Wir legen mal los. Ich hoffe, Sie sind letzte Woche gut ohne mich klargekommen und haben etwas über Spinoren gelernt, denn ich werde heute und morgen davon Gebrauch machen. Der Super-String

oder der Permionische String wird heute anfangen, aber bevor ich damit starte, würde ich gerne noch ein klein wenig Zeit verbringen, um Ihnen zu zeigen, was beim Personischen String mit höheren Loops passiert. Also in der Störungstheorie, ich erinnere Sie, die

Weltfläche hat dann Löcher, ist topologisch komplizierter. Das sind sozusagen die Feynman-Diagramme, wenn Sie so wollen, von höherer Schleifenordnung. Bisher haben wir Amplituden immer nur auf Tri-Niveau ausgerechnet, also für die niedrigste Topologie. Es ist durchaus

nicht trivial und auch ganz interessant zu sehen, was passiert, wenn man das weiter treibt, Schleifenkorrekturen berechnet. Ich werde eigentlich explizit wirklich nur was für den Torus sagen, einen Loop, weil man da sehr viel konkret rechnen kann. Bei zwei Loops und mehr wird es ziemlich haarig. Also Thema ist heute sozusagen Ende von Kapitel 3,

glaube ich, Stringwechselwirkung, Loop Amplituden. Im Wesentlichen macht man

sich dabei zu Nutze, dass die Poliakov-Formulierung der Stringtheorie diese konforme Variants hat. Wir können also eigentlich immer alle Worldsheets abbilden auf ein konform equivalentes Worldsheet. Das heißt zum Beispiel Tri-Level Amplituden des geschlossenen Strings immer abbilden auf die Worldsheet, das Worldsheet immer

abbilden auf eine Sphäre mit kleinen Punches nennt man das, also kleinen Einsetzungen, da wo die Vertex-Operatoren als sozusagen Minimal-Schläuche reinlaufen. Die laufen ja sozusagen als Zylinder von einem endlichen geschlossenen String da dran, bevor sie in die Wechselwirkungszone, wenn man so will, kommen. Und diese Zylinder kann man quasi durch eine

konforme Abbildung auf den Punkt zusammenziehen. Das ist dann sozusagen eine lokale Einsatzpunkt, wo man den Vertex-Operator dann in der Weltfläche einsetzt, in der Stelle bei den Koordinaten. Das heißt also durch konforme Symmetrie erlaubt,

also Weltflächen in Stringstörungstheorie, ich sag mal auf Standardgeometrien zum Beispiel

gepunktete Sphären für Genus 0, geschlossener String, das haben wir R-Vertices. Das wäre

so ein Beispiel. In so einem Fall wäre das einfach eine Sphäre und wir hätten hier irgendwo

1, 2, 3, 4 bis R Punkte auf dieser Sphäre markiert, an denen Vertex-Operatoren eingesetzt werden. Sie können, wenn Sie so wollen, auch mit den Punkten noch Linien verbinden,

die andeuten, dass hier Quantenzahlen wie Impulse und so weiter rein und rauslaufen. Das sind sozusagen die äußeren Beine, die haben wir hier zurückgezogen auf diese Vertices, auf diese Punkters, Punkte. Und natürlich für den offenen String gibt es dann noch, da muss man dann Löcher einschneiden. Für höhere, also jenseits des Triniveaus,

sieht das dann komplizierter aus, hat man dann halt Tori für den geschlossenen String und so weiter. Und auch mit Punkters, das wäre jetzt für den geschlossenen String.

Ich betrachte zunächst einmal der einfache Teil bei dem geschlossenen String. Die Komplikation für den offenen String lassen sich dann später einfach ergänzen. Und die Koppelungskonstante, jeder dieser Beiträge in der String-Störungstheorie, das ist ja dann eine unendliche Summe. Sagen wir mal für die 4-Punkt-Ampetitur, da hätten wir dann 4 Einsetzungen, das startet mit der Sphäre

mit 4 Punkten, dann kommt der Torus, dann kommen die 2 Loopfläche und so weiter. Und jedes Diagramm ist gewichtet, einer Potenz der String-Koppelung, in dem Fall der geschlossenen

String-Koppelung, kappa. Und die Potenz, sie erinnern sich, ist einfach die Zahl natürlich der, ich sag mal, nc, ist die Zahl der, na r, schau mal, sr, r ist die Zahl der Vertices, die ich da angegeben habe. Und dann kommt da noch von der, von diesem Dilaton-Term,

kommt noch ein Beitrag, der von der Charakteristik der Weltfläche kommt. Schi. Und Schi ist in diesem Fall, weil wir keine Kreuzkappen und Ränder haben, einfach nur 2 minus 2g. Also steht da r plus 2g minus 2. Das ist die Potenz. Also können Sie abzählen. Ja, also, was weiß ich

für, ja, wir haben ja Beispiele gesehen, ja. Also man kann sich das leicht überlegen, mit Beispielen, dass das passt. Okay. Das war also die, das stand schon da. Und jetzt geht es eigentlich darum, ja, wir haben beim Triniveau, haben Sie gesehen, hatten wir bei der

Berechnung Abitun zu integrieren über r minus 3 Punkte. Ja. 3 Punkte wurden, mussten nicht integriert werden, weil wir eine Isometrie hatten. Die Sphäre hat eine Konform-Isometrie, die 3 komplexe Freiheitsgrade hat. Ja, diese Gruppe SL2C. Und durch diese Freiheit muss man

durchteilen, um nicht überzuzählen. Und das erlaubt uns, 3 dieser r Punkte festzuhalten. Das ist eine Spezialität der Sphäre. Ja, und jetzt kann man sich fragen, was passiert auf höherem Geschlecht. Ja, gibt es ja auch Isometrien. Und also es treten 2 Effekte auf. Der

eine ist, dass die Isometrien weniger werden bei höherem Geschlecht. Man kann also weniger Punkte fixieren. Abgeschlecht 2 gibt es überhaupt keine Isometrien mehr hier. Das heißt, man muss wirklich über alle Punkte integrieren. Aber es tritt noch ein zweiter Effekt auf, nämlich der, dass, ja, man kann sich ja fragen, wenn man eine Standardgeometrie nimmt,

wie hier gesagt, und dann alle anderen Geometrien sozusagen durch, ja, durch den Raum alle Sphären eigentlich, ja, feinmannische Idee, feinmannisches Fahrtintegral über alle Möglichkeiten, ja, in der Quantenwelt summieren, also über alle

Geometrien hier. Aber alle nicht äquivalenten Geometrien summieren. Aber wenn diese Geometrien alle konform äquivalenz zur Sphäre ist, hat man nur eine, ja. Das heißt, das war da in dem Fall einfach. Die Frage ist aber bei höherem Geschlecht, wenn Sie eine Standardgeometrie nehmen, ja, erreichen Sie wirklich durch konforme Transformationen oder generell durch

Koordinatentransformationen alle Geometrien, alle zwei Loopgeometrien. Oder gibt es welche, die Sie nicht durch konforme Transformationen erreichen. Und über die müsste man dann irgendwie noch separat integrieren. Weil die Theorie ist konform invariant. Das heißt, wir müssen nicht über zwei, wir müssen nicht zwei Geometrien doppelt zählen,

die durch eine konforme Transformation verbunden sind oder durch eine Koordinatentransformation ganz allgemein. Also wenn Sie die Eichfixierung aufheben, dann ist ja die konforme Invariance sozusagen, die kam ja bei einer Westsymmetrie aus der allgemeinen Koordinat Invariance, der zweidimensionalen Reparametrisierungs Invariance der Weltfläche. Wenn also zwei Weltflächen durch eine Reparametrisierung zusammenhängen, dann sollten wir die nur einmal zählen im Pfadintegral.

Aber es kann passieren, dass wir zwei Weltflächen vom Geschlecht 2 haben, und es wird passieren, die eben nicht durch eine Reparametrisierung zusammenhängen. Und dann müssen wir die tatsächlich getrennt aufzählen. Deswegen geht es darum, es herauszufinden, wie viele Äquivalenzklassen von Reparametrisierungs-, also

5, was auch immer, Flächen haben wir dann. Das ist eine Frage der Mathematik, der Riemannschen Geometrie. Das ist 19. Jahrhundert, das ist gelöst, das kann man nachgucken. Gut, also die Idee ist, wir brauchen sozusagen den Modulraum, der Riemannschen Flächen,

möglicherweise der gepumpteten Riemannschen Flächen. Ich klammer das mal ein, das kann man sozusagen mitgepumpt und ohne punkte diskutieren. Das ist ein bisschen die Geschmacksfrage vom Geschlecht G. Dieser Modulraum ist sozusagen die Menge aller

Metriken. Modulo, die Menge aller Weilreskalierung. Wir haben ja zwei Arten von Symmetrien. Wir haben nicht nur die Reparametrisierung, sondern auch die Weiltransformation,

auch lokale Diffie-Morphismen oder Reparametrisierungen. Das sind dann auch Diffie-Morphismen,

Diffieo, das ist dasselbe. Also Reparametrisierung oder ein zweitdimensionaler Diffie-Morphismus,

der weltwech. Wir müssen also sozusagen so einen Quotientenraum bilden, alle Metriken Modulo dieser Freiheiten, die es gibt. Und das kann man beschreiben folgendermaßen. Wir schauen uns den Raum aller Metriken an. Im Raum aller Metriken an eine feste Metrik. Das ist jetzt sozusagen, das ist ein unendlich dimensionaler Raum,

aber nichtsdestotrotz, kann man sich als mannigfaltigkeit, unendlich dimensional mannigfaltigkeit vorstellen, eine Metrik rauspicken und da den Fangenzialraum nehmen. Das heißt wir variieren die Metriken ein bisschen linear, machen eine infinitesimale Änderung der Metriken. Also wir haben hier die Diffie-Morphismen, die Diffie-Morphismen,

die Metriken haben wir h-Alphabeter genannt, sie erinnern sich. Und dann verschieben wir das h-Alphabetermal. Und ich behaupte diese Verschiebungen von h, die lassen sich halt auf,

die lassen sich zerlegen in verschiedene Anteile. Da gibt es einmal den Weillanteil, das ist eine Weilltransformation. Das war der Parameter lambda. Der multipliziert die Metriken nur mit dem Faktor. Dann gibt es die Diffie-Morphismen, die sehen so aus.

