beim personischen String habe ich das explizit ausgeführt. Da habe ich Ihnen die Generatoren der Poincare-Symmetrie im Minkowski-Tagetraum hingeschrieben. Das war beim Impuls,

das war das einfach dx im Wesentlichen, x Punkt integriert über die Weltfläche. Also über die, nicht über die Weltfläche, man muss zu integrieren über die String, also für einen festen Zeitpunkt über Sigma zu integrieren. Die Impulsdichte, über den String integriert,

gibt den Gesamtimpuls. Und bei den Lorenz-Generatoren, also wir hatten die Erzeugenden der Lorenz-Gruppe im 10-dimensionalen Tagetraum, die sehen dann halt so aus, ich schreibe hatte die Form, Formfaktoren weiß ich jetzt nicht mehr, Integrale über Sigma. Und dann gab es

etwas wie x My, x Punkt My antisymmetrisiert. Das war das, im personischen String sah das so aus. Und dann kommen eben, Super-Stringen kommen eben noch Beiträge von dem Psi dazu, sowas wie Psi My, Psi My unten unten und oben oben. Also ein antisymmetrisches Objekt

bilinear in den Feldern. Das sind die, ohne das Sigma ist das eine Funktion von Sigma,

der Integrant. Das sind dann die, das sind die für My und My, also wenn sie hier ein, ein Index, beide Index räumlich sind, dann sind das die Generatoren der Drehung. Die Drehimpuls dichten und integriert über den String Sigma ist das dann die Gesamt-, der

Gesamtdrehimpuls in der IJ-Ebene, wenn My und My gleich I und J sind, also aus den räumlichen Richtungen kommen. Und wenn einer von denen in die Null-Null-Richtung zeigt und der andere in die räumliche Richtung, dann sind es die Boost-Generatoren. Das ist sozusagen nichts Neues, aber die Idee zeigt, man kann Symmetrie-, ja Ladungen, das sind ja nichts anderes als

Ladungen, wenn Sie so wollen. Drehimpulse sind Ladungen der Lorenzgruppe. Man kann Ladungen ausdichten und diese Dichten nennt man Ströme. Dieses Konzept, wie als Elektronik,

man integriert eine Ströme und kriegt eine Ladung. Das sind die Symmetrieströme, die da in der geschwungene Klammer stehen. Die kann man auf die Art und Weise hinschreiben und die führt dann eben zur erhaltenen Ladung. Und die Vorstellung ist jetzt, das zu kopieren, einfach sozusagen dieselben, dasselbe Rezept anzuwenden, aber nicht

Indizes-Menü, das sind der Raumzeitenindizes, sondern Isospienindizes zu wählen, also in irgendeinem Isoraum, in irgendeinem abstrakten Raum, die, ja, irgendwelche Felder, die man vielleicht neu einführen muss, die wir neu einführen in den String, Werte annehmen zu lassen, sodass, also im Konkreten dann in irgendeinem Darstellungsraum

einer gewünschten Lie-Algebra, sodass diese Generatoren dann, die in der adjunctierten Darstellung der Lie-Algebra sitzen und in diesem, ja, Targetraum dann die Symmetrie realisieren. Diese inneren Symmetrien sind ja nicht in der Raumzeit

realisiert, sondern in irgendeinem Hilfsraum, ein Isospienraum, das ist sozusagen, man sagt immer gerne ISO, weil das ist eine Allgemeinung von dem, was Heisenberg in den 30er Jahren hat eingeführt, ja, ein Isospien, aber das ist sozusagen das generelle das gleiche Konzept für alle diese inneren Symmetrien. Ja, das ist also gleiches Rezept für innere Symmetrien. Addiere zu S einen neuen Term, also ich

gleich noch eine zweite Variante dieser selben Idee vorführe, wo die zusätzlichen Felder bosonisch sind. Also es gibt sozusagen eine bosonische und eine fermionische Variante dieser Idee. Hier habe ich jetzt zwei oder drei gemacht. Ich habe einmal einen Term, ich habe

nun etwas wie die Psys addiert, ja, die Lambdas sind, wenn sie so wollen, Neve-Schwarz-Ramond-Felder, nur zusätzliche, die aber keine Werte, ja, wo kein

Lorentz-Index dranhängt, sondern ein neuer innerer Index, groß a. Der Pfeil unten sagt uns, das ist eine Komponente eines Majorana-Spinors auf der Weltfläche und das sind Linksläufer, ja, das ist sozusagen eine Kopie von diesen hier und ich schreibe nur Linksläufer hin, das ist ganz bewusst. Ich könnte natürlich jetzt auch noch Rechtsläufer dazu addieren, wie da oben auch, aber ich nehme nur Linksläufer. Das ist im Prinzip

konsistent. Also nur eine Komponente taucht hier auf und, wie gesagt, dieses Lambda a von Sigma und tau und a soll laufen von 1 bis 2n, eine gerade Zahl,

ist ein Target-Skalar, also im Target-Raum, im Minkowski-Raum sind das Skalare, tragen keinen Lorentz-Index, sind Weltflächenspinoren, Weltflächen-Spinor,

also diese Indizes oben und unten, das sind also Villeneuve-Schwarzfelder, nur dass sie halt Skalare sind unter der Lorentz-Gruppe und es ist ein SO2n-Vektor. Was heißt das?

Das ist wichtig. Das heißt, dieser Index wird aufgefasst als ein Index, als ein SO, ein Index einer orthogonalen Gruppe. Sie können sich das vorstellen, sie schreiben diese 2n-Komponenten in einen Spalten-Vektor und dann kann der rotiert werden durch Anwendung

einer 2n mal 2n-Matrix, einer orthogonalen 2n mal 2n-Matrix. Warum nicht? Und diese Rotation, wie man es relativ leicht sieht, ist eine Invarianz dieser Wirkung. Man muss richtig gucken, wie das darauf wirkt. Wenn man es hier liest als Zeilen-Vektor und Spalten-Vektor,

das ist die Summe über die, also wenn Sie so wollen, im Isospin-Raum, in diesem 2n-Dimensionalen-Raum ist das ja nichts anderes als bezüglich einer flachen Metrik, ich könnte es sozusagen auch hier Index A und Index B schreiben und dann Delta A B, ist das nichts anderes als das

normale euklidische Skalarprodukt, in diesem 2n-Dimensionalen-Raum und das ist die Variante unter orthogonalen Transformationen. Global, genau, ist keine lokalen, nein, nein, ist global. Genauso wie hier oben auch. Das lustige ist, wir werden dann sehen, das ist das alte Lied, globale Symmetrien auf der Weltfläche können zu lokalen

Symmetrien im Tagetraum führen. Okay, das war also die Idee. Man hat offensichtlich eine Wirkung, also es gibt eine Wirkung, globale Wirkung von So2n auf dem Spalten-Vektor

Lambda A. Offensichtlich einfach durch Anwendung der definierenden Definition von So2n.

