Vor dem Brückentag, zwei Dinge sollte ich mit Ihnen kurz vorher abklären, betreffend die Übung morgen bzw. am Freitag.

Passt Ihnen das, wenn wir die einfach am Freitag um 10 Uhr machen? 10 bis 12 Uhr? Ach so, dann stelle ich die Frage vielleicht später nochmal. Also ich bin jetzt mit Frau Tormel so verblieben, dass wir erst mal Freitag, also übermorgen 10 bis 12 Uhr, allerdings im Raum 269 Uhr machen.

Aber Sie können da nicht, sagen Sie? Sie sind gar nicht da? Ach so, ja. Vielleicht können Sie mir aber gerne auch einen anderen Termin vorschlagen. Entweder, wie gesagt, an dem Freitag oder vielleicht auch irgendetwas die Woche darauf.

Wir sind da flexibel. Bei einer kleinen Gruppe von Leuten können wir sicher auch einen Raum finden. 12 bis 14 Uhr, auch am Freitag. Veto da? Gut, Sie können 10 Uhr nicht, Sie können 12 Uhr nicht.

Ein anderer Termin? 14 bis 15 Uhr ist zu kurz. 8 bis 10 Uhr ist auch nicht schön, später auch nicht. Also die Woche darauf, Montag, vielleicht schließen Sie sich irgendwie kurz. Wir können ja am Schluss nochmal kurz drüber sprechen.

Zweite Ankündigung. Es gibt in Bielefeld offensichtlich etwa 10 Leute, die Vorlesungen verfolgen, online bzw. die Aufnahmen anschauen. Und die würden auch gerne einen Schein machen. Da die aber nicht an den Übungen teilnehmen können, habe ich entschieden, dass sie in irgendeiner Form die Beschäftigung mit den Übungsaufgaben dokumentieren sollen.

Das heißt aber, dass sie die Lösungen vom Netz nehmen muss. Das habe ich eben gemacht. Die Lösungsblätter kriegen Sie weiterhin per Hand dann in den Übungen. Aber sie sind halt nicht mehr im Netz. Dann schließe ich heute das Kapitel Quantisierung ab. Mit zwei kleinen zusätzlichen Punkten.

Der eine betrifft eine Abschätzung des Wachstums des Spektrums. Wir hatten gesehen, der geschlossene String setzt sich zusammen moralischerweise aus zwei Hälften. Links laufender und rechts laufender Anteile, jeweils kopiert vom bosonischen offenen String.

Und das Anwachsen der Zahl der Zustände auf jedem Massenlevel, können wir mal studieren für den bosonischen offenen String.

Wir hatten schon gesehen, erst auf dem Nultenlevel ein Tachyon, auf dem ersten Massenlevel D-2. Also sagen wir jetzt in 26 Dimensionen, dann 24 transversale Freiheitskarte. Auf dem ersten massiven Level waren es 324 Zustände, die sich gruppierten in einen massiven Spin-2-Tensor.

Und es ist klar, dass wegen der möglichen Zahl der Zustände, die man basteln kann, bei höheren Levels hat man einfach viel mehr Möglichkeiten mit Kombinationen von den Alpha-Erzeugern. Denn die Summe der Indizes, das Negative der Indizes unten gleich dem Level ist, solche Zustände zu erzeugen.

Das wächst exponentiell. Das kann man abschätzen, nicht indem man Kombinatorik betreibt, sondern indem man clever, wie die Mathematiker nun mal sind, eine erzeugende Funktion erfindet, die diese Information codiert. Das geht folgendermaßen.

Also, Dichwort ist erzeugende Funktion für die Anzahl der Zustände. Dann geben wir gleich einen Namen. DL, Zustände auf Level L.

Und ich mache das für offenen String. Und ich netze gleich A gleich 1 und D gleich 26.

Na ja, und physikalischen Zuständen haben die Eigenschaft, dass die Levelzahl gerade der Eigenwert vom Anzahloperator ist. Und die Zustände selber, also wir haben ja nur physikalische Zustände in der Lichtkegel- und Transversalen-Quantisierung.

Und die Zustände haben einfach die Form, ein ganz, ein langes, blieb ich langes Wort von Erzeugern.

Alpha minus N, I, die Komponente. I läuft von 1 bis D minus 2, Transversalen. Und dieser Oszillator kann mehrfach vorkommen. Wir können jedes Level beliebig oft anregen. Das ist wie eine Besetzungszahldarstellung bei personischen Freiheitsgraden.

Sie können diesen jeweiligen Oszillator durch N und I indiziert 35 mal anregen, wenn Sie wollen. Also gibt es da eine Potenz M, die für jedes N und I eine andere Zahl sein kann. Und so einen Faktor können Sie für jedes N von den unendlich vielen Ns machen

und für jedes I zwischen 1 und D minus 2 machen und dann auf das geboostete Vakuum loslassen. Und diese Zustände, kürzlich ab, die sind charakterisiert durch die Zahl dieser Exponenten. Wenn ich also für jedes N, N und jedes I die Multiplizität M, N, I angebe,

für alle die so unendlich vielen, die meisten so unendlich vielen Null sind, aber endlich viele sind von Null verschieden, wir haben ein endliches Wort von Alphas hier stehen. Das ist eine Basis von F des Vakraums, das ist die autogonale Transversalen Freiheitsgrade.

Also deshalb physikalisch, aber das hätte ich auch weglassen können. Hier gibt es ja nur physikalische Zustände. Alright, der Trick ist nun, die erzeugte Funktion ist immer folgendes,

Sie haben eine Sequenz von Zahlen, die Sie gerne charakterisieren wollen und Sie multiplizieren die mit der entsprechenden L, ja Lten Potenz einer formalen Variable. Die nennen wir hier einfach Q. Eine Summe, Formal Potenzreihe von L gleich Null bis unendlich.

DL Q hoch L und ich schreibe hier L minus 1, weil für L gleich Null haben wir den Eigenwert, okay, die minus 1 ist das Tachyon.

Das ist jetzt eine Konvention, ich kann die minus 1 auch weglassen, das ist meine Definition. Ich erlaube also auch einen einfachen Pol hier, aber das unterscheidet sich, ich könnte auch 1 durch Q hier vorziehen und das Ganze mit Q multiplizieren, wenn Sie wollen. Das ist die selbe Information. Das ist eine Art, wenn Sie so wollen, wie eine Folietransformation,

eine Foliezerlegung oder was auch immer, wie Folie ist es nicht. Sie wechseln die Variable von einer diskreten Variable L zu einer kontinuierlichen Variable Q, ohne dass Sie Informationen verlieren. Ich kann hier jederzeit durch herauspicken, durch Residuenrechnung formal die Koeffizienz eines entsprechenden Pols wieder, oder eine Potenz,

wieder extrahieren, aus der Funktion G. Ich behaupte, das ist relativ einfach zu berechnen, das führ ich gerade vor. Dieses L ist ja der Eigenwert von dem Zustand. Ich behaupte, ich kann das folgendermaßen schreiben.

Warum geht das? Nun, ich kann eine Basis wählen, die die eigenen Zustände sind.