Diffie-Morphismen wird erzeugt durch einen infinitesimalen, also durch einen Vektor der Weltfläche. Also das ist ein, zwei Parameter, Xi Tau und Xi Sigma, der sozusagen die

Koordinatenverschiebungen lokal beschreibt in die Sigma und Tau-Richtung. Und das ist die Dann gibt es noch einen Term, der eben beschreibt die Richtungen, in die man die Metrik verändert, die nicht erreichbar sind durch Diffie-Morphismen oder Weilltransformationen. Und die werden

parametrisiert mit Parametern Tau. Und das ist sozusagen meine Unkenntnis, ich kann das immer so schreiben. Die Metriken hängen von einem Scharparameter ab, der eben in diesem Quotientenraum liegt, also nicht, wo es Richtungen gibt, die ich nicht durch Reparatisierung oder Weilltransformation erreichen kann, dann ist das hier einfach

die Änderung in diese Richtung. Und das i ist eine Anzahl, also ich mag mehrere Parameter, mehrere Richtungen geben. So das ist jetzt noch nicht so richtig toll, weil hier die Spuranteile in diesem hier, also ein Anteil hier, der proportional

zu h alphabeter ist, und auch ein Anteil hier, der proportional zu h alphabeter ist, den kann ich ja wieder absorbieren in Weilltransformationen. Also jede Änderung, die wieder proportionatometrisch ist, ist eigentlich eine Weilltransformation. Das heißt, diese Aufteilung ist noch nicht disjunkt. Und ich sollte die Spuranteile abziehen. Also um das besser zu machen,

schreibe ich das so. Und ich definiere einen Operator P, sage ich gleich, was das ist. Und ich schreibe das einfach ein bisschen um. Das heißt hier nur,

ja, das mu, dieses hier ist nichts anderes als die Ableitung, also d nach d tau, also d, d nach d tau i, h minus die Spur, ja, minus ein halb h mal h gamma delta,

d nach d tau i, h gamma delta. Das ist sozusagen der Anteil, der spurfrei ist von diesem Term. Und dieses ist auch der spurfreie Teil, also das ist spurfreier Teil von dem da,

von dem symmetrischen Produkt dieser Ableitung. Und die Spuren habe ich einfach jetzt hier

absorbiert. So, dieses hier ist relativ wichtig. Also dieser Anteil, dieser Vektor P, oder, Entschuldigung, dieser Operator P, was macht der? Der bildet, also man kann sich nicht jetzt ausrechnen, wie der aussieht. Das ist im Wesentlichen, ja, Kombination von

kurvalen Ableitungen, ja, abzüglich dieses Spurteils. Der bildet Vektoren auf der Weltfläche, Vektoren ab, also Xi, ja. Was ist das Ergebnis von Xi? Also Xi, nimmt Vektoren Xi und spuckt aus einen symmetrischen spurfreien Tensor. Also,

sie bildet ab auf symmetrische spurfreie Gang-2-Tensoren. Okay, das ist so eine

klare Abbildung. Und das beschreibt jetzt die Diffimorphismen. Also, die Diffimorphismen stecken hier nochmal. Ach so, und dieser Teil hier, das nennt man, das sind die Moduli. Das

sind die Transformationen, die man nicht erreichen kann. Hier, wie ich schon sagte, das ist also das, was uns eigentlich interessiert in diesem Quotientenraum. So, jetzt haben wir also diese drei Teile. Und diese Zerlegung lässt sich sehr schön, oder die Freiheitsgradigkeit dieser Zerlegung lässt sich ganz gut karakterisieren über

diesen Operator P. Wie folgendermaßen. Ja, der P hat einen Kern, Kern von P. Was ist das? Das sind die Verschiebungen, die Koordinatenverschiebungen, die die Metrien nicht ändern.

Wenn ich also einen Diffimorphismus mache mit dieser, mit diesem Parameter, dann wird H auf sich selber abgebildet. Delta H ist Null. Das ist aber gerade eine Isometrie. Unsere sechs oder drei komplexen Transformationen der Sphäre sind genau von dem Typ. Das heißt,

der Kern von P, der besteht gerade aus den Isometrien. Man nennt das die konforme Killingvektoren. Eine Isometrie ist eine konforme Isometrie. Eine Isometrie bis auf einen

konformen Faktor. Also wenn ich so eine Transformation mache und die Sphäre geht in sich selber über, aber mit einem ortsabhängigen Faktor, dann ist das sozusagen immer noch okay, weil das ist ja wegen unserer konformen Symmetrie mal noch Äquivalenz zu der ursprünglichen Sphäre. Also eine regierte Sphäre hat nur drei reelle Freiheitsgrade, aber hat sechs Freiheitsgrade unter konformen Transformationen. Ja,

die konforme Invariantsgruppe, konforme Killingvektoren sind also konforme Killingvektoren.

Ich weiß nicht, wer mir den Begriff Killing was anfangen kann. Das kommt aus der Differential- geometrie. Wenn Sie eine Allgemeine Relativitätstierevorlesung waren, dann sollte Ihnen das mal begegnet sein. Vielleicht sagen wir sozusagen konforme Isometriegruppe,

der Riemannflächen, also vielleicht sollte man die Riemannflächen noch irgendwie benennen. Riemannsche Flächen sigma. So, das ist das eine. Und dann haben wir natürlich auch das Bild

von P. Das Bild von P, das sind gerade die Deformophismen. Das sind die, also die

Endungen der Metrik. Okay, vielleicht ist es nicht richtig gesagt, Deformophismen zu schreiben, aber das sind die, naja gut, ich schreib's mal so. Das ist das, was ich erreichen kann durch Deformophismen, die Endungen der Metrik. Okay, jetzt ist es aber so, dass die symmetrischen

spurfreien Rang-2-Tensoren, die werden nicht alle erreicht möglicherweise durch P. Das heißt, das P hat nicht nur einen Kern, sondern es ist auch nicht unbedingt surjektiv.

Es gibt also symmetrische spurfreie Tensoren, die nicht im Bild von P liegen. Das wären also gerade Metrikänderungen, die wir nicht erreichen können auf die Anweise. Das sind genau die Moduli. Zumindest sind die da drin. Das heißt, ich kann das vorangeschreiben,

symmetrisch, denn die Menge aller symmetrischen spurlosen Tensoren, die zerlegt sich in Bild von P plus, naja, der Rest ist Kern von einem P-Kreuz, wo ich nicht erklärt habe,

was P-Kreuz ist. Es gibt eine, also jetzt muss man so sagen, es gibt eine Paarung von Formen. Also man kann sozusagen eine Zweiform mit zwei Vektoren. Man kann natürlich, das

kennen Sie aus der, in Berlin ist das höhere, wie sagt man, alternierende Algebra. Im Tangentialraum hat man formbeliebend Grades und man hat halt auch Multivektoren. Also ein Vektor, das kennen Sie als eine Einsform und ein Vektor bilden eine Zahl. Also die Einsform

nimmt ein Vektor und gibt eine Zahl. Oder eine Zweiform braucht zwei Vektoren und gibt ihnen eine Zahl. Und so können Sie ein N-Multivektor mit einer N-Form, gibt eine Zahl. Das ist also eine Paarung. Sie können sozusagen in einer Art, ja, es ist eine Dualität, nichts anderes.

Und mit dieser Paarung können Sie natürlich auch so einen Operator konjugieren in diesem Skalarprodukt. Sie können also sozusagen, dieses Ding wirkt auf, also das sieht dann so aus, was weiß ich, P wirkt auf einen Vektor. Ich schreibe es mal so weg. Vektor Xi. Das hat

dann zwei Indizes. Das wäre sozusagen, und dann können Sie es paaren mit etwas, was zwei Indizes oben hat. Das weiß ich B-Alpha Beta. Ich schreibe es mal so, ein bisschen suggestiv. Und wenn das Intensor ist vom Rang 2, dann ist das Duale dazu ein

quadratisches Differential. Denken Sie an Koh- und Kontavariant. Also Dual, das heißt, man kann hier, das wäre dann wieder, hätte nur einen Index. Das ist jetzt schlecht geschrieben,

aber ich versuche nur zu suggerieren, wie die Struktur aussehen soll. Das heißt, hier haben wir in der Operation P-Kreuz, die wirkt auf quadratische Differentiale und reduziert den Rang sozusagen um 1. Macht daraus eine 1, macht aus einer 2 Form. Es ist keine

Form. Es ist quadratisches Differential, ein normales, eine 1 Form. Dual zu diesem Xi. Und es ist jetzt natürlich klar, wenn hier das einen Kern hat, dann gibt es quadratische Differentiale, die hier vernichtet werden. Das sind die quadratischen Differentiale, die senkrecht stehen im Sinne des Skalarprodukts auf dem. Aber das waren ja gerade die