Okay, das ist das hier. Dieses Äquivalent behaupte ich, das können Sie jetzt noch nicht sehen, äquivalent, zu einer anderen Idee, zur Addition von Delta S B, d plus

phi i, d minus phi i, bei i in anderen Indizes ist und hier mache ich eine Projektion auf die Linksläufer, Linksanteil. Wobei die phi i, also erstmal wiederum, phi i von

Sigma und tau sind, also i läuft von 1 nur bis n, nicht bis 2n und dieses sind

ja, Taget- und Weltflächen-Skalare, aber sie sind auch Vektoren in einem Isoraum

in gewisser Weise, aber sie sollen, hier ist es anders, die nehmen Werte an, also

phi soll keine Reelle, nicht in reellen Zahlen leben, sondern der Tagetraum ist hier ein Thorus, also das heißt, die phi sind Winkel, Tagetraum, aber, oder schreibt

man Plural hier, sind Kalare, jedoch Winkel, Winkelvariablen in Target, Winkelvariablen,

das heißt, phi i nimmt Werte an in R über 2pi, 2pi mal R, wobei dies, also das ist irgendein Radius, der kann, nehmen wir ihn einfach, eigentlich spielt es keine Rolle, wir

2pi einfach, in diesem Fall hier, das heißt, phi i ist äquivalent zu phi i plus 2pi

n i, wir können also ganz zahlige Vielfacher von 2pi zu jedem phi a zuaddieren, das ist dasselbe, oder, was das gleiche ist, der Vektor der phi's sozusagen nimmt

Werte, oder alle phi i, schreibt man so, die parametrisieren einen Thorus, s1 hoch n, klar was das ist, s1 hoch n, das ist das Produkt von Kreisen, topologische Produkt

von Kreisen, 2 Kreise topologisch moduliert gibt es 2 Thorus, das können Sie fortsetzen, da gibt es ein n-Thorus, also ein Thorus tn, das heißt, wir haben jetzt hier sozusagen spezielle Bosonen gewählt, die eben nicht einfach, die Werte nicht im Rn annehmen, sondern im Rn geteilt durch ein Gitter, das ist ein Thorus und der Grund dafür

ist, dass wir dann nicht triviale Windungszahlen haben können von dem String, der kann jetzt in diesem ISO Raum, das ist ja, das sind ja Koordinaten, wenn Sie so wollen, in einem künstlichen Raum, nicht in der normalen Raumzeit, in einem Hilfsraum, das sind also Koordinaten,

das heißt, das können wir nochmal schreiben, das heißt, Winkelvariablen gleich, also Thorus Koordinaten in einem Hilfsraum und dann haben wir Windungen und die Windungszahlen erlauben,

diese Möglichkeit des Herumwindens erlaubt uns jetzt konsistent diese Projektion auf den

einen Teil, wir können also Links- und Rechtsimpulse einführen und einfach die Rechtsimpulse über Konstant zu Null setzen, genauso wie wir die Anregungen, die Alpha-Schlange-Anregungen von dem Fies auch zu Null setzen können, schränkt nur auf den einen Teil, das ist ein sogenanntes, man nennt das auch ein chirales Boson, das ist ein bisschen

in Anlehnung an das, was wir hier oben bei den Fermion gemacht haben, wenn ich eine Hälfte, so wie nur die eine Komponente von dem Majorana-Spinor, es ist so was wie

der eine Weil-Anteil, nur den linkshändigen Weil-Spinor zu nehmen, nicht den rechtshändigen, das ist hier bei den Bosonen so analog dazu, also der Name ist entlehnt aus dieser Analogie. Okay, das Problem mit diesem Konzept ist natürlich das Folgende, Sie haben normalerweise

einfach nicht die Freiheit, Dinge hinzuzufügen zu dem String, das Problem ist schon das kommt schon daher, dass wir eine feine Balance haben mit der kritischen Dimension der Anomalie, also das Problem mit diesem Konzept ist die Rasoro-Anomalie, Sie erinnern

sich diese zentrale Ladung C, die im Super-String war die nicht D, sondern 3,5 D, bei D die

Dimension ist, es lag daran, dass im Super-String jede Koordinate x trägt eine Einheit zu

dieser zentralen Ladung bei, deswegen hatten wir im bosonischen String genauso viele wie Dimension, da war das C gerade das D in der Super-Verasoro-Algebra, da stand nicht C über 12 in mal N minus 1 mal N plus 1 in den zentralen Termen, sondern stand C über 8, C über 8 ist 3,5 mal C über 12 und die 3,5 kommt dazu stand, dass für

jedes String-Koordinate x, es gibt ja auch noch neben Schwarz-Ramond fällt psi und das trägt eineinhalb zu dem C bei, deshalb in jeder Dimension gibt es sozusagen eine Eins von dem bosonischen, von dem x und eineinhalb von dem psi, zusammen 3,5

und insgesamt, genau, und das musste sein, wegen No-Ghost-Theorien, musste das gleich 15 sein, im bosonischen String waren es 26, also die konsistente Kurveante-Quantisierung

als Zwang C gleich 15 und das war dann D gleich 10, in der Lichtgegel-Quantisierung war es das Schließen der Lorenz-Generatoren, was die Dimension festlegte, nicht auf 10, das Problem ist aber jetzt hier, wenn wir neue Felder einführen, ändern wir das C, weil diese Felder tragen auch zu dem Virasoro, die haben ihre eigene Anteile zu

den Virasoro-Generatoren, das ist ja sozusagen so wie zusätzliche Schwarz-Ramond-Felder, ob die nun Index µ oder a tragen, das spielt für die Virasoro-Algebra keine Rolle, das sind ja externe Indizes, das heißt, Delta Sf oder Delta Sb liefert ein Delta C

gleich 2n, nee n, 2n fermion, lambda oder n boson liefern nach dieser Zählung das gleiche,

also wenn das Äquivalent sein soll, die beiden Varianten, dann muss das auch so sein, das kann ich im Beitrag liefern und wenn ich 15 habe und addiere nochmal n dazu, dann habe ich 15 plus n und dann stimmt das mit dem Nock-Rost-Theorien nicht mehr, das wird die kritische Dimension verändern, das mag ja ganz nett sein,

ich würde eigentlich lieber eine kleinere kritische Dimension haben, ich würde die also weiter erhöhen, aber mit den Lorenz-Generatoren habe ich dann wieder Probleme, das scheint keine gute Idee zu sein zunächst einmal und der Ausweg ist der

folgende, ich kombiniere einen rechts laufenden Superstring in D gleich 10,

also sozusagen mit einem links laufenden bosonischen String in D gleich 26 natürlich,

der ist ja kritisch in D gleich 26, ich schreibe mal die 26 als 10 plus 16 und die Stringkoordinaten, die X, die haben sozusagen rechts und links laufende Anteile, die müssen ja,

wenn sie wirklich den Tagetraum, den normalen Minkowski-Raum parametrisieren, auch Links- und Rechtsimpulse haben, die brauchen beides, aber hier haben wir sozusagen und wir kompaktifizieren auf einem T16, auf einem 16-dimensionalen Torus, also diese 16

ursprünglichen Stringkoordinaten in den Dimensionen 10 bis 26 werden nicht als Raumzeitkoordinaten aufgefasst, sondern als internen, als ISO-Koordinaten, als Phi-I oder

das ist Equivalent dazu, Equivalent, was ich noch nicht erklärt habe, ersetze die X 10 bis 26,

nee 25, wir fangen ja bei 0 an, durch sozusagen, das wären die Phi-I, also das wären die, ich schreibe es mal hier oben nochmal, also die X 10 bis 26 bis 25 werden ersetzt

durch Phi-I, das wird die Kompaktifizierung und das andere setze sie durch Lambda-A mit A gleich 1 bis 32, weil wir brauchen ja 2n, hier I gleich, also das ist sozusagen die bosonische

Variante, die fermionische Variante, aus den quasi überzähligen Dimensionen des bosonischen String einen internen Raum zu basteln, auf dem die eine orthogonale Gruppe wirkt. In den