Das sollte ich gleich nachher zuschreiben. Was ist das L hier? In diesem Fall, für diesen Zustand ist das L. Die negative Summe aller dieser Indizes hier. Jedes Mal erhöhe ich den Eigenwert um N, wenn ich so ein Ding hier loslasse.

Und ich habe das für jedes N, M, N, I, mal. Also habe ich eine Summe über alle N und I von N mal M, N, I. Das ist das L. Das heißt, das hier ist tatsächlich ein Eigenzustand,

den ich als Basis Eigenzustände nehmen kann. Und dann ist dieser Operator hier einfach zu ersetzen durch den Eigenwert. Und der Eigenwert ist, wenn ich das ausrechne, das N auf so einen Zustand loslasse, das ist ja gerade L. Dann kriege ich also hier Q hoch L minus 1.

Jedes Mal für jeden Zustand, den ich hier habe, der zum Level L gehört. Ich kann also im Prinzip diese Basis zerlegen. Den Fockraum kann ich jetzt zerlegen in der Summe von Räumen zu jedem Level.

Das heißt, hier habe ich eine Summe. Und für jedes feste L habe ich hier eine Basis für den Unterraum. Und in diesem Raum ist das N senkrecht hier einfach durch einen kleinen L zu ersetzen. Da habe ich das ausgerechnet. Aber ich bekomme dieses Q hoch L natürlich nicht nur einmal. Ich bekomme es so oft, wie die Dimension dieses Raums ist. Für jeden Basiszustand kriege ich das einmal. Ich kriege eine Summe von identischen Termen.

Genau dl mal. Das ist ja die Dimension des Raums, die Entartung. Und das ist, was hier steht. Das habe ich gerade behauptet. Also rückwärts ist immer einfacher zu argumentieren hier. So, wenn ich das einmal habe, dann bin ich im Geschäft.

Denn das ist nichts anderes als eine Spur. Was ich also habe, ist eine Spur-Trace über den gesamten transversalen Fockraum von diesem Operator Q un minus 1.

Na ja, das N ist eine, das N habe ich jetzt nicht hingeschrieben. Was ist das N? Ich schreibe es vielleicht hier hin. Das N senkrecht ist ja eine Summe von M, da schreiben wir vielleicht N, N gleich 1 ist unendlich. Alpha minus Ni, Alpha Ni.

Und eine Summe im Exponenten ist ein Produkt unten. Also ich schreibe es nochmal aus. Das ist halt Q minus 1. Ziehe ich raus. Spur von F senkrecht von Q.

Und dann steht eben die Summe. Die Summe über I steht natürlich auch. Ich schreibe die Summe über I mal aus. Also eigentlich steht immer eine Summe bei I noch. Ich schreibe es hier mal explizit. Summe über I und N. Alpha minus Ni, Alpha Ni.

Na gut, bei Summen im Exponenten sind Produkte unten. Ich kann das ja, ja ok, ich schreibe es einfach rein, dann sieht man das glaube ich. Produkte über N und I oder N und N.

Spur, ja ich schreibe mal N,i. Q hoch Alpha minus Ni, Alpha Ni. So hier bilde ich jetzt die Spur nur über den Unterraum dieses Oszillators. Also das ist ja eine Basis für den gesamten Raum.

Alle diese Zustände sind ja von diesen Oszillatorerzeugern erzeugt. Und das heißt, das ist ein Produkt von ganz vielen Spuren. Der Raum ist ein Produkt von ganz vielen Oszillator-Verkräumen. Und das faktorisiert.

Ich kann also für jeden Oszillator ausrechnen. Für den N,i Oszillator. Und dann alle miteinander multiplizieren. Und das ist natürlich der Schlüssel. Denn das ist leicht auszurechnen. Da wissen wir, dass geht. Wir nehmen einfach die Basis.

Was sind die Eigenwerte? Also die Eigenwerte hiervon sind einfach N gleich 0, 1, 2, die ganzen Zahlen. Das ist ein Oszillator. Aber nicht M mal, sondern N mal M.

M mal Omega. Ich habe es jetzt so. M mal Omega N und die gleich 0, 1, 2. Weil dieses N sagt ja, die Frequenz ist ja proportional zu dem Index N.

Beim Kommutator, ich erinnere nochmal, wir hatten den Kommutator. Und das N ist die Frequenz, die hier halt auftaucht.

Ja, da habe ich also das Comulus 1. Das Produkt. Über i, N und i. Und dann muss ich die Basis, die Basis von diesen Zuständen, von diesen Eigenzuständen,

werden durch die Besetzungszahl M von 0 bis und endlich durchsummiert. Alles geschrieben. Na ja, wie gesagt, hier habe ich ja eigentlich schon das Ergebnis vorweggenommen.

Der Eigenwert, der Eigenzustände auf dem Zustand M, ist natürlich gerade M mal N. Weil M ist der Anträgungszustand bei Frequenz N, hat die Energie M mal N. Also kann ich hier oben das Ersetzen durch M mal N.

Q hoch NM. Ja, und das können Sie ausrechnen. Das ist eine geometrische Summe.

Also vielleicht, innere Summe Q, schreiben wir es vielleicht so. Summe X hoch M, wenn M x klein genug ist, beim Betrag kleiner als 1, ist 1 durch 1 minus x. x ist gehorent.

Die Geometrie, die sollte jeder auswendig kennen. Das heißt, hier steht jetzt Q hoch minus 1. Und dann schreibe ich hier ein Produkt über N natürlich, weil N kommt hier vor. N gleich 1 bis und endlich. 1 durch 1 minus Q hoch N.

Was ist mit dem Produkt über I? Na ja, das, was hier drin steht, hängt nicht mehr von I ab. Das ist für jedes I das Gleiche. Also hier habe ich natürlich kein Summationsindex über I mehr. Summation habe ich hier schon rausgezogen. Ich habe die hier explizit geschrieben. Das ist ein bisschen inkonsistent in der Notation. Hier habe ich ursprünglich natürlich Summationskonventionen verwendet.

Vielleicht sollte ich es hier auch explizit schreiben. Damit klar ist, auf der ganzen Tafel ist keine einsteinische Summationskonvention hier verwendet. Die Is sind hier explizit summiert. Hier stehen sie im Produkt. Deswegen vielleicht irritierend, hier nicht mehr.

Aber diese Oszillatoren sind für verschiedene I identisch. Die tragen nur so einen Farbindex. Aber die Eigenwerte hängen nicht von I ab. Das heißt, wir kriegen für jede Raumzeitrichtung, für jede Transversalrichtung einmal dasselbe. Wir kriegen das D minus 2 mal. Also muss ich dieses Produkt in oder außen zur Potenz D minus 2 nehmen.

Das ist die Multiplikation hier. I von 1 bis D minus 2 im identischen Argument. Na gut. Das, was hier steht. D minus 2 ist 24.

Entschuldigung, vielleicht 24 reinschreiben. Das, was hier steht, ist den Mathematikern bekannt. Und interessanterweise gerade für 24. Diese Funktion hat nämlich in der mitromanischen Datur einen Namen. Das ist die minus 24. Potenz.