Metrikänderungen, die wir durch die Diffimophismen erreichen. Dann gibt es also welche, die auf den erreichbaren Metrikänderungen senkrecht stehen. Und das sind unsere Moduli. Das heißt,

hier stecken die Delta Ti Moduli. Also sie kann man durch quadratische Differentiale beschreiben. Okay. Ja, und dann gibt es einen, es hatten wir hier sozusagen zweimal

einen Kern, einen Kern von P und einen Kern von P-Kreuz. Und je nachdem welche Höhe Mathematik sich schon gehört haben, dann klingelt es im Kopf. Da gibt es einen ganz berühmten zentralen Satz in der Mathematik, der in allen möglichen Bereichen wieder vorkommt,

einen verschiedenen Namen trägt, Riemann-Roch sozusagen, zwei Namen, die damit immer assoziiert werden. Manchmal Riemann-Roch-Artier, ich weiß nicht mehr, da gibt es verschiedene andere Namen noch. Das Riemann-Roch-Theorem, der Satz von Riemann-Roch, sagt, dass der Index von einem Operator, der ist definiert, als die Differenz der Dimensionen des

Kerns von P und der Dimension des Kerns von P-Kreuz. Das ist eine topologische Invariante. Die hängt nur von der Topologie der, ja, also von der Struktur des Bündels ab und der

Mannigweiligkeit, über die dieses Bündel definiert ist, wo, ja, Tangentialbündel oder was hat man, das Bündel, wo dieses P operiert. Und den kann man hier ausrechnen im Fall, diesen Wert dieses Indexes. Und da muss man nur entscheiden, ob man hier komplexe reale Dimensionen meint. Ich nehme mal, schau mal, komplexe Dimensionen, ja, C, über

die Riemannflächen ist es ja eigentlich sinnvoll, komplex zu rechnen. Gut, und was ist das jetzt hier? Wir haben ja, Dimension des Kerns von P ist die komplexe Dimension, ist die Dimension, die Anzahl, die komplexe Anzahl der Conform-Killing-Vektoren

und Kern von P ist die Dimension des Modulraums, Dimension C des Modulraums. Also die Anzahl

der Moduli, machen wir mal so, wir müssen schon Anzahle schreiben, komplexe Anzahl der Moduli. Tau. So, und Riemann-Roch sagt jetzt, was da rauskommt, wie groß der

Komplex ist. Und zwar, wenn ich keine Punctures habe ohne, wie wir sagen, Punctuierung. Also sonst muss man, also die Zahl ändert sich, wenn ich die Punkte mitberücksichtige, aber wenn ich das mal ohne mache, dann kommt da 3,5 Chi oder was dasselbe ist, 3 minus

3G raus. Und weil G das Geschlecht der Riemann-Fläche ist. So, und wir können im Prinzip das jetzt für verschiedene Genere betrachten. Also was man hier raus, ja, wir können einfach die

zwei, drei Fälle mal durchgehen. Gen ist Null, Sphäre, ist das hier 3. Und wir wissen schon, es gibt genau drei komplexe Conform-Killing-Vektoren. Das ist die SL2C, Komplex 3, Dimensionale Isometriegruppe. Dann ist das Null. Das müssen wir teilen. In der Sphäre gibt es keine Moduli.

Alle Sphären lassen sich abbilden, konform, wenn man den auf die Standardsphäre. Beim Torus ist das hier Null. Beim Torus gibt es aber einen konformen Killing-Vektor. Das können Sie sich leicht überlegen. Denen Torus können Sie, der ist ja flach, den können Sie sozusagen als Parallelogramm mit identifizierten Seiten sich denken. Ja, und dann ist natürlich klar,

jede Verschiebung, konstante Verschiebung, also der Verschiebe-Vektor, der nicht abhängt vom Punkt. Also, wenn Sie den stark verschieben in irgendeine beliebige Richtung, ist das eine Isometrie. Das Parallelogramm wird auf ein analoges Parallelogramm abgebildet. Das heißt, Sie haben jedenfalls diese konstante Verschiebung, Translation auf dem Torus. Das ist eine

Isometrie. Das sind zwei verschiedene Richtungen, aufhängig, also zwei reelle oder eine komplexe Freiheitsgrad. Das heißt, es muss auch einen komplexen Modul geben auf dem Torus. Und in der Tat ist das so. Das ist nämlich gerade, wenn Sie einen Torus beschreiben, das werden wir gleich noch tun, da ist ein Parameter, der beschreibt sozusagen die Form

des Torus. Und den können wir nicht ändern durch eine Koordinatentransformation. Es gibt nicht nur einen Torus, es gibt eine Schafe und Tori, die durch einen komplexen Parameter gegeben sind. Ja, und wenn wir jetzt in höhere Riemannflächen gehen, zum Beispiel geht gleich zwei, dann wird das hier negativ. Dann, wie ich schon sagte, das muss man natürlich wissen. Man kennt nur die Differenz. Wenn man so einen der Riemannflächen hat, dann kann man es nicht ändern. Also höhere Riemann-Geschlecht,

höhere Geschlecht ist das hier Null. Das heißt, die Zahl der Moduli ist einfach gegeben durch 3 minus 3g. Das nimmt also immer weiter zu. Also der Raum, der Modulraum der Riemannflächen hat diese Dimension, komplexe Dimension. Okay, dann wollte ich

mir also jetzt konkret GANUS 1 anschauen. Das heißt, der GANUS für den geschlossenen Riemannflächestrengen. Und wie beschreibt man einen Torus? Nur die Standardgeometrie.

Also wir nehmen eine komplexe Koordinat, z, und identifizieren z mit z plus n mal

lambda 1 oder m mal lambda 2, wobei n und m ganzzahlig sind. Und lambda 1, lambda 2 komplex, zwei feste komplexe Zahlen. Und man muss noch einschränken, der Imaginärteil

von lambda 2 durch lambda 1 soll nicht null sein. Sonst liegen diese beiden Vektoren in einer komplexen Ebene parallel und dann spannen da kein Torus auf. Und das geht dahinter sehr einfach. Wir haben hier x und y. Das ist die komplexe Ebene. Also z

ist gleich x plus y. Und wir haben hier zwei Vektoren. Was das hier ist, ist der Punkt lambda 1 oder lambda 2. Und hier ist halt der Punkt lambda 1. Und dann werden halt und so weiter. Praktisch Punkte in diesem Gitter hier identifiziert, die sich durch ganzzahlige

Vielfache von diesen Gittervektoren unterscheiden, sind zu identifizieren. Das heißt,

die Fundamentalbereich dieser Äquivalenz ist dieses Parallelogramm. Und wobei wir halt diese Seite mit der identifiziert haben und diese Seite mit der identifizieren haben. Das beschreibt man als Torus. Den Torus kann man also schreiben als c dividiert durch lambda,

wobei lambda dieses Gitter ist. Mit lambda ist die Menge aller n lambda 1 plus n lambda 2

und der Überlagerungsraum ist c. So, jetzt ist es aber so, dass wir haben ja konforme Transformationen. Und wir haben insbesondere eine konforme Transformation, die einfach z Strich gleich alpha mal z für alpha komplex zulässt. Also zwei Tori, die durch diese,

oder koordinaten, die sich unterscheiden durch diese Transformation, das ist äquivalent. Das heißt, wir können das Gitter auch immer skalieren, ohne was zu ändern. Und zwar

komplex skalieren. Komplex skalieren heißt, dass sich ein der beiden Vektoren auf einen beliebigen anderen Vektor festlegen kann. Ich kann also zum Beispiel alpha gleich lambda 1 auch minus 1 wählen. Und das heißt, nur das Verhältnis lambda 2 zu lambda 1, und das nenne

wir tau, Imaginärteil und Realteil tau 2 und tau 1, ist konform invariant. Das heißt,

ich wähle lambda 1 ist einfach die 1 und dann ist lambda 2 gleich tau. Also der erste

0 und 1 gelegt. So, das heißt, Situation sieht eher so aus. 0, 1 und hier ist ein Punkt tau. Nein, hier ist ein Punkt tau. Und dann ist das hier unser Parallelogramm. Hier ist tau und

hier wäre tau plus 1. Das heißt, wir haben also z hier jetzt, z ist zu identifizieren mit z plus m plus n tau. Oder n plus m tau. Ja, und die inequivalenten Tore sind parametrisiert

durch dieses tau. Und dieses tau heißt Teichmüllerparameter, nach einem deutschen Mathematiker Teichmüller, die sich im Übrigen im Dritten Reich ziemlich viel zur

Schuld kommen lassen. Kein angenehmer Zeitgenau so war, aber gut. Deswegen wird man das nicht gleich unbenennen. Und der Raum heißt Teichmüllerraum. Also die Menge, ja, wo ist das tau? Innequalente Tore durch tau und tau ist in der oberen Halbebene. Also h plus, warum?