10 gemeinsamen Dimensionen leben die X mu und psi mu, um unten, ja, mu gleich 0 bis 9, rechts

und links, ja klar, das ist ja schon hier angedeutet, hier also links und rechts und

hier ist beide Komponenten von den Majorana-Spinoren, Neverschwarz-Ramond-Spinoren, also ich kann nur hierhin schreiben links, also hier L und R. Okay, das klingt ein bisschen wie eine verrückte Idee, man trinkt irgendwie Gewalt an in dem bosonischen String und das komische ist,

das funktioniert, ein bisschen, also schon ein Geniestreich darauf zu kommen, so was überhaupt zu versuchen. Richtig, das heißt wir bekommen, okay, Konsequenz, in dem wir erzeugen eine

sozusagen innere SO32-Stromalgebra, also diese Symmetrieströme, mit Strömen, so was sind die

also die Symmetrieströme oder die Ladungsdichten mit Generatoren, schreibe ich mal wieder, vielleicht wieder sigma, sigma a b, ja, so wie die, das sind ja Prinzipvarianten der

Lorentz-Generatoren von tau minus sigma, das sind also jetzt hier nur Linksläufer, ja, deswegen hängen die nicht von tau minus plus sigma, sondern nur von tau minus sigma ab, das sollen einfach lambda a, lambda b, und zwar nur mit Pfeil unten, linksläufer,

und das ist automatisch antisymmetrisch, also antisymmetrisch in a b, einfach weil,

dass hier ja, dass die ja antikommutieren, das sind ja krass mal wertige Felder, und das ist genau das, was sie machen, im Prinzip, ja, wie aus der Clifford-Algebra, wenn sie die Nullmoden nehmen, die konstanten Anteile, wenn sie jetzt hier eine Fourier-Zerlegung machen, dann würden das Moden werden, und der Nullmod ist konstant,

und die Nullmoden der Lambdas erfüllen natürlich wieder eine Clifford-Algebra, genauso wie wir das bei den Psi's hatten, nur diesmal eine Clifford-Algebra eben in 32 Dimensionen, und es ist klar, dass die antisymmetrischen Produkte von zwei solchen Gamma-Matrizen, oder Clifford-Matrizen, bieten dann eben eine Darstellung der

entsprechenden orthogonalen Gruppe SO32, eine Spinor-Darstellung, das ist ganz analog wie im Lorenz-Fall, nur dass wir halt keine Signatur, keine zeitartige Richtung haben, sie ist alles orchidisch hier. Ja, nun kann ich Folgendes machen, ich kann, also das hängt

von sigma minus tau ab, ja, ich mache eine Fourier-Zerlegung, also dann wird aus dem

sigma a b werden Moden, Fourier-Moden sigma a b n, und die sind so was wie lambda a m lambda b n minus m, ja, Summe über m, also Vorfaktor weiß ich jetzt nicht,

vielleicht steht da ein Halb oder so was, ja, im Wesentlichen ist es aber dieselbe Konstruktion, so ähnlich wie die Virasora-Algebra ja auch aus quadratischen Ausdrücken aufgebaut ist, die Virasora-Generatoren aus quadratischen Ausdrücken der x in ihrer Ableitung.

Und jetzt kann man nachrechnen, dass diese Moden eine Algebra erfüllen, das sollten sie natürlich auch, denn zum Beispiel, ja, der Null-Mod, also, okay, vielleicht soll ich

der Null-Mod sigma Null a b ist die Ladung, ist die SO 32 Ladung und die erfüllt, ja,

und die sollte ganz normal die Lorenz-Algebra, ja, das heißt Lorenz-Algebra, die SO 32 Algebra erfüllen, die wieder erzeugenden Kommutator müssen halt entsprechende Lie-Algebra

erfüllen. Und diese Algebra ist jetzt natürlich eine Erweiterung dieser normalen Lie-Algebra, wir haben diese Indizes hier noch dran. Ich schreibe Ihnen mal an, was da rauskommt, dann können wir den Null-Mod-Anteil auch nochmal diskutieren. Also da steht dann

sigma a d plus delta b d sigma a c n plus n, n plus n, n plus n, und dann gibt es noch einen

weiteren Term, plus, das denke ich mir nicht ganz über das Vorzeichen, also über die Koffizienten im Klaren, das habe ich gestern irgendwie, weil ich im Moment keinen Zugang zu

ob hier eine 2 noch steht oder sowas, ja. Wichtig ist, dass hier ein n steht und dass hier ein Parameter kappa steht und dass dies ein zentraler Term ist, n plus m,0, also etwas was ist, nur wenn n plus n verschwindet. Und dann habe ich hier delta a c delta b d minus delta a d

delta b c. Das sieht etwas kompliziert aus, aber ist eine Verallgemeinerung oder wie sagt man eine, ja man nennt das eine Strom-Algebra, weil wir hier Fourier-Modes einer Funktion von

einer periodischen Funktion haben, ja. Das ist für tau gleich Null, also diese Funktion ist sehr periodisch, wir nehmen sigma hier drin, ja. Wenn sie sigma verschieben um 2 pi, dann geht es wieder, ist eine periodische Funktion, deswegen haben wir Fourier-Mode zerlegt. Das ist nichts

anderes als die Algebra der Fourier-Moden einer Funktion, einer periodischen Funktion. Die Werte annimmt, also diese Indizes heißt, das sind im Grunde Matrizen, ja. Wenn sie wollen, können sie das als Matrix-Indizes auffassen. Das ist in Kopie dessen, was sie aus der

Lorentz-Algebra kennen. Wie machen sie eine Spinor-Darstellung? Die Generatoren der, nehmen sie SO3 1, ja, ganz normal. Dann haben sie die Gamma-Matrizen und sie basteln aus bilinearen der Gamma-Matrizen, machen sie ihre Generatoren der Lorentz-Gruppe für die

Spinoren. Das kennen sie vielleicht nicht, hier heißen sie auch sigma, es ist irgendwie ein Viertel Gamma mu nu antisymmetrisiert in mu nu. Also das ist die Standardkonstruktion, wie man Spinor-Darstellungen von autogonalen Gruppen aus der Clifford-Algebra erzeugt.

Ja, ja, sie können natürlich sozusagen aus dem Nöter-Theorem können sie auch die

Ladung erzeugen. Das geht natürlich auch, ja. Das ist ein bisschen aufwendiger, da müsste ich dann, okay, kann ich auch, ich könnte natürlich hinschreiben, explizit wie die Symmetrie-Transformationen aussehen, das habe ich nicht gemacht. Ich habe sozusagen appelliert einfach an die Erfahrungen aus der Standard-Situation,

wenn ich ein N-Nummer, sondern ein Vektor habe und dann ein Skalarprodukt, mit dem ich die hier multipliziere in der Wirkung, dass das dann inweilen unter autogonalen Transformationen ist. Die könnte ich hinschreiben, dann könnte man das zum Nöter-Theorem ableiten, wie die erhaltenen Ladungen aussehen in der Tat. Aber wir kennen das nicht, ich habe sozusagen einfach nur kopiert, was wir schon aus der

Lorentz-Transformation kennen. Ja, und die Null-Moden, die erfüllen natürlich eine etwas einfache Algebra, Sigma a b Null, Sigma c d Null. Ja, da sehen Sie, die