Na gut. Also ich würde die 24 ja weglassen, aber dann hätten sie hier Q hoch minus ein 24. Von einer Funktion, die heißt eta. Und das Argument von eta hängt zusammen mit dem Argument von hier vorne, mit dem formalen Argument Q. Einfach überexponenzieren. 2pi tau.

Und diese Funktion heißt die Dedekindsche-Eta-Funktion. Dedekindsche. Spielt eine wichtige Rolle in der analytischen Zahlentheorie.

Da kann ich also jetzt nicht drauf eingehen. Googeln Sie es. Gucken Sie bei Wikipedia. Da finden Sie sicherlich jede Menge unterhaltsame Eigenschaften von dieser Funktion. Die ist definiert in der komplexen Ebene. Eoi pi 2pi tau ist eine Phase. Aber die Funktion existiert auch außerhalb des Einheitskreises.

Das ist eine komplexe Funktion. Sie können also hier das Q-Komplex oder tau-Komplex wählen. Das muss nicht real sein. Das Lustige hier ist eigentlich, wie gesagt, dass diese minus eins hier, die ist in der Definition drin. Also die Eta-Funktion ist definiert, dass dieses Produkt mal Q hoch minus ein 24.

Entschuldigung, das Produkt, habe ich es falsch rum? Nee, ist das genau. Also das Inverse hiervon. Produkt eins minus Q hoch n von n gleich eins bis unendlich mal Q hoch ein 24.

Und das 24. ist wichtig, weil die Eigenschaften unter sogenannten modularen Transformationen in der komplexen oberen Halbebene produzieren achte Einheitswurzeln und solche Scherze. Und die gehen alle erst weg. Und das Verhalten wird schön, wenn wir hier die richtige Potenz, nämlich 24, haben.

Also die Funktion selber hat da keine wirklich tollen, also die ist nicht wirklich modular, wie man es in Mathematik nennt, aber die 24. Potenz ist es. Also irgendwo kommt da aus anderen Bereichen der Mathematik eine besondere Bedeutung für die 24 ins Spiel.

Ich komme da gleich noch mit einer anderen Bemerkung darauf zurück. Gut, und jetzt ist es natürlich einfach. Also vielleicht noch eine Bemerkung. Generell in der konformen Feldtheorie, allgemein in der konformen Feldtheorie, das ist eine Bemerkung, die ich hier anschließen will, heißt Spur von Q hoch L0,

L0 ist ja im Wesentlichen unser N-Senkrecht, minus C über 24. C ist die konforme Anomalie, konforme Ladung.

Heißt Virasoro-Charakter. Wobei wir hier noch über eine Darstellung R der Virasoro-Algebra spuren müssen. Wir haben einen Darstellungsraum, ein R, ein Vektorraum, mit dem die Virasoro-Algebra wirkt.

Und sie bilden von dieser formalen Variable die formale Potenz oder die formalen Exponenten mit dem Operator L0 da drin und diese komischen C-Zahl. Shift, und das findet man in der Literatur, in der konformen Feldtheorie, als ein wichtiges Instrument zur Analyse von Darstellungen der Virasoro-Algebra.

Charaktere, nicht von ungefähr, das ist ein Instrument in der Darstellungstheorie von endlichen und auch kontinuierlichen Gruppen. Das ist ein solcher, nur zur Nomenklatur. Ja, und jetzt kann man natürlich angucken, wie kriegt man jetzt die Zahlen hier wieder raus?

DL aus G von Q kann man extrahieren, indem man diese Funktion jetzt nimmt, so wie sie hier steht und entwickelt.

Also wir können das zum Beispiel mal machen. Ich schreibe das mal hin für die ersten, Q-1. Dann steht hier das Produkt, wir nehmen hier die Geometry, wir machen die wieder rückgängig. Dann haben wir 1 plus, also für N gleich 1 steht hier das Produkt von,

also für N gleich 1 steht die Geometry 1 durch 1 minus Q. Das ist 1 plus Q plus Q² plus Q hoch 3 und so weiter. Dann haben wir den nächsten Faktor für N gleich 2, steht hier 1 plus Q² plus Q hoch 4 plus Q hoch 6 plus usw.

Dann 1 plus Q hoch 3 plus Q hoch 6 usw. 1 plus Q hoch 4 plus Q hoch 8 usw. Und das Ganze zur Potenz plus 24.

Das müssen wir eigentlich nur ausmultiplizieren bis zur gewünschten Potenz L und zählen wieviel Dermase kriegen, die zu Q hoch L beitragen. Machen wir es mal. Es fängt natürlich an mit Q hoch minus 1. Ich mache es mal erstmal ohne die Potenz.

Mal 1, so dann kriegen wir als nächstes, wie oft kriegen wir Q hoch 0? Einmal, wir kriegen nur von hier, Q hoch minus 1 mal Q. Alle anderen, die wir multiplizieren, geben schon höher Potenzen. Plus 1, bitte?

Welche Klammer? Das habe ich herausgezogen, das steht hier. Ach so, das wird nicht exponenziert, Entschuldigung. Ja, sorry. So rum ist es richtig. Dann muss ich es vielleicht doch ein bisschen anders machen.

Sie haben recht. Dann machen wir das so, wir machen es erst separat. Entwickle erst mal in der Klammer. Exponenzieren ist ein bisschen leichter, glaube ich. So, machen wir hier die 1. Wie oft kriegen wir Q? Q kriegen wir einmal. Wie oft kriegen wir Q²?

Q² kriegen wir einmal von hier und einmal von da. Überall nehmen wir die 1 aus den ordentlich vielen Faktoren. Aber manchmal nicht. Hier können wir entweder einmal diesen Faktor nehmen, oder wir nehmen einmal diesen.

Das ist also zweimal Q². Das ist mit der Q hoch 3, die können wir einmal hier draus nehmen. Oder sie nehmen sie einmal hier draus. Oder wir nehmen einmal das Q hier und einmal das Q² von hier. Drei Terme. Was mit Q4? Q4 können wir entweder hier von nehmen.

Oder wir nehmen die 3 hier und die 1 hier. Oder wir nehmen die 2 hier und die 2 hier. Oder wir nehmen die 1... Ja, das war es, glaube ich schon. Ja, genau. 2 hier, 2 hier. Oder die 4 hier.

Das sind, glaube ich, 4. Hab ich 4? 4 oder 5? Sie sehen, das sind die Zahlen der Partitionen. Wir haben die 4 zerlegt, eine in 4. Oder in 3 plus 1. Oder in 2 plus 2. Oder in 2 plus 1 plus 1. Das war die 2 und die 2. Weil das ist eine 1², schon der nächste Term.

4 Möglichkeiten. Oder in 1 plus 1 plus 1 plus 1. Hier ist auch noch ein Q4, den habe ich vergessen. 5 Partitionen. Jede Partition kommt genau einmal vor. Und wenn Sie sich ein bisschen das überlegen, stellen Sie fest, das ist immer so für alle L. Diese Formel, das ist eine schöne Formel, gibt Ihnen die Summe über die Partition.