Naja, weil wir können, falls tau negativ ist, können wir lambda 1 und lambda 2

vertauschen. Wir haben noch eine Symmetrie, die habe ich unterschlagen. Lambda 1 und lambda 2, welches wir lambda 1 wählen, welches wir lambda 2 wählen, ist egal. Und wenn das Verhältnis hier einen negativen Imaginierteil hat, dann drehen sie das um und dann ist

das Imaginierteil positiv. Das heißt, wir müssen es beschränken auf die oberen Halbebenen. Also, das sollte ich vielleicht zuschreiben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit, ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Zwei größer hat gleich Null. Oder größer Null

sogar. Naja, gleich Null, wer entartet. Und das ist der Fall, der hier ausgeschlossen wird. Gut, das heißt, dies ist der Teichmülleraum, gleich oberhalb Ebene. Dieser

Teichmülleraum parametrisiert also die verschiedenen Tori. Und wir sehen, die Dimension stimmt nach dem Nummern Roch. Das ist gerade komplex eindimensional. So,

aber warum nenne ich das nicht Modulraum und nicht Modulparameter? Weil es eben noch nicht ganz das Gleiche ist. Es gibt nämlich noch eine Komplikation. Nicht alle Tori, die durch verschiedene Tau beschrieben werden, sind wirklich inequalent. Es gibt nämlich Reparametrisierungen, die nicht stetig mit der Identität, also mit der

Nicht-Reparametrisierung zusammenhängen und die ein Torus auf ein anderes Torus abbilden. Und zwar mit verschieden Tau. Und solche zwei Tauwerte muss ich auch noch identifizieren. Wie kann ich das sehen? Also es gibt, man nennt das globale

Diffimorphismen. Also, die heißen Dientwists. Ich glaube, Dien war auch ein

deutscher Mathematiker, aber ich weiß es nicht. Ja, die zwei Tori oder Tori

Maschinen im Tau verbinden. Dass es ein Diffimorphismus ist, müssen wir diese Freiheit auch noch loswerden. Was ist ein Dientwist? Also ein Dientwist kann man sehr einfach sich geometrisch überlegen. Mal gucken. Platt Papier. Ich versuche es mal.

Wie machen Sie einen Torus? Das ist jetzt ein spezieller Torus. Da ist das, das ist hier unten Tau 1. Lambda 1 ist 1. Das wäre dann Tau. Hier wäre Tau rein imaginär. Also rechter Winkel. Aber das spielt da keine Rolle. Dann mache ich identifiziere die beiden gegenüberliegenden Seiten. Jetzt geht es natürlich doch nicht so leicht.

Jetzt identifiziere ich die beiden gegenüberliegenden Seiten. Können Sie sich vorstellen, was passiert? Ich kann die einfach identifizieren. Ich könnte aber folgendes machen. Und das läuft auf den gleichen Torus hinaus. Ich könnte diesen Kreis hier um 2 Pi drehen, bevor ich die Identifikation mache. Oder ich könnte nur

minus 6 Pi drehen und identifizieren. Die Koordinatenlinien, die hier laufen, würden immer noch in dieselben Koordinatenlinien auf der anderen Seite rüber laufen. Aber der Torus ist nicht der gleiche, denn eine solche Transformation, also in diesem Beispiel wäre das sehr einfach, würde bedeuten, Sie identifizieren,

Sie haben hier nicht Tau, sondern statt Tau nehmen Sie Tau plus 1, diesen Torus. Verschieben, das sind ja die beiden Seiten. Ich habe diese Seite einfach um 2 Pi weiter geschoben. Und dann habe ich jetzt dieses Stück mit dem. Das ist ein globaler,

ein großer Diffimorphismus. Verschiedenes Tau, aber die Tore sind Diffimorph. Also das heißt, hier habe ich Tau und Tau plus 1 sind eigentlich nicht wirklich verschiedene Tore. Das ist eine Möglichkeit. Ich könnte aber auch den Torus anders zusammenkleben.

Ich könnte ihn ja erst so falten und dann das Spiel mit der anderen Kante machen. Das ist nicht ganz so leicht zu sehen. Das ist hier hinter oben, ist es leicht zu sehen. Ist klar, dann verschiebe ich entweder da oben in die, also entweder hier in diese Richtung, auf diese Kante oder ich mache dieses und verschiebe den zum Beispiel so.

Also entweder den nach in die Richtung oder ich verschiebe den nach da. Also klar, kann ich mit beiden Seiten machen. Das wird hier schwierig, weil wir hier diese Normierung haben. Wenn ich das hier mache, kann ich das tun. Aber dann muss ich anschließend,

also das entspricht einem Vertauschen von 1 und Tau. Weil ich aus dem 1 mache ich Tau und dann muss ich anschließend die andere Seite, die ja dann nicht auf 1 nur mehr, das muss ich wieder reskalieren. Das ist ein klein wenig komplizierter, in diesem Bild nicht ganz so leicht zu sehen. Aber man kann es leicht rechnen,

selbstverständlich. Also Ideen-Twists sind, es gibt zwei Arten. Es gibt den Art-Twist, der macht einfach nur Tau, Lambda 1 bleibt, was es ist und Lambda 2 geht nach Lambda 1

plus Lambda 2 und das korrespondiert zu Tau geht nach Tau plus 1. Das haben wir eben gesehen. So und der andere ist der B-Twist. Hab ich den hier stehen? Ja, das ist denke ich genau das

Umgekehrte. Lambda 1 geht nach Lambda 1 plus Lambda 2 und Lambda 2 bleibt gleich. Das muss

man dann nachrechnen. Und das ist Tau, geht nach Tau durch Tau plus 1. Ah ja, hier habe ich es.

Diese Transformation heißt T, auch ja. Diese Transformation heißt TST, weil man definiert

sie als zusammengesetzt aus T und einer anderen Transformation S, weil ich in S angebe. S ist einfach die Transformation. Tau geht nach Minus 1 durch Tau. Also man kann sich

jetzt überzeugen, wenn man erst translatiert um 1, dann invertiert mit dem Vorzeichen, dann wieder translatiert, dann kriegt man das. Also der Witz bei der Geschichte ist, man kann aus belebigt zwei von diesen dreien kann man die ganze Gruppe erzeugen. Die bilden natürlich eine Gruppe. Ich kann die hintereinander ausführen. Also ich kann den A-Twist fünfmal

iterieren und den B-Twist minus siebenmal machen. Dann habe ich wieder ein Element dieser Russen-Dephymorphism-Gruppe. Und typischerweise nimmt man halt, weil das ein bisschen einfacher ist als dieses hier. Das ist durch den D-Twist erzeugt, aber diese hat eine einfache Struktur. Deswegen ist typischerweise dieses Element und das ist das,

was man so als Erzeugende gerne nimmt. Ich fahre die Gruppe vielleicht erst an. S und T erzeugen die Gruppe PSL2Z. Was ist das? Das ist die Gruppe SL2Z dividiert durch plus

minus eins. Und die Wirkung ist vorgemaßen. Also ein Element der Gruppe wäre eine Matrix.

Also wie beschreibe ich SL2Z-Matrizen durch Transformationen? SL2Z durch Matrizen, zwei mal zwei. Speziell in Jahr heißt die Determinante ist eins. A, B, minus B, C,

gleich eins. Das wäre sozusagen eine SL2Z-Matrix. Und natürlich ganz wichtig, A, B, C, D sind nicht beliebig real, sondern sind aus den ganzen Zahlen. Sonst kann ich es ja stetig mit der Identität verbinden. Ich habe gesagt, das geht nicht. Das ist klar. Also die Eins ist natürlich dabei, aber jedes andere Element ist desjungt. Das ist

eine diskrete Gruppe. Unendlich, viele Elemente, aber diskret, abzählbar. So und man sieht, das sind drei Parameter. Aber ich kann sie erzeugen. Das mit Erzählung ist bei den diskreten Gruppen immer ein bisschen schwierig. Also ich kann sie durch zwei Transformationen

erzeugen. Das ist übrigens ein interessantes Problem, sich mal zu überlegen für ein beliebiges Element, wie sieht, wie erzeuge ich das überhaupt zu beweisen, dass ich hier alle kriege. Das ist ein lustiges mathematisches Problem. Ja und das Teilen durch eins ist, wenn, naja, das Element minus eins, das wäre das Element minus eins

null null minus eins. Das macht nichts, weil, ich muss hier noch die Wirkung angeben. Die Wirkung ist tau wird abgebildet auf A tau plus B. Das ist die gebrochenen Transformationen. Das ist die Wirkung. Ja, wir sehen schon, T entspricht der Matrix

eins eins null eins und S entspricht der Matrix minus eins durch tau, also null minus eins

und jetzt sehen sie hier sehr gut, wenn sie das Vorzeichen ändern. Also alle Elemente mit minus eins versehen, passiert hier gar nichts, weil im Zählern ändert sich das

weg geht. Das heißt, sie haben zwar verschiedene Elemente in SL2Z, aber nicht in der projektiven, das heißt projektive SL2Z, also weil dieses Zentrum ist irrelevant. Eine relativ kommunale Geschichte. So und das bedeutet natürlich jetzt, dass wir nicht den gesamten

Teichmühlerraum zulassen dürfen, als zum integrieren in unserem Pfadintegral ab dem Ende, sondern wir müssen tau integrieren. Wir wollen ja über alle nicht einfach den TORI summieren, nur über einen Fundamentalbereich dieser diskreten Gruppe. Das ist ja nur ein Teil in der komplexen Ebene. Wir haben, muss ich mal gucken, wir haben zwei

verschiedene komplexe Ebenen. Wir haben die Z-Ebene, in der der TORUS liegt, und wir haben die TAU-Ebene. Das ist die Menge aller TORI, eine Abstraktionsstufe höher. Okay, also eigentlich nur die obere Halbebene, der Teichmühlerraum. Das heißt, der Modulraum ist gleich der Teichmühlerraum, dividiert durch, ja das nennt man auf Englisch

die Mapping Class Group. Ich weiß nicht, wie das auf Deutsch heißt tatsächlich. Hat sicherlich einen Namen. Ich glaube, wir schreiben einfach hier SL2. Ja, man nennt

es auch die Modulgruppe, glaube ich. Gut, in dem Fall ist es ja sehr klar, PSL2Z. Wir dividieren dadurch, und das ist tatsächlich der Modulraum. So, und wie sieht der geometrisch aus? Nun dazu müssen wir letztendlich angucken, wie die Wirkung der Modulgruppe,