Null-Moden sind eine Unter-Algebra, weil wenn das Null ist und das Null ist, Null plus drei weitere Terme, die erste Zeile. Die zweite Zeile taucht nicht auf,

weil wenn N gleich Null ist, verschwindet das hier, da steht ja ein N. Und das ist die normale SO2N-Li-Algebra. Das kennen Sie vielleicht von der Lorentz-Gruppe,

da ist das genauso, da stehen hier Sigma mu nu, Sigma rho Lambda und hier steht nicht Delta, sondern Eta, die Lorentz-Metrik, diese vier Terme. Also das ist genau dieselbe Struktur, nur dass die Metrik euklidisch ist. Und dieser Zusatzterm, der heißt zentraler Term, zentraler Erweiterung, weil er wiederum

das Wiener Virasor-Algebra, ein zusätzlicher Term ist der C-Zahl ist, der hat keinen Generator, sondern ist proportional zur Identität. Ich könnte hier noch ein eins dabeischreiben, das habe ich nicht gemacht, das ist einfach nur eine Zahl. Es ist nicht wirklich eine Zahl, weil hier steht dieses Kappa, dieses Kappa ist

im Grunde genommen ein neuer Generator, wenn Sie so wollen, der aber in einer gegebenen Darstellung nur einen skalanen Wert annimmt, das ist wie ein Casimir-Operator. Das ist also ein neuer Parameter, den nennt man Level, dieses Kappa. Das ist wie in

der Virasor-Algebra, haben wir dieses C gehabt, eine zentrale Ladung, das können Sie wie eine Zahl behandeln, eine gegebenen Darstellung, haben wir das abstrakt diskutieren, das ist ein weiterer Generator, der ist zentral, der vertauscht mit allen, deswegen können Sie ihn wie eine Zahl behandeln, kommutiert mit allen, dieses Kappa kommutiert auch mit allen, deswegen steht da nur

eine Zahl, kommutiert mit allen Sigmas. Das heißt aber, dass er in einer gegebenen Darstellung irgendeinen Wert annimmt, den Sie auch wieder Kappa nennen. Das ist sozusagen etwas Lachs, wir unterscheiden nicht zwischen dem Wert und dem zentralen Generator, weil in einer Darstellung mag der Wert Kappa gleich 1 sein, in einer Darstellung mag er 5 sein,

das sind sozusagen die verschiedenen Werte, die dieser Generator proportional zur Identität und der Proportionsfaktor, den wir halt Kappa, der kann mal 1 sein, der könnte aber auch 5 sein, aber der hat irgendeinen festen Wert in einer konkreten Darstellung. Und wie gesagt, das ist analog zu der Rasor-Algebra und die Dinge hängen zusammen. Ich will vielleicht kurz skizzieren,

dies ist Spezialfall einer allgemeinen Konstruktion, einer

sogenannten affinen Erweiterung, der Physiker sagt auch Katsmudi-Algebra,

eine Lie-Algebra. Wie geht das? Nun nehmen wir an, Sie haben eine Lie-

Algebra, nennen wir die kleinen G, ich kann nicht dieses deutsche G malen, also ein klein G, mit Generatoren oder erzeugenden TA und A läuft von 1 bis zur

Dimension von G. Und dann gibt es, Lie-Algebra heißt, haben dann kanonische

Vertauschungsrelationen, definieren die Lie-Algebra, nennen so aus. F, A, B, C sind die Strukturkonstanten und ich wähle hier, wenn wir eine komplexe

Struktur haben und wissen, was Konjugation ist. Wir haben eine Darstellung auf einem Hilbertraum, auf einem Raum mit einem Skalarprodukt. Dann wissen wir, was hermetische Konjugation bedeutet und ich wähle meine Generatoren

antihermetisch. Das machen die Mathematiker, die machen immer antihermetisch, die Physiker machen es hermetisch gerne. Aber ich bin hier in dem Fall der Mathematiker-Konvention, weil die Physiker schreiben dann ein I rein, wenn sie es hermetisch machen wollen, dann müssen sie sich ein I reinschreiben, damit die F's real wären. Wenn sie eine reale Strukturkonstant haben wollen, müssen sie ein I reinschreiben,

sonst ist es nicht konsistent. Und dann müssen sie nachher wieder ein I in den Exponenten schreiben, wenn sie es exponentiieren, um die Gruppenelemente zu erzeugen. Und wenn sie das weglassen, dann brauchen sie nirgendwo ein I. Das macht es auch ein bisschen leichter. Okay, das nur als Nebenbemerkung. Und jetzt machen wir Erweiterung,

aus dem Ta machen wir ein Ta von Z. Und Z ist eine komplexe Variable, wir können das aber auch als Phase schreiben, E, Ho, I, Sigma, Komplex. Also es gibt zwei

Möglichkeiten, entweder sagen wir, Z ist eine Phase oder wir sagen, Z ist beliebig komplex, aber wir betrachten nur Hollomorfer-Abhängigkeit. Das ist analog. Und dann können wir eine Fourier-Zerlegung machen. Vielleicht schreibe ich erst die Algebra an. Oder vielleicht machen wir es so, oder Ta

von Sigma, vielleicht Sigma schreiben. Und dann ist die Algebra soll so sein, Ta von Sigma, Tb von Sigma Strich ist F, a, b, c. Und dann steht hier die

Ableitung der Delta-Funktion, mal Ta plus Tc von Sigma. Und dann gibt es einen weiteren Term, kappa, hier steht noch ein Vorfaktor, den ich vergessen habe,

also eine Zahl, ich weiß nicht mehr, plus irgendeine Zahl, vielleicht ist es ein Sechstel, ich weiß nicht mehr, mal kappa, mal gab, mal Delta, dritte Ableitung der Delta-Funktion. Das sieht also ähnlich aus wie hier oben, ist ein

bisschen erweitert. Wir haben praktisch jetzt statt den Generatoren, die haben die Generatoren als Funktionen von Sigma eingeführt. Das ist, können Sie sich vorstellen, vom Punktteilchen zum String, alle Dinge werden jetzt auf der Weltfläche dichten und hängen von Sigma ab. Das sind die Ströme. Wir müssen also, genau wie bei der kanonischen Quantisierung, Sie können

sich das so vorstellen, wir könnten auch in Tau einführen, noch Sigma und Tau, können aber dann das ganze betrachten bei festem Tau. Also das sind dann die gleichzeitigen Kommutatoren, wenn Sie es so wollen, für gleiches Tau, aber verschiedene Sigma, so wie bei x und x Punkt. Und auf der rechten Seite steht halt, klar, Strukturkonstanten und aus Dimensionsgründen muss hier Delta

Strich stehen, kann man sich überlegen. Und die einzige andere Möglichkeit, das sieht gern, ist, dass T eine gewisse Dimension, Dimension in Sigma hat und aus denselben Dimensionsgründen kann der einzige andere Term, der auftauchen kann, muss die dritte Ableitung der Delta-Funktion sein, wenn das hier alles nur Zahlen sind. Und das GAB ist

die Katern-Killymetrik, die Sie aus quadratischem Ausdruck aus den Fs basteln. Produkt von zwei Fs können Sie immer Katern-Killymetrik machen. So, und das ist genau unser zentraler Erweiterungsterm mit diesem Level.

Und wenn Sie Furie-Moden machen, Äquivalent über Furie, ja, dann kann ich halt, das kann ich vielleicht hier hinschreiben, Ta von z ist Summe über n, Tan z hoch minus n. Das wäre eine Furie-Zerlegung. Oder ich

mache es mit Sigma, Katern-Killymetrik. Wenn ich Summe von Sigma schreibe, dann mache ich eine ganz normale Furie-Zerlegung, e hoch minus i n Sigma.