Also der Entartungsgrad, das dl. Wenn hier die 24 nicht wäre, und das Q minus 1, wären die Koffizienten, die hier stehen, genau die Zahl der Partitionen, der Zahl im Exponenten in Integers. Das ist eine erzeugende Funktion für die Partition. Das kennt man aus der Zahlentheorie. Ein netter Trick, wie man aus einer analytischen Funktion

zahlentheoretische Informationen generiert. Das ist eine der einfachen Zusammenhänge, die man schnell sehen kann. So, und das haben wir jetzt zur Potenz 24. Was bedeutet das? Wenn Sie das jetzt ausmultipizieren, geht das so los, dass der nächste Term, das hier Q hoch Null ist, der kommt natürlich jetzt 24 mal vor. Wenn Sie irgendwas 1 plus Q hoch 24,

kriegen Sie eine binomische Formel, 1 plus 24 mal Q plus und so weiter. Das ist also eine 24 hier. Der nächste Term, jetzt müssen Sie ein bisschen rechnen. Aber man kann das nicht leicht überleben, das ist 324, wissen wir ja schon. Ich sage Ihnen die nächsten Terme.

3200 Q Quadrat, 25.650 Q hoch 3, 176.256 Q hoch 4, naja, das nächste ist schon über eine Million. Was hat es mit der 24 auf sich?

Na ja, die 24 können Sie lesen als eine Kolorierung. Wir haben die Partition der Zahl 4 zum Beispiel hier, es gibt 5 Partitionen, aber wir haben das Ganze 24 mal. Das heißt, wenn Sie jeder dieser Faktor

eine andere Farbe zuordnen und das ausmultiplizieren, dann kriegen Sie am Ende die Zahl der Partitionen, der Zahl 4 hier, in 24 Farben. Also Sie können sozusagen die Zerlegung 4 gleich 2 plus 1 plus 1, könnte es sein,

rote 2 plus blaue 1 plus grüne 1 oder gelbe 2 plus grüne 1 plus schwarze 1. Also wobei diese rot, grün, gelben so weiter aus dem Topf der 24 Farben zu wählen sind. Sie müssen einfach zählen, wie viele verschiedene farbige Partitionen mit 24 Farben können Sie haben für eine gegebenen Zahl L.

Also Fazit ist, DL ist was man nennt P24 von L. Anzahl der Zerlegungen oder Partitionen der Zahl L mit 24 Farben.

Und das war natürlich die Zahl 1, deswegen geht es hier los mit 24. Die 1 können wir in 24 Art und Weise machen. Das können Sie überlegen bei der Zahl 2.

Die können Sie zerlegen entweder in 1 plus 1 oder in 2. Dann kommen Sie dran mit 24. Spielen Sie ein bisschen mit rum, überzeugen Sie davon, dass das stimmt. Ich hoffe, ich habe genug Evidenz geliefert. Also das ist in einfacher Weise hier Kombinatorik ins Spiel zu bringen. Ja, aber wir würden ja gerne wissen, wie stark steigen diese Zahlen für große L.

Das kriegen wir natürlich nicht, indem wir hier einfach mal ein bisschen für die ersten Terme entwickeln. Ich möchte gerne wissen, wie das für L gleich 1000 ist. Aber da gibt es ein schönes Verfahren. Man muss dazu eigentlich nur angucken, wie diese Funktion asymptotisch sich verhält, wenn Q nach 1 geht. Wenn Q nach 1 geht, dann explodiert das hier. Und das ist gerade der Punkt,

wo die Beiträge für große L kommen. Denn wenn Q nach 1 geht, wenn Q klein ist, dann werden die unterdrückt. Weil eine Zahl kleiner 1 zu einer hohen Potenz ist klein. Diese Beiträge werden dann signifikant, wenn Q nach 1 geht. Dann fängt das hier an zu divergieren. Wir müssen also den Verhalten dieser Funktion in der Nähe von Q gleich 1 kennen.

Und da hilft uns die Zahlentheorie. Eine lütische Zahlentheorie, weil es eine asymptotische Entwicklung, eine Reinentwicklung, dieser Funktion gibt. Und die sagt, also Asymptotik von G von Q

für Q nach 1 gibt dl l hoch minus 27 viertel mal e hoch

4 pi mal Wurzel l. Also es fällt etwas vom Himmel. Da kommt jetzt plötzlich Wurzel auf eine Exponentialfunktion. Also es explodiert exponentiell, das hätte man raten können. Aber hier kriegt man auch noch die Potenz von l im Exponenten und den Vorfaktor.

Und wenn man jetzt natürlich die Massenformel verwendet, kann man sagen, das ist wie m hoch minus 27 halbe mal e hoch m durch m null. Und m null ist eine kritische Masse. 1 durch 4 pi Wurzel alpha prime.

Das ist sozusagen die Masse, die sagt, wie schnell das Ding explodiert. Eine kritische Masse. Man kann das in Temperatur umrechnen. Manche Leute haben Thermodynamik mit bosonischen Strings betrieben. Wenn sie den heizen, so einen bosonischen String, dann werden natürlich mit einer Bolzmann-Verteilung die hohen Niveaus angeregt.

Dann sind die bevölkert. Und je höher die Temperatur, umso mehr sind die angeregt. Und so eine Art Entartungsformel, also für eine Zustandsumme, wenn die zu schnell wächst, exponentiell, dann wird der Bolzmann-Faktor aber an einer bestimmten Temperatur, das ist ja e hoch minus beta e.

Wenn die Temperatur, das Beta zu klein wird, also die Temperatur zu groß wird, dann wird dieser Faktor nicht mehr gewinnen gegenüber dem Faktor. Und dann vergeht die Zustandsumme, die kanonische Zustandsumme. Und diese Temperatur, das ist Temperatur, die in den dimensionslosen Einheiten dieser Masse entspricht. Die nennt man Hagedorn-Temperatur. Nach einem deutschen Physiker, der das zum ersten Mal

beobachtet hat. Also es gibt sozusagen, mit Thermo- und String-Betracht, gibt es diese komische Situation, dass man bei genügend hohen Temperaturen Divergenz in den Zustandsummen hat. Was das bedeutet, haben Leute schon lange spekuliert, das ist nicht so völlig klar.

Also das wollte ich zu den Zuständen sagen. Schloss und String-Zustände explodieren natürlich ähnlich. Dann noch eine Schlussbemerkung zu dieser Verschiebung, dieser Tachionverschiebung. Dieses kleine a war 1 gewesen, das kam aus dem Nogos-Theorem raus, das kam auch aus der Lorenz-Invariance, aus dem Schließen der Generatoren raus.

Es gibt noch ein anderes schmutziges Argument, wie sie ohne viele Rechnungen darauf kommen. Aber das ist nicht wirklich rigoros, aber trotzdem ganz nett, deswegen möchte ich es Ihnen nicht vorenthalten. Ich erinnere nochmal, also ich schreibe ein Argument, ein schnelles Argument

für a gleich 1, beziehungsweise b gleich 26, weil das eine folgt aus dem anderen. Die Idee ist die folgende, wir haben ja L0, ich nehme mal L0 minus

senkrecht minus a, oder wenn das nicht L0 ist, ist es eigentlich N, N minus a, das was auftaucht, ist ja die Summe, M gleich 1, ein bisschen endlich, alpha minus M jetzt wieder Summationskonvention über I impliziert,

minus diesem a. Und das ist ja normal geordnet hier, ich könnte das also auch schreiben als eine Halbsumme über alle M, aber M ungleich 0, die 0, das macht das p², das habe ich herausgezogen.