PSL2, auf dem, im Teichmühlerraum aussieht, in der Mentalbereich. Also wir haben zu

identifizieren, identifiziere TAU mit TAU plus 1 und minus 1 durch TAU. Okay, malig versuche ich das mal zu malen hier. Also ich mache mal hier die Oberhalbebene,

das ist jetzt die komplexe TAU-Ebene. Und dann ist schon mal klar, wenn wir TAU mit TAU plus 1 identifizieren, brauchen wir uns nur auf einen Streifen der Breite 1 zu beschränken. Denn wir können durch eine solche Transformation jeden Punkt hier zum Beispiel in den Streifen zwischen minus einhalb, realteil minus einhalb, realteil plus einhalb schieben, um

symmetrisch zu machen. Jeder Punkt hier draußen kann durch solche Translation hier eingebracht werden. So, das ist aber noch zu groß, denn es gibt Transformationen, die TAU invertieren. Das ist die Inversion am Einheitskreis. In der komplexen Ebene ist das Vorzeichen wichtig, weil sonst ist Inversion am Einheitskreis und Spiegelung

an der X-Achse. Also das ist genau die Inversion am Einheitskreis. Und das heißt,

wir haben auf jeden Fall einen Einheitskreis zu nehmen. Also hier, wenn hier die 1 ist, sind hier die Minus 1 und 1. Ich versuche es mal zu zeichnen, hier so einen Halbkreis zu malen, so ungefähr. Dann können wir alle Punkte hier drinnen auf die da oben

abbilden. Jetzt muss man ein bisschen vorsichtig sein, wenn man sagt, naja, wir beschränken uns dann auf dieses Gebiet. Dann ist man aber noch nicht fertig, weil es kann passieren, dass man hier einen Punkt nimmt. Nehmen wir mal hier einen Punkt, hier

drin, und wir translatieren den mal. Wir gehen also hier raus, dann landen wir hier und dann spiegeln wir hier nochmal und dann können wir hier und dann gehen wir wieder zurück und landen wir immer wieder hier drin. Also man muss ein bisschen genauer analysieren. Punkte hier in diesem Bereich werden durch Kombinationen von Translation

und Spiegelung wieder in Punkte hier drin abgebildet. Also dieser Bereich ist immer noch zu groß, aber man kann zeigen, das ist nicht so schwer, dass wenn man sich auf den äußeren Bereich beschränkt, der ist tatsächlich okay. Also im Fundamentalbereich

ist genau dieses schraffierte Gebiet. Man kann sehen, man sieht es vielleicht daran, wenn man hier, man kann sich überzeugen, wenn man Translation macht und dann wieder spiegelt, landet man nie da oben. Also das ist der Fundamentalbereich. F ist ein interessantes

Gebiet, mathematisch tatsächlich. F hat Fixpunkte. Einmal den Punkt unendlich,

tau geht nach tau plus eins, ist ein Fixpunkt, also T von unendlicher Ordnung. Das heißt tatsächlich im Unendlichen, der Punkt im Unendlich ist sozusagen, hat einen Winkel,

da sieht man, wenn sie sozusagen projizieren, laufen diese beiden Parallelen da in einem, ja die haben ja keinen Winkel, der Winkel wird Null da oben. So läuft das, also irgendwie der Punkt da oben sieht dann irgendwie, kann man sich so vorstellen. Während hier gibt es noch zwei weitere Fixpunkte, nämlich den Punkt tau gleich i, das ist ein Fixpunkt von S,

und zwar ein Fixpunkt zweiter Ordnung, also bei T ist es eine unendliche Ordnung. T unendlich, aber bei S, S², naja S² ist minus eins, wie man sieht, aber minus eins

ist dasselbe wie eins. Also es ist äquivalent zu eins. Das heißt, man hat hier ein Fixpunkt i und äquivalent zu eins bedeutet, dass, ja es ist folgendermaßen, man muss dieses

Stück hier, mit dem Stück identifizieren. Schauen Sie, ein Punkt hier im Inneren, der hat eine Umgebung von 360 Grad. Jetzt sollte man denken, Punkt am Rand hier hat nur einen halben, hat nur Pi, also 180 Grad, das ist nicht wahr. Weil dieser Punkt, dieser Punkt müssen Sie identifizieren, das heißt der Punkt hat auch 360 Grad, die eine Hälfte

liegt hier und die andere Hälfte liegt da, von dem Umkreis. Nur dieser Punkt hier, da stimmt das nicht, der hat wirklich nur 180 Grad Umgebung, der hat die Hälfte. Das heißt, das ist sozusagen, weil der Fixpunkt der Ordnung zwei ist. Das ist wie bei der Komplexe, wenn Sie z nach z², da ist der Ursprung, da laufen Sie einmal rum, im Bild laufen Sie zweimal rum. Aber es gibt noch einen weiteren Fixpunkt, das ist der Punkt

e hoch 2 Pi Tau drittel, also die dritte Einheitswurzel und man kann sich überlegen, dass der Invariant ist unter Tau geht nach minus eins durch Tau plus eins und das

ist die Kombination St. Und die ist so, dass wenn Sie die dreimal machen, ist die Kompensation zu eins oder minus eins. Da sehen Sie schon, wenn Sie Worte aus S und T bilden, das ist keine freie Algebra, da gibt es Beziehungen. Gewisse Potenzen

von S und T sind die Identität, das macht die Sache ein bisschen kompliziert. Und naja, das sind diese Punkte hier, das sind auch Fixpunkte und da ist der Winkel offensichtlich hier 60 Grad, aber da Sie den mit dem identifizieren, ist es

120 Grad, also ein Drittel von 2 Pi, deswegen die Ordnung 3 sind sie da. Also das sind die Fixpunkte und wir müssen natürlich diese Seite mit der Seite identifizieren, das ist klar, das ist ja die Translation um eins. Das heißt, wenn Sie sich das ganze Ding vorstellen, ist das so eine Art Tüte. Die oben ist natürlich auch noch zusammengeklebt. Das ist eine Orbi-Fold, das ist keine Manigfaltigkeit offensichtlich.

Die hat hier und hier und im unendlichen, wie sagt man, chronische Single-Light-Tät.

So, das war so ein bisschen ein Einblick. Ach so, ja, jetzt hat das natürlich Konsequenzen für die Amplituden. Das ist ja nur die Geometrie. Wir müssen also jetzt, wenn wir Thorus-Amplituden ausrechnen wollen, also Beiträge vom Geschlecht 1 zu String-Amplituden,

dann können wir einen Punkt auf dem Thorus festhalten, müssen über die anderen integrieren, müssen aber zusätzlich nur über diesen Parameter Tau integrieren, und zwar nur über diesen Fundamentalbereich. Und das Ergebnis als Funktion, oder der

Integrant, sagen wir so, der Integrant, den wir da über Tau integrieren, der sollte gefälligst sein unter diesen modularen Transformationen. Also das nennt man, wie sie heißen, modulare Transformationen. Also das ist die Modulgruppe. Das sind dann Modultransformationen. Und das

ist in der Riemannschen Geometrie, bzw. auch in der algebraischen Geometrie, in der

Frage, welche Funktionen in der komplexen Tau-Ebene oder auch in der Funktion von Z und Tau haben denn das richtige Transformations-Eigenschaften unter diesen Modultransformationen. Also nachdem

wir auch über Z integriert haben, über die Punkte, wo die Vertices sitzen, haben wir noch eine Funktion von Tau, die nachher bei Tau zu integrieren ist. Und diese Funktion von Tau sollte irgendwie so sein, dass sie natürlich jetzt irgendwie in jedem dieser verschiedenen Kopien des Fundamentalbereichs die gleichen Werte annimmt. Sonst funktioniert das Ganze ja nicht. Das muss ja in Bayern sein. Also zum Beispiel ist eine weitere

Kopie, die sieht so aus, die nächste Kopie. Eine andere Kopie des Fundamentalbereichs liegt hier drin und dann kriegen sie, kann ich das zeichnen? Hab ich das hier? Nicht so wirklich. Ja, das ist insofern interessant, als es hier immer weitere feine Unterteilungen gibt.

Es gibt nun endlich viele Kopien, die sich immer mehr verdichten hier an der reellen Achse. Und jeder Punkt auf der reellen Achse ist tatsächlich so ein Kasppunkt, wo die Linien zusammenkommen. Das ist ein konischer Punkt. Das ist hier unten wird es beliebig kompliziert. Wie auch es dem sei, es muss klar sein, dass die Theorie ist nur Konsistenz,

wenn der Integrant über Tau halt das richtige modulare Transformationsverhalten hat. Und diese Sachen sind klassifiziert. Funktionen, die homogen transformieren.

unter Modultransformationen, die nennt man Automorphoform oder Automorphofunktionen. Und das ist ein Riesengebiet in der Mathematik. Mit solchen Spielereien ist zum Beispiel Fermatstheorien bewiesen worden und so weiter. Das ist ein großes Thema in der modernen Mathematik und deswegen weiß man da eine ganze Menge drüber. Insbesondere gibt es eine ganz spezifische Funktion, die J-Funktion.