Und dann steht hier Tan, Tbm, ist F, a, b, c, T, c, m plus n plus Kappa, n mal Kappa, mal

GAB, mal Delta, n plus n, 0. Kommen Sie genau dieser Struktur, die ich hier eben für die Sigma auf der Tafel dahinter auch schon mal hingeschrieben habe. Das ist also die allgemeine Geschichte. Und das können Sie für jede Lie-Algebra machen. Und das

ergibt eine sogenannte affine Erweiterung. Oder in dem Fall ein Spezialfall, das ist nicht die allgemeinste, aber es ist ein Beispiel einer sogenannten Katsmudi-Algebra. Und die heißt dann G-Schlange oder G-Hut,

je nachdem, welche Literatur Sie lesen. Also zum Beispiel, was wir hier bauen, ist eine SO32-Hut. Eine affine Erweiterung der SO32. Die hat unendlich viele Generatoren. Also die Struktur ist so, Sie können hier n auftragen. Und dann ist

bei n gleich 0, gibt es sozusagen, hier sind die Indizes a, b, gibt es sozusagen eine normale Lie-Algebra. Stellen Sie sich vor, wenn Sie SU2 nehmen,

dann haben Sie ein J plus und ein J minus und ein J3. Die drei erzeugen dann von unserer Drehimpuls-Algebra. Und dann können Sie über diesen, über diese endlichen erzeugten Lie-Algebra, können Sie jetzt sozusagen einen unendlichen Turm bauen. Die Generatoren mit n gleich 1, mit n

gleich 2, mit n gleich 3 und so weiter, die sitzen einfach drüber und darunter. N nimmt ja auch negative Werte an. Also es hat unendlich viele Generatoren, ist aber oft endlich erzeugt. Man kann das tatsächlich auch

im Wurzelsystem ausdrücken. Wenn man die herkömmliche Lie-Algebra-Wurzel nimmt und man führt eine weitere Dimension in den Wurzelraum ein, die aber lichtartig ist und führt eine weitere, eine Null-Wurzel ein, dann kriegt man diesen Turm erzeugt. Also es gibt eine natürliche

Möglichkeit, das auch auf den, in der Kartenweizerlegung zu bauen. Das war, was ich zu Stromalgebren, zu Metrien auf der Weltfläche sagen will. Und jetzt will ich tatsächlich dann auch übergehend den Strinkner komplett zu konstruieren und insbesondere masselose Spektrum

abzuleiten. Das ist ja das eigentlich Spannende an der Sache.

Na ja, vielleicht was man noch dazu sagen kann, auch noch interessant ist, ja hier auch relevant in dieser Weise, wenn immer Sie keine solche Katzmodik-Algebra haben, können Sie auch eine Virasoro-Algebra basteln. Also zu dir gehört auch eine Virasoro-Algebra.

Einfach dadurch, dass man Ausdrücke, quadratische Kombinationen der Generatoren macht. Also sowas wie GAB, TATB und dann muss man

das aber noch normal ordnen, bezüglich der, man muss erzeugen, was sind Aufsteiger und Absteiger, also wieder positive und negative Moden von den T's einführen, das ist eine normale Ordnung. Und dieses hier ist ein, wenn wir jetzt hier auch M, N minus M haben, Summe über M,

dann ist das ein L, N. Also Sie können sozusagen ein Aus, also aus einem, aus einer Strom-Algebra oder einer Katzmodik-Algebra können

Sie durch diese quadratischen Konstruktionen eine Virasoro-Algebra machen, also L, N-Generatoren. Diese Konstruktion nennt man Sugawara-Konstruktion nach dem japanischen Physiker Sugawara, der das in den 70er Jahren erfunden hat. Und das liefert eine

Virasoro-Algebra mit zentraler Ladung C, die von Kappa aufhängt. Also Sie bekommen diese L, N's erfüllenden Virasoro-Algebra und die Kommutator-Relation der L, N's mit den T's gibt es auch. Kann man auch hinschreiben. Es ist also eine gemeinsame Struktur von Kommutatoren von T's mit sich selber, von T's mit L's und

von L's mit L's. L, N, L, M, kennen Sie, das ist ein übiges Virasoro-Algebra. Und die zentrale Ladung C dieser Virasoro-Algebra ist eine einfache, rationale Funktion von Kappa. Kann man ausrechnen, hängt also von einem Level ab. Und das kann man hier auch machen. Und wir haben ja unsere, wir können im

Prinzip nachrechnen. In unserem Fall hier, hier in diesem Fall, hier ist Kappa gleiche 1. Das ist die allgemeine

Struktur. Hier ist ja das Sigma nicht irgendwie abstrakt, sondern die Sigma sind ganz konkret konstruiert aus den Lambdas. Und man kann nachrechnen, welchen Wert Kappa annimmt. Und das Kappa ist ja 1. Das ist also eine Level-1 Katzmudi-Algebra, die wir hier haben, für SO32. Und dann kann man das C nachrechnen, der zugehörigen Virasoro-Algebra.

Und wir wissen schon, was da rauskommt. Nämlich 16, 32, Entschuldigung, 32, weil das ist ja gebastelt worden. Also diese Virasoro-Algebra, die Strom-Algebra, ist ja

gebastelt worden aus freien Niveau-Schwarz-Ramond-Feldern. Und jeder von denen trägt in der Wirkung, trägt sozusagen für die Kernform-Anomalie C gleiche 1,5 bei. Nee, nicht 32, schon ist das wieder vertan. 16 natürlich. 32,5. Jedes Lambda trägt 1,5 bei, in der

fermionischen Formulierung. Oder 16 Boson, Phi i, jedes hat direkt 1 bei, in der Summe 16. Wir brauchen auch 16, denn wir haben ja hier oben, das sind die 16 hier. Also wir haben eine Level-1 Katzmudi-Algebra, deren zugehörige Virasoro-Algebra

die zentrale Ladung C gleich 16 hat. So wie das sein muss, damit das alles passt. Der heterotische String hat jetzt die Wirkung, Gauge fixed, und ich schreibe noch F dahinter

für fermion. Also das ist die F-Version, fermionische Version. Die ist einfacher zu verstehen zunächst mal, deswegen fange ich mit der an. Gut, dann habe ich also einmal,

ich schreibe es mal explizit aus, die einsteigende Summationskonvention mal explizit gemacht. Demi xµ plus xµ plus i. Wo haben wir jetzt den

Lieblingsläufer jetzt? Moment, hier falsch gemacht, ne wir Schwarz-Ramon, hopp hopp hopp hopp. Ach so, ja, ich

habe eben glaube ich vielleicht was Falsches gesagt. Hier steht da was Falsches, müssen wir gerade korrigieren. Das ist nicht richtig hier. Die Koordinatestring-Koordinaten x sind natürlich beiden gemeinsam, aber die Psi existieren

natürlich nur im Superstring. Ich bastel ja hier einen Superstring mit einem bosonischen String zusammen, und hier gibt es ja gar keine Psi's, gibt es nur den bosonischen String. Es gibt also nur x-koordinatliche Aufteile in

die ersten 10 und die letzten 16. Die letzten 16 werden dann meine Phi's oder werden ersetzt durch Lambda. Aber hier habe ich nur, hier habe ich links und rechts und hier habe ich nur, das muss weg sein, die gemeinsamen Dimensionen leben nur die x. Keine Psi's, die Psi's sind nicht gemeinsam.

Der Superstring ist ja nur bei den rechts Läufern, also nur, ich habe, also, okay, wir sehen es ja gleich. Ich kann das nochmal hier oben hinschreiben, vielleicht,

um das deutlicher zu machen. Also hier sind sozusagen x rechts und Psi oben. Und hier habe ich x links und hier

habe ich Phi e links. Das sind sozusagen die Koordinaten, die da auftauchen, Phi oder dann Lambda. Also ich schreibe die Wirkung nochmal hin. Psi oben µ, D minus Psi oben µ.

Das ist sozusagen der Teil, der vom Superstring kommt. Und dann wird dazu addiert, Nummer a gleich 1 bis 32, Lambda a, ich mache die fermionische Version unten, D minus D plus Lambda a. Und ja, dann brauche ich natürlich

wieder eine GSO-Projektion. GSO auf den rechts Läufern,

also das ist hier links plus rechts, das ist nur rechts und das ist links.

Und das liefert n gleich 1 Raumzeit-Supersymmetrie, also nicht n gleich 2, wie beim Typ 2a und 2b String, sondern wie beim offenen String nur eine, weil wir haben ja eben nur eine Hälfte hier.