Die negativen M, die positiven M geben genau wegen der Normalordnung genau das gleiche, deswegen der Faktor 1 halb. Aber ich könnte jetzt sagen, naja, die Behauptung ist, dieses kleine a kam daher, dass ich ursprünglich mal angefangen habe, mit der klassischen und nicht normal

geordneten Summe, also alle positiven und negativen M ungleich 0 genommen habe, ohne Normalordnung. Also nachdem ich aus dem L0 das p² rausgezogen habe, das ist einfach 0², dann bleibt ja dies hier über, Summe über alle ganzen Zahlen außer der 0.

Und das ist nicht normal geordnet. Das könnte ich sagen, anstelle dieser Ambiguität einzuführen, hätte ich ja auch sagen können, naja, ich normal ordne das jetzt und jedes Mal, wo ich Oszillatoren hier vertauschen muss, dann berücksichtige ich den Kommutator. Und ich sammle die alle auf und die Differenzen normal geordnet, das ist das, was herauskommt.

Bei einem, das ist dasselbe wie die Rechnung, ich habe a a Kreuz plus a Kreuz a. Klassisch. Und ich möchte das gerne als normal geordnet nehmen, wenn ich das gerne als normal geordnet schreibe, a a Kreuz oder a Kreuz a, das wäre normal geordnet, dann muss ich den Kommutator hier,

den habe ich dann zu berücksichtigen. Wenn ich das normal ordne, kriege ich einen Zusatzterm durch das Umschieben. Und den kenne ich ja, das ist genau dieselbe Rechnung. Ich kenne ja die Kommutatoren, die stehen ja noch da unten. Also rechnen wir das einfach aus. Was ist denn das?

Nun das a, gut, da steht mir ein Minuszeichen. Also das ist hier minus ein halb die Summe aller Kommutatoren. Die Kommutatoren tauchen dann auch für die negativen M's. Die negativen M's sind falsch geordnet, die muss ich umordnen. Und da kriege ich jedes Mal für jedes M und jedes I einen Kommutator. Plus M.

Naja, den Kommutator, wie gesagt, der ist ja gerade M. Ja, das war hier M. Und ich kriege für jedes I, also habe ich hier nochmal das ganze D minus zwei Mal. Also kriege ich minus D minus zwei halbe

mal Summe M gleich eins bis unendlich von M. Und das ist offensichtlich Unsinn, weil das ja divergiert. Aber Mathematiker haben sich natürlich auch schon lange Gedanken gemacht über divergente Summen. Ob man damit formal was machen kann. Und

divergente Summen kann man regularisieren. Man kann ein Parameter einführen und in einen Bereich gehen, wo diese Summen konvergieren, analytische Funktionen definieren und sie dann analytisch fortsetzen in Bereiche, wo man diese Summe zuordnen kann. Stichwort Zeta Funktion. Haben Sie vielleicht schon mal gehört? Also das ist nichts anderes. Also kleiner X-Kurs.

Summe M gleich eins bis unendlich. M hoch minus S definiert eine Funktion Zeta von S. Für Realteil S größer gleich eins. Für größer eins konvergiert das und gibt eine wohldefinierte Funktion. Das heißt in der

komplexen S-Ebene ist hier bei eins in diesem Bereich die Funktion wohldefiniert. Sie hat hier einen Pol. Und wir möchten sie gerne bei S gleich minus eins. Würden Sie gerne hier kennen.

Und man kann die fortsetzen. Das kann man mit verschiedenen Tricks machen. Das können Sie auch im Internet finden. Das ist kein Problem. In diversen Büchern stellt sich heraus Zeta von minus eins ist gleich minus ein Zwölftel. Also alle ganzen Zahlen aufsummiert von eins bis

unendlich ist minus ein Zwölftel. Das ist schon komisch, dass es negativ ist. kommt also raus. Naja, wenn Sie das jetzt einsetzen, also wenn Sie das Zeta regularisieren, Zeta regularisiert, wäre das halt minus D minus zwei halbe Zeta von minus eins. Nein, das ist

minus D minus zwei 24 Stufen. Naja, und jetzt haben Sie zwei Möglichkeiten. Entweder wenn Sie A gleich eins fordern, folgt daraus D gleich 26 oder umgekehrt. Wenn D gleich 26, können Sie A gleich eins raus. Also die beiden Dinge sind nicht unabhängig.

Okay. Das war ein Schmankerl zum Ende des Kapitels. Ja, nun habe ich ganz viel über den freien String geredet. Jetzt muss ich endlich was über Wechselwirkung sagen. Also der nächste Bereich heißt

String Wechselwirkung. Für den offenen String, mit dem ich mich also zunächst mal beschäftigen will, ich mach den geschlossenen String, das kriege ich ein bisschen später, ist das Bild, was wir haben, einfach dieses hier. Wir haben Weltflächen, die irgendwie eingebettet sind

und String soll irgendwie so Wechselwirken. Das soll die eingebettete Weltfläche von Stringstücken sein oder von Strings, die sich bei einem bestimmten Zeitraum entwickeln, die verschmelzen miteinander oder, wenn Sie es andersrum lesen, aufbrechen. Wie kann man sowas beschreiben?

Nun, typischerweise hat man natürlich jetzt hier Zustände mit mehr als einem String. Also man bräuchte eigentlich einen Zustandsraum mit Multistring-Zuständen. Das wäre dann der Schritt zur Zweitquantisierung, wie es bei relativistischen Punktteichen auch machen. So eine Stringfelftheorie gibt es auch, aber die ist nur für den

offenen bosonischen String halbwegs konsistent und gut verstanden. Das ist ein sehr komplizierter und mit Problemen besetzte Konstruktion für den geschlossenen String und er ist recht für den Superstring. Deswegen gibt es wenig Leute, die sich diesen Formulismus verwenden. Man nutzt nach wie vor die erstquantisierte,

sozusagen quantenmechanische Version des Strings, in der natürlich dann die formulierende Wechselwirkung etwas komisch aussieht. Das ist so, als ob Sie Wechselwirkungen nicht in eine quantenfeldtheorie einführen, sondern in einer quantenmechanik in einer Theorie, in der die Teilchen durch Weltlinien beschrieben werden.

Okay, das werde ich hier aber auch machen. Das Stichwort hierzu sind die sogenannten Vertex-Operatoren. Das ist der Schlüssel und Verständnis der Beschreibung von Wechselwirkungen. Dazu füge ich aber trotzdem formal erst mal

einen Multistring-Fockraum ein, um Ihnen diese Konzepte nahe zu bringen. Also nehmen wir an, wir haben einen Multistring-Fockraum oder Zustandsraum. F ist dann die direkte Summe von

Zustandsräumen mit einer festen Anzahl von Strings. Also das hier ist die

Anzahl. Das heißt, es gibt einen Ein-String-Zustandsraum, mit dem haben wir uns hauptsächlich beschäftigt bisher. Aber jetzt muss es auch einen Null-String-Zustandsraum geben. Das ist nicht das Vakuum um das Ein-String, der Ein-String-Theorie. Das ist ein Zustand ohne Strings. Das ist was Neues. Das muss man also aufpassen.