Das ist sozusagen eine Automorphofunktion, die es eindeutig bestimmt und die bildet tatsächlich die obere Halbebene auf den Fundamentalbereich ab. Und die hat ganz wunderbare Eigenschaften. Und diese Modulfunktionen hängen eng zusammen mit der Dedekindischen Eta-Funktion,

die Sie ja schon gesehen haben bei der Berechnung der Erzeugenden, der Multiplizitäten, der Stringzustände. Tatsächlich gibt es ganz enge Beziehungen. Man kann aus diesem Eta diese Modulformen durch die Erzeugenden differenzieren. Was soll ich noch dazu sagen?

Ich denke mal, das soll für erst mal genügen. Wen das mehr interessiert, dem kann ich Literatur geben. Kann man beliebig viel in der mathematischen Literatur nachlesen. Aber vielleicht ist das hier erst mal genug. Doch vielleicht noch eine Geschichte, die nützlich ist. Ich habe hier nur über den geschlossenen String geredet.

Das Ganze ist natürlich auch relevant für den offenen String. Da hat man allerdings nicht diese Modulgruppe. Wenn Sie sich vorstellen, im offenen String, vielleicht noch eine Randbemerkung hier. Der offene String ist ja ein Zylinder.

Die Weltfläche auf Genus 0 ist das, auf Genus 1 ist das. Wir hatten das ja schon gesehen. Beim orientierten String, Genus 1, das ist ein Zylinder. Das Analoge des Taurus für den offenen String wäre der Zylinder. Und der Zylinder hat nicht so viele Moduli.

Der Zylinder hat auch einen Modulus. Das ist nämlich einfach die Länge. Aber da wir ihn nicht wieder zum Taurus verkleben, fehlt der zweite Parameter. Es hat nur einen reellen Parameter. Also das Verhältnis der Radien, wenn Sie so wollen. Logarithmisch ist es das Verhältnis der beiden Radien hier.

Aber es gibt trotzdem eine interessante Beobachtung hier. Der eine Dehntwist, der B-Twist, wechselt die beiden Lambda 1 und Lambda 2 aus. So etwas Analoges gibt es hier auch.

Wir können den Zylinder auf zwei Arten lesen. Wir können den Zylinder so lesen, dass wir hier sagen, hier läuft Sigma und hier läuft Tau. Wir können ihn aber auch so lesen, dass wir sagen, hier läuft Tau und hier läuft Sigma.

Das ist natürlich einfach nur eine Unparametrisierung. Wir erinnern einfach die Koordinaten im Euklidischen. Nachdem wir wegrotiert haben, ist das gar nicht mehr zu unterscheiden. Die Interpretation ist etwas unterschiedlich.

In diesem Fall hier ist es ein Einloop, der kam im offenen String. Der String läuft hier rum, schließt sich mit sich selber. Das war die Zustandsumme, die wir ausgerechnet haben. Der offene String strip, geschlossen. Während hier ist es wirklich mehr der Zylinder. Das Tau geht entlang des Zylinders.

Das ist ein Propagator eines geschlossenen Strings. Die beiden Sachen, die wir zu tun haben, hat auch mit globaler Unparametrisierung zu tun. Sigma und Tau vertauschen. Wir haben das ja schon gesehen bei dem Vergleich dieser verschiedenen Diagramme, wo wir Kappa und G in einer Verbindung gebracht haben. Da haben wir genau solche Überlegungen angestellt.

Offene, geschlossene Strings hängen zusammen. Die Kopplungskonstanten sind nicht unabhängig voneinander. Einiges von diesen Modultransformationen spielt auch eine wichtige Rolle im offenen String. Gut, dann ist klar, dass das auf höheren Geschlechts deutlich komplizierter aussieht. Man muss dann analysieren, wie sehen die Dehntwists aus?

Wie parametrisiert man den Modulraum? Aber das ist eine Wissenschaft für sich. Ich will das hier bei bewenden lassen, obwohl ich hier noch einiges mehr in den Notizen habe. Und in den letzten 25 Minuten ein neues Kapitel starten.

Das ist jetzt das Ende des personischen Strings. Und alles, was jetzt kommt, ist im Grunde genommen Verzierungen des personischen Strings. Aber durchaus komplizierte Verzierungen.

Ich werde natürlich nicht alles nochmal anschreiben, sondern werde versuchen, die Dinge zu thematisieren, die neu dazu kommen, die sich ändern. Aber mich entlang derselben Philosophie hangeln wie bisher in der Vorlesung. Wir können im Grunde genommen von vorne beginnen und jetzt überall was dazuschreiben.

Die Motivation ist relativ klar. Wenn die Stringtheorie eine fundamentale Theorie aller Wechselwirkungen sein soll,

dann können wir nicht damit zufrieden sein, dass sie nur Gravitonen beschreibt und vielleicht noch ein paar Tensorfelder. Sondern dann müssen wir irgendwie auch Raumzeit-Fermionen-Spielern Halbzeichen im Spektrum unterbringen. Und das hat man auch damals schon gesehen, als die Stringtheorie eine Theorie der starken Wechselwirkungen war,

also die Hadronenresonanzen beschreiben sollte, dass man die fermionischen, die halbzahligen Spienresonanzen so nicht bekommt. Aber da waren drei Personen, die eine clevere Idee hatten. Die haben sich gesagt, wir können zusätzliche Struktur auf dem String unterbringen

und neben den Einbettungskoordinaten x einfach noch weitere Felder, weitere Daten hinzunehmen.

So wie die x µ einerseits Einbettungskoordinaten sind, aber wir können sie auch vom zweidimensionalen Weltflächenstandpunkt einfach als masselose Felder einer zweidimensionalen Theorie auffassen. Dann können wir diese bosonischen Felder ergänzen durch fermionische Felder.

Das sind natürlich Fermionen auf der Weltfläche. Das hat noch nichts zu tun mit Raumzeit-Spienohren zunächst. Aber zumindest ergänzen durch Objekte, die vielleicht eher eine Chance haben, im Spektrum dann Raumzeit-Spienohren zu produzieren. Die Idee kam relativ unabhängig von Andre Nerveux auf der einen Seite

und von Pierre Rameau und John Schwartz. Die haben dann 72 Papers geschrieben kurz hintereinander, in denen sie das vorgestellt haben. Das war in der Tat tatsächlich die Geburtsstunde der Supersymmetrie.

Denn das waren mit den ersten Papers, die auch eine Symmetrie zwischen bosonischen und fermionischen Freiheitsgraden vorschlug. Es zeigt sich nämlich, dass wenn man einfach nur diese fermionischen Strukturen in den Strings einbaut, dass das nur konsistent ist, wenn diese Strukturen auch sehr genau getunt sind. Also man braucht eine Symmetrie zwischen diesen extra Freiheitsgraden

und den ursprünglichen Freiheitsgraden, diesen x µ. Also Kapitel ist fermionische und Supersprings. Die feinen Unterscheidungen zwischen den beiden.

Fermionische Strings sind Strings, die keine Raumzeit-Supersymmetrie zunächst mal haben, sondern nur mit Weltflächen-Supersymmetrie starten. Führen allerdings nachher zu Strings, die als Supersprings bezeichnet, aber der Weg dazu ist nicht ganz direkt. Es gibt eine alternative Möglichkeit, man kann auch gleich Raumzeit-Supersymmetrie einführen

in die String-Theorie. Davon werden Sie nächste Woche hören. Die beiden führen Gott sei Dank in 10 Dimensionen zum gleichen Resultat. Das ist nicht ganz selbstverständlich. Also was waren die Nachteile? Die Nachteile des bosonischen Strings sind, es gibt ein Tachion im Spektrum,

es gibt keine Raumzeit-Fermion. Was haben wir noch? Ja, das sind die wesentlichen Nachteile. Und beide Nachteile werden im Prinzip gelöst durch diese zusätzliche Struktur. Also, Idee, zusätzliche Weltflächen, also für den fermionischen String,

Weltflächen-Spinoren oder Fermionen, sag ich mal, hinzuzunehmen mit Supersymmetrie.

Am besten mache ich diese Worte konkret, indem ich Formeln hinschreibe.

Also wir haben die xµ und die zusätzlichen Strukturen heißen cµ. Und, naja, die kommen in zwei Komponenten. Die schreibe ich mal so, da ich nicht so viele Indizes habe.

Zwei Komponenten Indizes, ich nenne die einfach mal Pfeil oben, Pfeil unten. Das ist so wie ein zweikomponentiger Spinor. In zwei Dimensionen ist es so, dass die Clifford-Algebra A zerfällt. Also eigentlich brauche ich das nicht in zwei Komponenten zu schreiben,

aber das ist manchmal ganz nützlich. Also zwei mal zwei Gamma-Matrizen in zwei Dimensionen ist relativ trivial. Das sind, wenn man so will, fermionische Koordinaten. Man könnte sagen, das ist zusätzliche Koordinaten zu dem Psi, aber das ist ein bisschen komisch, weil der Einbettungsraum hat dann neben den bosonischen Koordinaten noch irgendwie fermionisch, was immer das ist.

Das Ding soll also in fermionisch sein, das heißt, ist nilpotent. Das heißt, Psiµ² ist 0. Das heißt, fermionisch heißt, klassisch ist das ein Grassmann-Variable, keine normale Zahl. Und es ist reell, die Dinger sollen reell sein.

Also zweidimensionale Majorana-Spinoren mit Index up und down. Man kann das Ganze als Superfelder zusammenfassen, das will ich aber hier nicht weiter thematisieren. xµ plus theta mal psiµ, theta, wobei das hier jetzt auch zweikomponentig ist, oben, unten und so weiter.