Das ist so, genau, wir haben im offenen String eine Kopie von Erzeugern, von Alfas und Psi-Erzeugern vernichtert. Und wir haben eine Stromalgebra, wie gesagt, oder Katsmudi-Algebra, das ist, die Physiker nennen es Strom,

heute nennen sie eigentlich alle Katsmudi-Algebra, ich glaube die jüngere Generation weiß nicht mehr, was ein Stromalgebra ist, das ist ein Begriff aus den 60er Jahren, aber ich schreibe es trotzdem mal an. Und ja, wir benötigen noch Randbedingungen, Randbedingungen an die Lambda-A.

Ja, wir haben Randbedingungen an die Psi's, das ist klar, wir haben hier den Neve-Schwarz- und den Ramond-Sektor, die mussten wir mit der GSO-Projektion verarzen, aber wir haben noch nicht gesagt, ich habe Ihnen noch nicht gesagt, wie das mit den Lambdas ist, das sind ja Fettern von den Psi's,

also muss ich da auch entscheiden, wenn ich bei einem geschlossenen String einmal rumlaufe, das ist das Periodische, das ist das Antipädiode, also ich habe auch eine Neve-Schwarz- und Ramond-Aufspaltung, hier was die Lambdas angeht, und da habe ich also P, periodisch in Sigma, das nennt man Ramond-Sektor,

und A wie antipädiodisch, und das war der Neve-Schwarz-Sektor.

So, und stellt sich heraus, achso, und diese Entscheidung kann ich treffen für jedes A, also jedes Lambda A, A gleich 1 bis 32, kann entweder A oder P sein,

diese Wahl bricht die SO32-Symmetrie im Allgemeinen, wieso?

Nun, klar, wie funktioniert die SO32-Symmetrie?

Sie haben einen Spalten-Vektor, 32 Komponenten, auf dem wirkt ihre 32 mal 32 Drehmatrix. Wenn alle diese 32 Komponenten dieselben Randbedingungen haben, ist kein Problem, aber nehmen wir an, 17 von denen sind periodisch und 15 sind antipädiodisch,

dann können sie natürlich nicht die Periodischen mit den antipädiodischen irgendwie vermischen in der Transformation, das heißt, die SO32 würde dann zerlegen, ist sich in eine SO15 mal eine Block-Struktur, nur die Matrizen, die eben die ersten 17 Komponenten oder die letzten 15 Komponenten miteinander vermischen, würden übrig bleiben, also die SO32 würde zerfallen oder reduziert werden auf eine SO17 mal SO15.

Und das heißt, je nachdem, welche Wahl wir hier treffen, haben wir eine kleinere Symmetrie realisiert. Nun stellt sich aber raus, Loop-Rechnungen zeigen, das ist wieder etwas, was ich Ihnen nur sagen kann,

nur 32, nur Blöcke mit 16 gleichen Randbedingungen sind konsistent.

Das heißt, wir können nicht machen, was wir wollen, wir haben eigentlich nur drei Möglichkeiten, Entweder wählen wir, eigentlich zwei Möglichkeiten, entweder wählen wir alle Simultanen mit dem gleichen Randbedingungen,

alle periodisch, alle antipädiodisch, das wäre sozusagen ein Neve Schwarz und ein Ramon-Sektor, oder zweite Möglichkeit, wir machen zwei 16er-Blöcke und dann gibt es vier Sektoren. Der erste Block kann Ramon oder Neve Schwarz sein und unabhängig davon der zweite 16er-Block ebenfalls Neve Schwarz oder Ramon.

Und das wird letztendlich auf die beiden möglichen heterologischen Strings führen. Okay, und zwei Möglichkeiten, es gibt zwei Möglichkeiten, also alle Lambda-A entweder NS oder R,

das führt dann auf zwei Sektoren, NS und R, oder Lambda-A, wir verlegen die Lambda-A in zwei Blöcke,

in zwei Blöcke Lambda-A und Lambda-A-Strich und hier laufen wir jetzt nur bis 16 mit A und A-Strich von 1 bis 16.

Also wir machen sozusagen zwei Arten von Indizes auf für den ersten und für den zweiten Block und dann gibt es vier Sektoren, also sozusagen haben wir dann NS, NS-NS, NS-R, R-NS für den ersten und den zweiten Block jeweils.

Okay, nächster Punkt, nächster Abschnitt in diesem Kapitel ist eine der beiden heterologischen Strings, das ist also die Möglichkeit 1, alle Lambda-A gleiche Randbedingungen.

Jetzt kann ich das Spektrum auf verschiedene Weisen konstruieren, ich kann es konstruieren im Neve Schwarz-Ramon oder im Green-Schwarz-Fall.

Ich mache es mal in der Green-Schwarz-Formulierung, Diskussion des Spektrums in der Green-Schwarz-Formulierung.

Da brauche ich nämlich keine GSO-Projektion und ich muss mich auch nicht kümmern um Null-Vektoren und sowas, das hat Vorteile für die Rechtsläufer.

Die Rechtsläufer sind ja unsere Superkandidaten vom Superspringanteil, da kann ich jetzt die Green-Schwarz-Formulierung verwenden.

Ich schreibe mal hin, was die L0-Generatoren sind, die sind für die Rechtsläufer p-rechts-Quadrat plus n. Und dann habe ich L0-Schlange für die Linksläufer, p-links-Quadrat plus n-Schlange.

Und was ist n und n-Schlange? N ist ganz normal wie im bersonischen String, wobei das Kalabrukt hier, wenn ich transversal mache, über die acht transversalen Richtungen läuft.

Und dann habe ich aber zusätzlich noch einen Anteil im Green-Schwarz-String von den Raumzeit-Fermionischen Moden.

Vielleicht lasse ich den Punkt weg und schreibe hier i in, damit klar ist, hier wird summiert über die acht transversalen Richtungen. Und das sind die Spinor, vielleicht sollte ich Alpha schreiben, ich weiß nicht genau was hatte, was Frau Tormeyen eingeführt hat, welchen Index.

Ist das Alpha genannt? Vielleicht nennen wir es Alpha, das sind die S-Spinoren, das ist unser Spinoindex. Also i, vielleicht 1 bis 8 und Alpha läuft auch von 1 bis 8. Spinoindex und Vektorindex für SO8.

So, die sind ja periodisch hier. Die S-Felder im Green-Schwarz-String, die haben keine Schwarz- oder Ramondsektor, die sind immer periodisch, genau wie die Koordinaten. Das haben wir kein Problem. So, und die Linksläufer, da kommen jetzt die Lambdas rein.

Also einmal von den normalen bosonischen Koordinaten haben wir die Anteile von den Alpha-Schlanges. Das ist sozusagen der X-Anteil des Anzahloperators.

Und jetzt gibt es zusätzlich hier, bitte keine Klammer, das ist eine Neusumme, k größer 0, k Lambda minus k Lambda k. Wobei, Sie erinnern sich, das k hatte ich eingeführt als ganz- oder halbzahligen Summationsindex,

ob im Ramond- oder Nebeschwarzsektor sind. Ich schreibe es nochmal an. K ist Element von N, also in dem Fall positiv hier, im Ramondsektor, also P, im Fall von, ja, ich weiß nicht, was ich lieber P oder R, was man schreibt.

Also Ramondsektor, ich schreibe mal so Ramond, und im Fall von Nebeschwarzsektor ist das N plus ein halbzahlig. Also das sind unsere Ns, und daraus kriegen wir natürlich die Massenformel.

Ja, wir kriegen, wir kriegen aus dem Level Matching, also wir bekommen, das war, Level Matching ist L0 minus A gleich L0-Schlange minus A-Schlange.