Das heißt, es gibt insbesondere also wir haben ein Null- Null-String-Zustand. Den beschreibe ich einfach mal so. F0, wir haben einen Ein-String-Zustand.

Mehrere davon. Die schreibe ich mal so, weil die ja in der Regel Quantenzahlen tragen. Also irgendein Etikett schreibe ich in das Kett da rein, das diesen Ein-String charakterisiert.

Impuls, Schwerpunkt, Impuls, was auch immer. Aber wir haben natürlich auch Zwei-String-Zustände. Und die schreibe ich einfach so, dass ich da zwei Etiketten reinschreibe. Und man kann es sich so vorstellen, wie in der

Teilchen-Theorie, dass man die Zwei-String-Zustände einfach schreibe, wenn sie keine Wechselwirkung haben, dass wir zwei Ein-String-Zustände miteinander tensorieren. Einfach das Tensorprodukt. Das kennen Sie aus der Quanten-Mechanik. Da klebt man zwei Vorräume, zwei Zustandsräume zusammen. Vielleicht symmetrisiert man noch und solche Scherze. Aber so feinsinnig will ich hier nicht sein.

Gut, dann gibt es einen String-Feld-Operator. Das ist wie ein normaler Quantenfeld. Operatorwertige Distribution in irgendeinem geeignetem Sinne. Die schreibe ich mal so. Ein großes Psi mit einem Index A. Und die macht Folgendes. Die nimmt einen Zustand

in dem N-String-Raum und die hat Erzeuger und Vernichter drin. Wie beim Punktteilchen. Erzeuger, aber der ist nicht von einzelnen Oszillatoren, sondern von ganzen Strings. Sozusagen eine unendliche Kollektion von Erzeuger und eine unendliche Kollektion von Vernichtern.

Also, stellen Sie es so einfach moralisch vor. Da ist ein Operator, der erzeugt einen String. Das heißt, der hat einen Anteil, der aus dem endlichen Zustand einen N-Plus-Ein-String-Zustand macht. Er hat auch Vernichter drin. Wie bei jedem vernünftigen hermetischen Quantenfeld gibt es Erzeuger und Vernichter. Also gibt es auch einen Anteil

in Fn-1. Und im Besonderen, wenn Sie diesen String-Operator anwenden auf das Vakuum, auf den Null-String-Zustand, da gibt es nur eine Möglichkeit. Dann gibt es einen Ein-String-Zustand und das ist genau der, den ich mit dem Int-Etikett A meine.

In F1

existiert ein Operator, ein anderer Operator. Das ist einer, der die String- Anzahl nicht ändert. Der bleibt in F1. Va F1 nach F1 mit, der definiert ist dadurch, dass er diesen Ein-String-Zustand

erzeugt aus dem Ein-String-Grundzustand. Nicht aus dem Vakuum, nicht aus dem leeren Etikett, sondern aus dem Vakuum, aus dem Grundzustand dieses Ein-String-Sektors. Den haben Sie ja schon gesehen. Das ist für unsere Oszillator-Algebra einfach der Grundzustand.

Das ist der unangeregte String. Einer und nicht keiner. Den können wir anregen mit diesem Operator und kriegen einen irgendwie angeregten String. Das soll natürlich mit dem zusammen passen. Das heißt, es gibt irgendeinen Zusammenhang zwischen diesem Operator und diesem. Dieser Operator

heißt Vertex-Operator. Ich gebe Ihnen ein Beispiel. Etwas komplizierteres Beispiel zu, wie es scheint. Der einfachste Zustand, den wir haben können, ist ein Tachion-Zustand.

Also es ist nichts anderes als das geboostete Vakuum mit Alpha-K-Quadrat gleich eins für den offenen String. Diesen Zustand behaupte ich, kann ich bekommen fangen wir anders an, indem ich folgenden Operator V-Tachion

von K auf das Vakuum loslasse. Und dieser V-K-Tachion sieht folgendermaßen aus. Das ist der Limes-Tau. Geht nach Minus und Endlich. Und jetzt muss ich noch einen kleinen Imaginärteil angeben. 1 minus i Epsilon. Von dem normal geordneten Produkt von E hoch i K mal X.

So, was ist dieses normal geordnete Produkt? Na ja, Erzeuger und Vernichter, wie die Seite. Sie erinnern sich jetzt, sie müssen nachschlagen, die Fourier-Zerlegung von dem X. Da gab es Anteile mit

Alpha Ends und Alpha Minus Ends. Also da gab es Erzeugerteile und Vernichterteile. Ich schreibe das mal so. E hoch i K mal X kleiner.

X kleiner sind die Erzeugerteile. Also ich habe jetzt keinen Platz hier hinzuschreiben, ich sage es in Wort. Das sind jetzt die Anteile von dem X-Poietzerlegung, die die Aufsteiger drin haben. Die Alphas mit den negativen Indizes. Dann gab es den Nullmoden-Anteil. Also der

i K Q. Das Q war der konstante Term in dem X. Und dann gab es den Term, der Linie ein Tau war. E hoch 2 Alpha Strich i P Tau K mal P. P ist der, da gab es den Term Tau mal P. Und dann ein E hoch i K X größer.

Und das ist die Normalordnung im Wesentlichen. Ich habe das Ding hier ausgeschrieben, wie das normal geordnet ist. Sie müssen exponenzieren, aber alle Oszillatoren, die, was vertauschen nicht miteinander? Die vertauschen nicht miteinander und die vertauschen nicht mit denen. Hier sind Erzeuger, hier sind Vernichter. Vernichter alle nach rechts. Wieder eine Exponentialfunktion.

Nach rechts, nach links. So und jetzt passiert Folgendes. Jetzt sehen Sie, dass Sie können das ausrechnen. Das ist relativ leicht. Mache ich das gerade hier drunter.

Dieser Anteil hier gibt Null. Oder wenn man nur die 1 überlebt. 1 plus, und der Rest, was im Exponential ist, sind alles Vernichter.

Die geben Null aufs Vakuum. Nur die 1 von der E-Funktion bleibt. Dasselbe hier, P. Sie erinnern sich, P vernichtet das Vakuum. Also passiert hier auch nur die 1. Also wenn Sie alles das loslassen hier, das ganze Ding, da erlebt nur die 1. Was macht dies hier?

Dies angewendet auf Null, macht gerade einen Boost. Das gibt einen geboosteten Zustand. Nämlich mit Eigenwert K. Das heißt, wir haben hier Limes. Naja, den Limes können wir schon ausführen. Der ist im Grunde genommen hier nicht. Ah, noch nicht, Moment.

Ich schreibe das mal aus, was da steht. Da steht dieses Ik Minus schreibe ich mal aus. Da steht Wurzel aus 2 Alpha Preim Summe N größer Null 1 durch N K mal Alpha Minus N

Der Index ist ja mit dem K abgesättigt. Mal E hoch I N Tau. Das war der Anteil der Fourier-Zerlegung von dem X, der die Erzeuger enthält. So, und dies hier auf dem Zustand macht der einfach nur ein K. Haben wir es so vereinfacht.