Man kann also ein Spinor-Skalarprodukt hier definieren und man kann halt ein Superfeld, das sind jetzt formale Grassmann-Parameter, man kann sozusagen ein Feld, das hängt von sigma und tau ab.

Nur eine Nebenbemerkung für die Leute, die schon mal Supersymmetrie gesehen haben. Man kann also auch ein Superfeldformulismus einführen. Problematisch ist, psiµ ist ein Raumzeitvektor, wenn wir µ-Index.

Und das ist ja irgendwie komisch, wie kann man etwas haben, was fermionisch ist, also anti-kommutierend, nirpotent und anti-kommutierend, bei anti-kommutierend impliziert natürlich nirpotent.

Etwas anti-kommutierendes, wo man normalerweise in der vierdimensionalen Theorie Spinoern mit verbindet. Es gibt diese Spien-Statistik-Theorie, in der Quantenfeld-Theorie, das sagt, halbzahligen Spinnen bedeutet anti-kommutierend, fermion. Und hier verletzen wir diese Regel, das ist jetzt ein Raumzeitvektor, aber ist trotzdem anti-kommutierend.

Das sind ja auch noch nicht die Freiheitsgrade, die wir in der Raumzeit haben. Das ist eine quantenmechanische Theorie. Und wir müssen dann erst gucken, welche Zustände werden davon überzeugt. Die Zustände beschreiben die Freiheitsgrade in der Raumzeit. Denen sprechen die Raumzeitfelder, sie nennen sich anti-Diskussion, homo-sonisches String.

Und das ist ja noch nicht raus. Nun haben wir aber in der Polyakov-Formulierung nicht nur die xµ, sondern wir hatten ja auch die Hilfsmetrik. Die Hilfsmetrik ist aber redundant, ist nicht dynamisch.

Die konnten wir eliminieren durch die Deformorphism und die Weiltransformation, die drei Komponenten. Jetzt ist es also so, wenn man eine supersymmetrische Weite der Polyakov-Formulierung will, braucht man nicht nur Superpartner für das x, man braucht auch Superpartner für die Hilfsmetrik. Und wenn man jetzt das Ganze als zweidimensionale Gravitationstheorie interpretiert, so wie es ja in der Polyakov-Theorie möglich ist,

dann ist die Hilfsmetrik dann das Graviton, das Zweidimensionale, ist ja nicht dynamisch. Und dann gehört dazu ein Gravitino, Superpartner vom Graviton, sozusagen ein Spino-Vektor auf der Weltfläche, den man dann halt auch mitnehmen muss. Also wir brauchen sozusagen xµ und xµµ und zweidimensionale Supergravitation.

Und die besteht hier aus H-Alpha-Beta und einem Chi-Alpha-Up-Down. Und der hat also einen Vektor und ein Spinoindex, das ist ein Vektorindex auf der Weltfläche, Sigma und Tau, und das ist dieser Spinoindex.

Das ist also das Gravitino. Und die Wirkung, kann ich Ihnen schreiben, die ist nicht so wahnsinnig kompliziert. Minus eins durch vier Pi Alpha Strich, Integral d zwei Xi,

E, ich sage gleich was E ist, H-Alpha-Beta, d Alpha xµ, den Teil kennen Sie schon. Beta xµ, ich mache es im flachen Raum, also hier keine gekrömmte Metrik. Minus i Xi quer, ich sage auch noch, was quer ist und was die großen, die ich hier gerade anschreibe,

das sind natürlich Gamma-Matrizen in zwei Dimensionen. Und dann brauche ich aber noch weitere Terme, um die Supersymmetrie zu schließen. E Beta xµ und noch einen Term, Xi quer xµ, Xi quer Alpha, O Beta O Alpha.

So, hier habe ich die Spinoindexes unterdrückt. E ist einmal die Determinante von E Alpha A. Was ist E Alpha A? E Alpha A ist ein sogenannter Zweibein.

Das sagt Ihnen jetzt nur etwas, wenn Sie die Relativitätstheorie mit Fermionen schon mal gesehen haben. Das Problem ist, wenn Sie Fermionen in der allgemeinen Relativitätstheorie beschreiben wollen, dann haben Sie eine grundsätzliche Schwierigkeit. Es gibt keine endlich-dimensionalen Fermionenspieler-Darstellung der Diffenmorphismen-Gruppe.

Wir haben ja Diffenmorphismen, Reparamisationinvariance, eine allgemeine Koordinateninvariance ist ja so ein Credo der Relativitätstheorie. Und wenn wir jetzt Fermionen einführen wollen, dann müssen wir irgendwie Objekte einführen, die transformieren unter diesen allgemeinen Koordinatentransformationen. Es sollen Spinnnummern sein. Solche Darstellung gibt es nicht.

Jedenfalls nicht endlich-dimensional. Und der Ausweg ist der, man geht von der Manifaltigkeit in das Tangentialbündel, in den Tangentialraum. Das heißt, man zieht die Wurzel aus der Metrik sozusagen, führt einen Zusammenhang ein, der vermittelt zwischen den Weltindizes auf der Manifaltigkeit

und den Tangentialindizes im Tangentialraum. Das ist dieses vier Dimension, heißt das Vierbein. Die Metrik ist sozusagen die Kontraktion, zwei Vierbeine mit zwei freien Weltindizes. Das sind die Weltindizes, das ist der Tangentialindex, Lateinischer Index, der läuft auch im selben Wertebereich.

Das heißt, das ist eigentlich eine quadratische Matrix hier, aber die Indizes leben in verschiedenen Räumen. Und hier haben wir jetzt natürlich den Vorteil im Tangentialraum. Der Tangentialraum in vier Dimensionen ist einfach Minkowski-Raum, der ist flach. Und da wirkt die ganz normale Minkowski-Gruppe.

Und da haben wir natürlich endlich-dimensionale Spinnnummerdarstellung. Das heißt, die Fermionen werden definiert als Spinnohren bezüglich der Tangentialraum. Und da leben auch die Gamma-Matrizen und all das, die Clifford-Algorithmen. Und kann man natürlich mit dem E hier sozusagen auch die Indizes wieder zurückziehen auf die Weltfläche.

Aber dadurch lässt sich die Spinnohren auch koppeln an die Gravitation. Das ist sozusagen die Möglichkeit, die man dann verwenden muss. Das, was man damit aber einführt, ist noch folgendes. Man hat neben den Diffimorphismen noch eine weitere Symmetrie eingeführt. Die Metrik, also ich schreibe mal die Metrik hin, Hαβ, ist hier nichts anderes als EαA, Ebβ mal Etab.

Das hier ist die Minkowski-Metrik im Tangentialraum.

Mit den Kontrahen mit diesen beiden Indizes. Jetzt ist aber so, dass hier können wir im Tangentialraum Lorenz-Transformationen machen. Die sind hier nicht zu sehen. Hier haben wir den Tangentialraum nicht verwendet. Aber hier, wir können diese Indizes hier mit Lorenz-Transformationen rotieren. Das ändert nichts an dieser Kombination. Die ist ja in Lorenz invariant.

Und das können wir in jedem Punkt machen. In jedem Tangentialraum, an jedem Punkt. Das heißt, wir haben eine lokale Lorenz-Symmetrie hier noch zusätzlich. Zusätzlich zur üblichen Relativitätstherieformulierung. Das ist hier einfach, weil der Tangentialraum ist nur zweidimensional in der Weltfläche. Das ist einfach nur eine Drehung. Also eine einparametrische Gruppe, die zusätzlich noch wirkt, eine U1.

Das ist eine Formulierung der Relativitätstheorie, die eine etwas größere lokale Symmetrie benutzt. Und dies ist proportional zur Determinante von H. Sie können hier auch Determinante H schreiben. Es macht hier keinen Unterschied in dem Fall. Aber das E brauchen wir. Das taucht nämlich hier dran, auch um diese koordinante Ableitung zu formulieren, letztendlich. Also ich gebe das nicht alles an.

Also wie gesagt, das ist also Wurzel aus Determinante H. Das ist das Gleiche. Dies ist die koordinante Ableitung auf Spinoren. Die sieht so aus. Das ist die normale Ableitung. Und dann gibt es einen Term mit einem Ausdruck, der heißt die Spin-Konnektion.

Und dieses Omega hängt von E ab. Deswegen brauchen wir das E hier. Ich gebe das aber nicht näher an. Und die Rows, die da auftauchen, das sind Gamma-Matrizen.

Und zwar, wenn die ein Weltindex haben, ein Griechenindex, dann sind die einfach durch Kontraktion mit dem Zweibein aus einer Tangential-Gamma-Matrix entstanden. Das heißt jetzt nicht Gamma, sondern Ro, aber das sind nichts anderes als Gamma-Matrizen,

weil in zwei Dimensionen erfüllen die die übliche Clifford-Algebra mit der Mikowski-Metrik. Und Sie können das zum Beispiel nehmen, also zum Beispiel Ro0 gleich minus ii, Ro1 gleich ii, also das ist eine Möglichkeit.

Und dann gibt es ein Ro3, das ist einfach Ro0 mal Ro1, entsprechend dem Gamma 5. Und Psi quer ist natürlich, das sollte ich vielleicht auch sagen,

Psi quer Mül ist einfach Psi Mül Kreuz mal Ro0, wie man das an vier Dimensionen kennt. Also das lässt sich alles hinschreiben. Und dann kann man die Symmetrien zählen.