Ja, wir können für Rechts- und Linksläufer im Prinzip verschiedene Normalordnungskonstanzen Schifts haben für das L0. Um das gleich zu setzen, liefert P links gleich P rechts gleich P, also im R9-1.

Also das sind die Impulse, klar, das sind die nicht kompaktifizierten Koordinaten, da habe ich keine Windungszahlen. Und N-A gleich N-Schlange minus A-Schlange, also ich habe sozusagen eine Bedingung.

Ich kann nicht beliebig einfach Anregungen hier mit anderen hier verknüpfen, die müssen zusammenhängen, ja, über diese Bedingung. So, und jetzt kann ich, ist die Frage, was weiß ich über dieses A und A-Schlange? Im bosonischen String war das 1, im NSR String war das ein halb, im Ramondsektor war es 0, und im Nebeschwarzsektor war es ein halb.

Es gibt eine einfache Faustregel, wie man das ohne großes Rechnen für jede Theorie angeben kann. Die Faustregel gebe ich Ihnen jetzt. Die normale Ordnungskonstante erhält Beiträge von, jetzt drei Fälle, plus ein 24.

Für jedes x links oder x rechts, je nachdem, also für bosonen. Minus ein 24. Für jedes Ramond Fermion.

Für S und lambda R. Und lambda periodisch, lambda Ramond, also periodisch.

Das sind Ramond Fermionen. Ja, das S ist ja auch periodisch, das hat ganz zahlige Inities, genauso wie ein Ramond Fermion.

Und plus ein 48. für jedes lambda anti-periodisch, also NS Fermion. Das ist die Faustregel, die kann man begründen. Eine nette Möglichkeit ist CETA-Funktionsregularisierung zu verwenden.

Ich hatte das ja mal kurz gezeigt, bei bosonischen Strigen, wenn man sonst diese divergente Summe über eins addiert, kriegt man CETA für minus ein halb. Das ist ein Zwölftel. Minus ein Zwölftel. Und dieses Minus ein Zwölftel, ja, irgendwo kommt noch ein Faktor ein Halb vor.

Das ist der Punkt, wie man auf die 24 kommt. Man sieht hier sehr schön, warum im NSR-String der Ramond-Sektor kein A hat, wo das A0 ist, weil wir genauso viele Psys haben. Also im Nr. Schwarz-Ramond-Fall haben wir ja, wir können auch Psys hier hinschreiben. Lambda oder Psys ist egal, das hat die gleichen Beiträge.

Also für ein periodisches Psys kriegen wir, wir haben genauso viele Psys wie Xs im Nr. Schwarz-Ramond-String, dann heben sich die Beiträge genau weg. Deswegen bleibt nichts über. Aber im NS-Fall gibt es für jedes Boson ein 24. und für jedes Fermion ein 48.

Und dann addiert sich das zu 3 48, das ist ein 16. Und das wäre jetzt scheinbar mehr als im bosonischen String, aber, Moment, wie ist das?

Warum haben wir da weniger? Weil es ist ja nur ein Halb hier statt 1. Ach, das hat zu tun mit der, ach so, richtig. Im bosonischen String haben wir natürlich 24 transversale Dimensionen. Deswegen 24 24. ist 1. Und im Nr. Schwarz-Sektor des NSR-String haben wir 8 transversale Dimensionen.

Und dann haben wir hier für jede Dimension ein 24. plus ein 48. Das ist ein 16. Und 8 16. ist ein Halb. Also der weiß nochmal zu seinem Kopf nachgerechnet, wie das sein muss.

Okay, jetzt müssen wir im Grunde genommen nur hier aufaddieren. Was haben wir denn? Hier, das a ist 8 mal ein 24. plus 8 mal minus ein 24.

Ja, a ist ja hier, was trägt zu a bei? Nur die x und die s. Also Ramond und so genau. Genauso viele x und 8 s. Ja, also 0. Aber a Schlange ist nicht 0. Das hängt jetzt vom Nr. Schwarz oder Ramond ab. Das ist 8 mal ein 24 natürlich wieder. Und dann kommt dazu 32. Wir haben 32 Lambdas.

Das ist entweder mal minus ein 24. Das radiert sich zu minus 1 im Ramond-Fall. Oder 32 mal plus ein 48. Und wenn Sie das nachrechnen, kommt da plus 1 raus in der W. Schwarz-Sektor.

Okay, also wir müssen unterscheiden. Wir haben unterschiedliche Normal- und Konstanten, wie auch beim Super-String. Aber hier für die Rechtsläufer. Für den Linksläufer in der Green-Schwarz-Formulierung heben die sich jedenfalls weg, weil das wie im Ramond ist.

Nach der GSO-Projektion ist das auch. Also das ist sozusagen das, was jetzt eingeht in diese Level-Matching-Formel. Und dann kann man einfach anfangen hinzuschreiben, was sind die niedrigsten Zustände.

Also erst mal sieht man, es gibt kein Tachion, weil A ist Null. Und N und N-Schlange sind beides nicht negativer Operatoren.

Also das Spektrum von N und N-Schlange ist nicht negativ. Das heißt zum Beispiel hier, wenn ich A-Schlange gleich minus 1 habe, die linke Seite ist immer positiv, weil A gleich Null ist. Wenn A-Schlange gleich minus 1 ist, dann steht hier N-Schlange plus 1.

Aber N-Schlange ist auch positiv, da gibt es keine Lösung. Das heißt, ich kann kein Tachion, obwohl hier eine Möglichkeit... Moment, das Problem wäre eher... Wo war das Problem? Wo könnte ich etwas...

Okay, wir werden es ja gleich sehen. Also es gibt kein Tachion. Ich schreibe nochmal die Bedingungen hier für die Massenformel. Also die Massenformel sieht dann folgendermaßen aus. Im Ramond-Sektor, das ist der mit Minus, Ramond ist periodisch.

Im Ramond-Sektor haben wir alpha strich halbe M-Quadrat gleich... Also wir haben in beiden Fällen alpha strich M-Quadrat,

gleich 2N und das ist im Ramond-Fall N plus N-Schlange plus 1, wobei eben N gleich N-Schlange plus 1 ist.

Das ist im Ramond-Sektor. Und im N-Schwarz-Fall haben wir N plus N-Schlange minus 1 und da ist N gleich N-Schlange minus 1.

Also das ist hier die Bedingung, die ich einfach hier rausbekommen habe, dass ich A gleich N und N-Schlange gleich plus und minus 1 einsetze. Und in der Masse habe ich ja die Summe immer von beiden Termen. Also die Masse kommt ja aus L0 plus L0-Schlange.

Wenn ich das auf die andere Seite bringe, dann kriege ich natürlich Beiträge von beiden, N und N-Schlange. Das sieht so aus. Okay. Jetzt sieht man glaube ich, könnte man ein Tachyon haben, wenn ich also N gleich N-Schlange gleich Null hätte.

Richtig. Also Sie sehen hier dran, N gleich N-Schlange gleich Null scheint, gäbe vielleicht ein Tachyon, aber diese Bedingung verbietet das. Wenn N-Schlange, N-Schlange kann nicht Null sein, weil N ist positiv, wenn N-Null ist, ist der kleinste Wert, dann ist N-Schlange schon mal eins.

Also hier an der Form sieht man es natürlich auch. Hier steht kein Minus irgendwas mehr. Also Null oder positiv als Spektrum. Gut. Also Grundzustände N gleich Null sind masselos. Also die Tachyonabwesenheit erbt die Theorie vom Superstring.

Und wir haben im Ramon-Sektor R, ich klassifiziere alle Zustände nach Darstellung von SO8 mal SO32.