So, und wenn Sie jetzt Tau nach Minus und Endlich schicken, aber dem Tau einen kleinen positiven Imaginierteil geben, dann wird das hier gedämpft. Also das ist ein üblicher Trick, den man hat, mit schnell oszillierenden Funktionen. Man möchte gerne Limes für Frequenz nach und Endlich machen. Da muss man im Sinne einer, muss man

eine Regularisierung vornehmen. Sonst geht das natürlich nicht. Also mit einem noch so kleinen Imaginierteil wird das gedämpft. Ja, und es bleibt nichts über. All diese Terme geben 0 wegen der Dämpfung. Wenn Tau danach unendlich geht, dann wird diese Dämpfung beliebig stark. Und das heißt, über bleibt 0 K. Und das ist ja gerade das, was wir wollen.

Ja, also für, das ist das Tachion mit Alpha 3 K Quadrat plus 1. Massenschale. Also wenn wir einen solchen Vertex-Operator nehmen, mit dieser Massenschalenbedingung, dann erzeugt der aus dem Grundzustand das Tachion. Und es gibt nun eine

Operator- Zustands-Korrespondenz, die genau da schon mal steht.

Zu jedem physikalischen Zustand gibt es einen Vertex-Operator und umgekehrt. Und es ist auch relativ leicht, die Vertex-Operator hinzuschreiben, wenn sie die Zustände kennen. Ich gebe Ihnen ein Beispiel, ein anderes Beispiel.

Beispiel Level. Über mal Level 2, um etwas komplizierteres hinzuschreiben.

Da ist der Zustand, das hat sich in Übungsaufgaben gerechnet, der Zustand, ich schalte den Operator hin. Also der Operator lautet dann E hoch minus 2 I Tau mal Normalordnung von Beta My x Punkt My x Punkt My

plus Epsilon My x Zwei Punkt My E hoch I K X Normal geordnet. Das wäre der Vertex-Operator. Ein bisschen herwischen glaube ich.

Das ist der Vertex-Operator, der dem allgemeinsten Level 2 Zustand entspricht. Jetzt so

Beta My Alpha minus 1 My Alpha minus 1 My plus Epsilon My minus Zwei. Natürlich in einer Massenschalen-Bedingung. Einfach 3 K Quadrat Stich minus 1.

Ja, Sie sehen, dieser Faktor ist da gebastelt mit dem Limes. Wir müssen dann wieder diesen Limes bilden. Limes Tau nach Minus und Endlich mal 1 minus die Epsilon. Wenn wir den Grenzwert bilden und auf den Zustand loslassen, dann heben es die Faktoren hier mit dem Tau

so richtig, die hier auch drin stecken, so richtig auf, dass das über bleibt. Kann man leicht prüfen. Die Konstruktion ist relativ analog. Man sieht, wie die Alphas sich in die Ableitung von X übersetzen. Okay. Nun ist aber so,

der offene String hat die Topologie eines Streifens. Wir haben die Situation, wir haben hier einen Streifen und die Parameter, hier läuft Tau entlang. Das ist ein Sigma. Von 0 bis Pi.

Und dieser Grenzwert Tau nach Minus und Endlich bedeutet, der Vertex-Operator erzeugt den Zustand

in der Vergangenheit. In unendlicher Vergangenheit. Also, irgendwie hier draußen, hier. Tau nach Minus und Endlich.

Jetzt kann ich eine Konjugation definieren, die Vergangenheit mit der Zukunft vertauscht, geschwungen i, die bildet den Fockraum, ein Zustandsfockraum auf das Duale ab, oder auf sowas Duales.

Das ist jetzt etwas formal, weil ich kein Skalarprodukt definiert habe, aber es soll eher etwas suggestiv sein. Duale Objekte, Duale von Kets sind Bras. Und ich möchte gerne Operationen definieren, wenn jemand aus einem Ket ein Bra macht. Und diesen Bra,

den assoziiere ich mit der fernen Zukunft. Denn die Vertex-Operatoren V, H von K soll abgebildet werden in V, A Kreuz wird es V, A von Minus K.

Hier der Zustand erzeugt, der hier reinläuft mit Impuls, dann soll der mit Umkehrimpuls laufen. Also von da reinlaufend. Weil durch das Komplex-Konjugieren, wenn Sie so wollen, wird das Vorzeichen im Exponenten hier umgedreht. So kann man das auch unmotivieren vielleicht.

Und das heißt, dieser Zustand hier soll sein einfach V, A Entschuldigung, gerade das Umgekehrte. Null, V, A von K und Tau

nach Plus und Endlich. Also praktisch der andere Grenzfall. Und jetzt bin ich so weit, dass ich erklären kann, was ich meine mit String-Fusion.

Also dem Verschmelzen von zwei Strings in dieser Sprache. Nehmen Sie an, wir haben zwei String-Feldoperatoren und wenden die auf das Null-String-Vakuum an. Was passiert?

Im ersten Schritt erzeugt Psi A einen Ein-String-Zustand. So, und dieser Operator hat jetzt zwei Anteile, der erzeugt einmal einen Zwei-String-Zustand und er bildet wieder auf das Vakuum ab. Auf den Null-String-Zustand.

Das ist im Grunde so ein bisschen, was wir wollen. Wenn Sie oben das Bild angucken, auf der linken Seite haben wir diesen Zwei-String-Zustand. Den kann ich dadurch erzeugen, dass ich in diesem Multistring-Fockraum einfach zwei Erzeuger auf das Vakuum loslasse. Dann habe ich einen Zustand, der enthält zwei Strings mit Anregung A und B. Also das heißt, ich habe hier irgendeinen Zustand, den ich schreiben kann, als A, B, ein Zwei-String-Zustand

plus irgendeine Funktion von A und B mal den Null-String-Zustand. Sowas von der Art wird das sein. Ich kann aber auch zwei Vertex- Operatoren iterieren. Indem alles im Ein-String- Zustandsraum.

Dann kriege ich Vb angewendet auf a. Das ist immer noch ein String-Zustand, es ist kein Zwei-String-Zustand. Ich habe nur zwei Wertex-Operatoren, der ändert die String-Zahl nicht. Und dann bekomme ich einen Zustand, den nenne ich a plus b. Das ist nach wie vor ein Ein-String-Zustand. Also das ist in f2 und das ist in f1.

Und die Fusion ist jetzt eine Operation, die diese beiden Dinge miteinander verbindet. Das ist, wenn Sie so wollen, die rechte Seite unseres Hosen-Diagramms.

Und der Zwei-String-Zustand ist die linke Seite. Und in irgendeiner Form müssen die beiden jetzt ineinander verklebt werden. Und das Verkleben geht mit der Konjugation. Also all diese Operationen, die ich hier etwas formal einführe, lassen sich in der String-Feldtheorie wirklich explizit angeben.

Aber das wäre eine eigene Vorlesung. Das ist hier eher der Motivationsteil für die Rechenregeln, die dann kommen.

Okay, also jetzt definiere ich, was bedeutet ein Drei-String-Vertex. Nicht Vertex-Operator, Vertex wird gerne mit griechischem Groß Y bezeichnet. Ich weiß nicht, ob in der Buchstabe geläufig ist.