Lokal haben wir allgemeine Koordinaten. Wie viele reelle Parameter sind das? Zwei. Xi0, Xi1 parametrisieren das. Zwei-dimensionale Koordinatentransformation. Dann haben wir die Lorenz-Transformation im Tangentialraum hier.

Das ist ein Parameter. Das ist einfach die Drehung in diesem zweidimensionalen Tangentialraum. Dann haben wir Supersimitransformationen. Die sollte ich Ihnen angeben. Die sehen so aus. Delta x Mül ist gleich Epsilon quer Psi Mül.

Delta Psi Mül ist gleich Minus i, das ist ein bisschen komplizierter. Ro Alpha Epsilon d Alpha x Mül minus Psi quer Mül Xi Alpha.

Delta Ea Alpha a ist Minus 2i Epsilon quer Ro Alpha Xi Alpha. Und Delta Xi Alpha ist gleich d Alpha Epsilon.

Das ist also, wenn man das noch lesen kann, das sind die lokalen Supersimitransformationen, die sozusagen die allgemeinen Koordinatentransformationen verallgemeinern. Der Parameter hier war Xi Alpha. Xi 0, Xi 1, Xi 2, Xi tau, Xi Sigma.

Und hier ist der Parameter Epsilon. Das ist wieder so ein Spinor. Epsilon ist Epsilon up, Epsilon down. Spinor-Parameter. Das muss ja so sein, weil Supersimitransformationen verbinden Fermionen und Bosonen.

Das heißt, die Transformation eines Bosons ist ein fermionisches Parameter, mal ein fermionisches Objekt. Und das ist das Perlblüffen hier. Man kann nachrechnen, wie gesagt, dass dieser Teil der Wirkung und dieser Teil der Wirkung, die Variationen davon heben sich halt weg. Gut, die Alten brauchen wir dann auch noch, aber im Wesentlichen ist das so die Idee.

So, und wie viele Parameter hat das? Das sind zwei, diese beiden Parameter im Epsilon. Aber das ist noch nicht alles. Man hat auch noch die Weiltransformation. Das ist einer, das war der Parameter Lambda.

Ja, die soll ich vielleicht hinschreiben. Delta, Delta x µ war Null, transformiert nicht. Aber Xi µ hat ein Weilgewicht mindestens halb Lambda Xi µ.

Die 1 Form, das 2-Weil transformiert auch, weil die Metrik transformiert ja auch in der Weiltransformation. Und Lambda, Entschuldigung, Xi, Xi Alpha, ist ein halb.

Also das ist einfach, sie ordnen Gewichte zu. Also Weiltransformation heißt ja, sie skalieren alles mit einem bestimmten Faktor. Die Metrik skalierte mit einem Faktor Lambda². Ja, hier, das transformierte mit Lambda. Das mit einem halben, also, nicht Quatsch, das ist ja schon aus dem Exponenten runtergezogen.

Also der Vorfaktor ist wichtig. Einmal Lambda, Metrik war zweimal Lambda, das ist ein halb, minus ein halb. Und wenn sie das addieren, sie addieren einfach die Gewichte und müssen sehen, dass sie die mal zu Null addieren. Dann ist das invariant. Das sind die Weiltransformationen. Und dann haben wir noch Superweiltransformationen.

Die gebe ich natürlich auch noch an. Das ist Delta x µ ist Null. Und Delta x µ auch. Delta E Alpha A ist auch Null. Das ist ziemlich einfach. Unter denen transformiert nur das Gravitino mit einem Parameter Eta.

Und Eta ist auch ein Spinnohr, wie man sieht. Ja, hier ist ja die Direktmatrix mal Spinnohr, gibt ja Spinnohr. Das heißt, hier hat man zwei Parameter. So, das heißt, wir können zählen.

Anzahl. Eins, zwei, drei, vier bosonische Transformationen in jedem Raumzeitpunkt. Eins, zwei, drei, vier fermionische. Also vier bosonische und vier fermionische Parameter.

So, und dann gibt es natürlich noch globale Symmetrien. Global. Das sind die Transformationen, die wir vorher im flachen Raum hatten. Im flachen Raum galt ja die globalen Poincaré-Transformationen. Das war unter Translationen von X und unter Drehungen.

Da gab es diese Ladungen. Und das ist hier auch. Also, wir haben Poincaré-Variance. Keine super, weil im Targetraum haben wir keine. Wir haben keine weltfremde Raumzeitspinnohren oder Supersymmetrie. In RD.

Oder R1, D-1. Flachen Hintergrund. Also wie ein bosonisches Dreh. Ja, das sieht man schon daran, dass die Raumzeitindizes, Mynö, etc., die sind alle schon kontrahiert mit der Mikrovskimetrik im Targetraum.

Okay. So habe ich jetzt also eine Wirkung produziert, die eine relativ große lokale Symmetriegruppe hat. Und das habe ich einigend gemacht, um es gleich wieder loszuwerden. Denn die ganzen Betrachtungen, die wir angestellt haben,

waren am Ende natürlich wieder in einer festen Eichung. Wobei man natürlich jetzt aufpassen muss, man kriegt ja die Zwangsbedingungen. Das, was überlebt aus den zusätzlichen lokalen Invarianten, waren ja die Zwangsbedingungen. Das wird hier auch so sein. Also, Eichfixierung. Also, die Supergravitation propagiert nicht.

Das heißt, die Bewegungsgleichung für die Metrik oder das Zweibein und für das Gravitino sind algebraische Gleichungen. Wenn wir das variieren, das ist hinter sich. Beim bosonischen String, die Variation nach der Metrik liefert einfach nur eine Impulstensor.

T gleich Null. Algebraische Gleichung. Können wir auflösen. Und wir haben eine Nambo-Goto-Wirkung. Das können wir hier auch machen. Wird aber sehr kompliziert. Ist nicht so spannend. Also, propagiert nicht. Kann algebraisch eliminiert werden. Entweder gibt es da zwei Möglichkeiten.

Entweder über Bewegungsgleichung. Und das führt dann auf Nambo-Goto.

Aber die Nambo-Goto-Wirkung ist ja sehr kompliziert. Oder Eichfixierung. Das ist natürlich die Methode der Wahl hier. Wir wählen eine Eichung, wo die ganze Supergravitation, das Zweibein, dieses Gravitino, wieder vereinfacht wird. Und die Eichung ist, wir wählen natürlich eine sehr einfache Eichung.

Und wir wählen die superkonforme Eichung. Und die da lautet E alpha a. Das ist Delta alpha a. Und Chi alpha ist Null.

Da muss man sich überzeugen, dass das geht. Und dann die Eichfixierte Wirkung. Es geht fix. Sieht vongermassen aus. Minus eins durch vier Pi alpha Strich.

Integral b zwei xi. D alpha x. Null. D. D alpha. Also ich schreibe mal so. Etta. Etta alpha beta a.

Das ist einfach derselbe wie in der Poldakorff-Wirkung. Flache Metrik, flache Metrik. Einfach quadratisch. Und jetzt gibt es noch einen zusätzlichen Beitrag von dem Xi. Minus i. Xi quer. Rho alpha.

D alpha. Xi. Und fertig ist die Laube. Einfach nur Dirac. Knetischer Term. Dirac-Gleichung. Dirac-Lagrangien. Wobei, ja, das ist D slash hier. O alpha D alpha. Das kann man noch ein bisschen einfacher schreiben. Wir können sie in Komponenten schreiben.

Dann werden wir auch die Rho-Matrizen los. Ich schreibe es vielleicht auch in Lichtgegelkoordinaten noch gleich. Das heißt, wir haben hier sozusagen ein D plus. X mu und D minus.

X mu eta mu nu. Plus und Minus waren die Ableitungen nach tau plus sigma und tau minus sigma. Das schreibe ich jetzt gleich nicht mehr an. Und dann haben wir hier ein i. Xi mu. Jetzt muss ich gucken, dass ich das richtig mache.

Xi mu unten. Ich schreibe jetzt die Komponenten. Das sind ja Spino, mal zwei, mal zwei Matrix-Ableitungen, mal Spino. Ich schreibe das einfach in Komponenten aus. Und dann steht hier ein D plus. D bar. Ja, D plus. Xi mu. Plus i.

Xi. Oben. D minus. Xi oben. Mu. Hier ist auch oben. Unten. Okay. Ja. Das ist, wenn Sie so wollen, ist jeder dieser Komponenten hier ein Majorana-Weil-Spino in zwei Dimensionen.

Majorana-Spino in zwei Dimensionen. 1 plus 1 geht der Majorana-Weil. Das sind die beiden unabhängigen Komponenten. So, und das ist, wo ich dann morgen mit starten werde. Sie sehen, das ist eine simple Wirkung. Das ist einfach quadratisch hier ein X. Das ist bekannt. Und hier kommt jetzt einfach nur noch was bilinäres in Xi dazu.

Und zwar erster Ordnung, wie sich das gehört, für ein Weltflächen-Spinofeld oder Weltflächen-Fermion. Die Dirac-Gleichung in zwei Dimensionen. Das Einfaches gibt es gar nicht. Die Bewegungsgleichung davon lässt sich sofort lösen. Wir werden wieder Rechts- und Linksläufer haben. Wir analysieren alles genauso wie vorher. Wir haben jetzt nur zusätzlich zum X noch immer dieses Xi extra. Und deswegen ein paar Strukturen mehr.

Aber abgesehen von diesem leichten rechnerischen Mehraufwand geht jetzt alles seinen Gang. Aber es gibt dann noch ein paar Überraschungen, die werden wir dann morgen sehen. Okay, dann Freude genug. Danke.