Das ist die SO8, das sind die Raumzeit, U gleich 1 bis 8 oder Alpha, oder Alpha gleich 1 bis 8, Raumzeit, D gleich, also das ist 9 plus 1.

Und das sind die internen, also Raumzeit. Und hier sind die A gleich 1 bis 32 intern.

Ich muss so zwei Darstellungen immer angeben. Wie transformiert das unter den beiden Gruppen? So und im Ramon-Sektor R habe ich die Zustände I, Ramon, das sind Rechtsläufer, R, nicht Ramon-Sektor, sorry, Rechtsläufer, rechts.

Zu viele R, Rechtsläufer. Das ist im Superstring abgekupfert. Im Superstring gab es diesen und es gab den Alpha Punkt, glaube ich, oder Alpha, weiß nicht mehr genau. Ich glaube Alpha Punkt, C genannt. Spielt nicht wirklich eine Rolle.

Dieses in der Darstellung, in welchen Darstellungen sitzt das? Das sitzt in einer 8-Vektor-Darstellung von der SO8 und in der trivialen Darstellung von SO32. Das trägt keine SO32-Indizes. Dieses hier sitzt in der 8-Spinner -Darstellung, in der konjugierten Spinner-Darstellung, auch in der trivialen Darstellung der SO32.

Das ist alles. Das sind SO32-Singlets. Das ist ganz normal das Super Young Mills -Multiplet Gluon und Gloino, Eichbrosern und Supersymmetischer Partner, den wir schon beim offenen Superstring hatten. Offenes String ist ja sozusagen eine Hälfte des geschlossenen Strings. Wir sehen ja hier gerade die Rechtsläufer.

Spannend wird es bei den Linksläufern. Da müssen wir jetzt Neverschwarz und Ramon unterscheiden. R-Sektor. Und im R-Sektor haben wir, was ist N-Schlange? N-Schlange im N, wenn Sie Ramon-Sektor

nehmen da oben und N gleich 0 wählen, dann muss N-Schlange gleich minus 1 sein. Das geht nicht. Leer. Es gibt keine Zustände im Ramon-Sektor. Und im N-Sektor, das ist N-Schlange gleich plus 1. Wir reden über die Grundzustände.

Was haben wir da? Da haben wir zwei Möglichkeiten. Wir haben entweder die Zustände Alpha minus 1i auf dem links laufenden Grundzustand.

Das ist was für eine Darstellung? Das ist ebenfalls eine achtdimensionale Vektor -Darstellung. Das sind diese Vektorindizes von SO8. Und ein Singlet unter der SO32.

Und wir haben aber auch im Neverschwarz-Sektor halbzahlige Lambda-Erzeugende. So, und wie transformieren diese Dinge?

Das ist ein Singlet unter der SO8. Das sind keine SO8-Indizes. Aber es trägt zwei fundamentale Indizes der SO32. Und es ist antisymmetrisch, weil die Lambdas da antivertauschen. Was passiert, wenn Sie zwei, ein antisymmetrisches Tensorprodukt von zwei fundamentalen Darstellungen bilden in einer orthogonalen Gruppe?

Dann kriegen Sie die atingierte Darstellung. Das ist genau das, wie wir die Sigmas aus den Lambdas konstruiert haben. Gamma-Matrizen, antisymmetrische Produkte. Also können Sie abzählen. N mal N minus 1 halbe sind gerade die Zeit der Generatoren.

Das ist gerade die atingierte Darstellung. Das ist die 496. So viel ist die Dimension. Das ist die atingierte Darstellung von SO32. So, und jetzt bin ich fast fertig. Jetzt noch rechts und links kombinieren. Tensoriere rechts mit links. Was bekomme ich dann?

Darüber brauche ich einmal. I rechts mit Alpha minus 1. Aber ich glaube, ich habe hier eine Schlange. Hier muss eine Schlange hin. Das sind die Linksläufer. Mit Alpha minus 1 Schlange. J links.

Also ich muss jetzt diese zwei mit den zwei tensorieren. Ich kriege vier Typen von Zuständen. Was ist das? Das ist eine 8 Vektor mal 8 Vektor. Das gibt eine 1 plus 28 plus 35. Das kennen wir schon. Das ist unser übliches Gravitationsmultiplett.

Dann haben wir ein Alpha Punkt rechts tensoriert mit Alpha minus 1 J Schlange. Links. Das gibt eine 8 C mit einem 8 V. Das ist die 8 S plus 56 S. Das sind die supersymmetrischen Partner von dem Gravitationsmultiplett.

Das zusammen ist also Dilaton. Das ist D gleich 10, N gleich 1. Super Gravitation. Graviton, Rang 2 Feld, Gaugino, Dilatino, Dilaton. Genauso, was wir auch beim offenen String super String hatten.

Aber was jetzt neu ist, wir können diese beiden auch mit dem hier kombinieren. Dann gibt es ein I rechts mit einem Lambda minus einhalb, Lambda minus einhalb, AB links.

Und was ist das? Das ist eine 8 Vektor mal eine 1 bezüglich SO8. Das ist also eine 8 Vektor Darstellung.

Und wir haben Alpha Punkt R rechts mit demselben Lambda minus einhalb, Lambda minus einhalb, AB 0. Das ist 8 konjungierter Spinor mit 1, also eine 8 Spinor, 8 C. Aber diese hier tragen noch zusätzlich SO32 adjungierte Indizes. AB.

Das ist also ein und 96 von SO32. Das heißt dieses hier, was ist das?

Das sind Objekte, das sind ein Raumzeit Vektor und ein Raumzeit Spinor. Aber gleichzeitig nimmt es Werte an in der adjungierten Darstellung der Gruppe SO32. Und es ist masselos. Das heißt es sind massellose Vektor-Bosonen und massellose Spinoren. In der adjungierten Darstellung von SO32. Das sind Eich-Bosonen.

Das ist N gleich 1, D gleich 10, N gleich 1, SO32, Super Young Mills. Das heißt wir haben im Spektrum beides, Super Gravitation und Super Young Mills für die Eichgruppe SO32.

Also hier haben wir jetzt Eichsymmetrie. Und das lag daran, dass diese Zustände masselos sind. Warum sind die und in der adjungierten Darstellung sitzen? Das ist aber automatisch, weil das B-Linear ist in den Lambdas.

Und es tritt eben auf wegen der richtigen Minus 1 da oben. Wir müssen sozusagen einmal aufsteigen über den links laufenden Vakuum. Und mit zwei halb zahlig gemodeten Lambdas gibt es gerade etwas Antisymmetrisches in den fundamentalen Indizes.

Und es passiert automatisch, dass Sie Vektor-Bosonen in der Eichgruppe kriegen. So und in dem massiven Sektor kannst du das jetzt natürlich wiederholen. Dann müssen Sie jetzt GSO-Projektionen auch im Lambda-Sektor machen. Das habe ich hier nicht gemacht. Also wir müssen auch GSO-Projektionen hier auf den Rechtsläufern machen, auf den Linksläufern durchführen.

Das war hier nicht notwendig. Und dann gibt es eben entsprechende Super Multiplates, die dann explodieren in der Anzahl in größeren, höheren Niveaus. Ich sage dann ein bisschen was noch dazu nächste Woche.

Und nächste Woche dann die andere Variante, die ist die E8-Kreuz-E8 -Theorie, die aus der zweiten Möglichkeit entsteht, zwei 16er-Block unterschiedlich zu behandeln. Das ist dann nochmal eine kleine Überraschung. E8, wo kommt denn eine E8 her? Exzeptionelle D-Algebra ist ein bisschen mysteriös, aber klärt sich dann hoffentlich. Gut, dann war es das für heute erstmal. Danke.