Es ist eine Abbildung von F1 tensor F1, also von dem, was hier passiert, nach F1 Stern in das Duale. Die soll einfach Folgendes machen. Die soll den Zwei-String-Zustand nehmen und schlichtweg abbilden

in das Konjugierte von dem Ein-String-Zustand hier. Ich habe hier die Konjugation mit eingebaut. Ich hätte ja auch sonst das hier umdrehen können. Aber der Grund ist der, dies ist bilinear in zwei Argumenten

und das Ergebnis ist eine Linearform. Sowas kann ich formal immer auch in etwas Trilinears übersetzen, was in die Zahlen abbildet, indem ich einfach das einsetze. Ich setze das ein, das ist wie eine Bilinearform

mit Werten, die in einer einzelnen Linearform sind. Die wende ich an auf ein Objekt, auf einen weiteren String-Zustand z.B. C. Also anwenden auf ein C oder tensorieren mit, ja doch.

Ein Anwenden von C gibt etwas, was ich immer noch Y nenne, das jetzt von drei Faktoren von F1 abbildet in die Zahlen. Jetzt könnt ihr sich vorstellen, wie ich hier das auf einen C weiteren Zustand C anwende. Also ich schreibe es einfach hin, was es tut.

Es nimmt einen Drei-String-Zustand und bildet ihn ab auf A plus B, C. Gut, ich habe jetzt hier jetzt so eine Art Skalapodot eingeführt. Das habe ich hier implizit schon hinuntergejubelt,

weil ich ja von Atiomgieren und so geredet habe. Also ich definiere dieses Skalapodot nicht näher, das ist eine Wissenschaft für sich. Aber für den bosonischen String lässt sich das im Grunde problemlos machen, weil wir harmonische Oszillatoren haben. Harmonische Oszillatoren haben alle hier schöne Vorkräume, mit denen sie sich Skalapodot vernünftig definieren können. Also man kann das machen.

Und dann ist das die wesentliche eine Abbildung, die drei Strings nimmt und auf eine Zahl abbildet. Wir können das jetzt sozusagen so lesen, wenn Sie ganz oben das Diagramm noch vielleicht sehen, dass wir statt das nicht so lesen, dass hier links zwei Strings reinkommen und rechts einer rausgeht.

Sondern wir nehmen String A, String B, String C und rechnen so eine Art Überlappwahrscheinlichkeit oder Amplitude besser gesagt. Die Wahrscheinlichkeit wird das Quadrat. Also Überlappamplitude aus in der Quantenmechanik, indem Sie einfach den linken Zustand nehmen, der durch die beiden Strings erzeugt wird und mit dem rechten Stringzustand den Überlapp rechnen.

Das ist also im Wesentlichen die Amplitude. Das nennen wir den 3-String-Vertex. Ja, und natürlich hat man auch einen 2-String-Vertex einfach durch die Konjugation. Schreibe ich auch an, das nennen wir wieder I. Das ist das I, das da oben stand.

Wir können auch da das Anwenden auf ein C und aus dieser Linearform eine Zahl machen und dann das praktisch rüberschaufen, dieses F1 als F1 auf die linke Seite. Aber dieser Teil ist etwas langweilig,

weil da passiert keine Wechselwürfe und da haben wir nur zwei Strings im Spiel. Manchmal finden Sie folgende Notation in der Literatur. Das I wird geschrieben als V2 mit zwei Klammern da

und das Y wird geschrieben als V3 mit drei Klammern. Das ist deshalb, weil hier zum Beispiel bei dem V3 das ist etwas, was Sie anwenden auf drei Strings. Sie müssen das sozusagen mit Kett A, Kett B, Kett C zusammenbringen

und dann werden die drei Kets killen, die drei Klammern hier, und Sie kriegen eine Zahl. Nur als Erinnerungshilfe die Zahl der Klammern sagt, wie viel Zustände Sie brauchen, um das Ding abzusättigen.

Ja, und am Ende heißt das aber, wir haben jetzt eine Art Struktur. Die Vertex-Operatoren bilden eine Algebra. Dies erzeugt eine algebraische Struktur, Algebra der Vertex-Operatoren.

Denn wir können ja dieses nehmen, dieses Y, und können Va und Vb nehmen, Kringel Vb, und können mit dem Y daraus einen Vc machen. Nehmen wir diesen Y in die B-Szene hin.

Das ist ja wie das konjugierte eines dritten Strings, Zustandes C. Und Strukturkonstanten, Konstanten, Prinzip F, A, B, C

sind genau diese Zahlen, die Sie kriegen, indem Sie den 3-String-Vertex anwenden. Also der Überlauf sind die Strukturkonstanten. Also man kann das Ganze sehr schön geometrisch mit Pfadintegralen ausformulieren. Das hat Bitten gemacht, 1985, in seiner legendären Arbeit,

in der String-Feldtheorie definiert hat. Da kann man das im Prinzip nachlesen. So, jetzt bin ich im Grunde so weit, dass ich Ihnen erklären kann, wie man solche Überlapps ausrechnet. Ich muss aber noch ein bisschen was zu erzählen.

Ja, wie fange ich an? Ja, ich brauche noch eine Beobachtung, nämlich, dass die Antituden, wie wir sie ausrechnen, noch eine Symmetrie besitzen. Die sind nämlich invariant unter einer SL2R 3-parametrischen Lieggruppe.

Und das macht ein bisschen Probleme.

Ich mache erst mal hier noch weiter. Okay, also wir können Folgendes schreiben.

Ich setze das hier einfach nochmal vor. I, A, B, also das I, was aus 2-String-Zustand eine Zahl macht, hier. Das kann ich ausrechnen mit meinen Vertex-Operatoren, indem ich Folgendes berechne.

Das ist ja genau das, was hier steht. Ich erzeuge den Zustand B, zur Zeit minus und endlich aus dem Grundzustand im 1-String-Sektor. Und bei A, das Konjunkt geht ja davon, und entsprechend Y auf A, B, C ist,

naja, da habe ich 2 A und B von links, wir gucken A und B von links, also V, A von unendlich, V, B in dieser Reihenfolge, die vertauschen nicht miteinander, und dann V, C von minus und endlich.

Sowas muss ich rechnen. Ich muss also ein Produkt von 3 Vertex-Operatoren nehmen und das Matex-Element in dem 1-String-Vakuum ausrechnen. Dann kenne ich meinen 3-String-Überlag. Für die externen Quantenzahlen A, B und C. Die Strings sind ja präpariert in bestimmten Anregungszuständen.

Nun klingt das ein bisschen komisch. Warum habe ich hier 2-mal minus und endlich nehmen können oder vielleicht überhaupt noch etwas anderes? Tatsache ist, das kann ich jetzt nicht in allem Detail ableiten, dass der Tauwert, der hier steht, tatsächlich egal ist. Also die Behauptung ist, Sie dürfen hier schreiben

V, A von Tau 1, V, B von Tau 2 und V, C von Tau 3, unabhängig von der Wahl Tau 1.

Wir müssen nur eine Reihenfolge haben. Wir müssen Tau 1 größer, Tau 2 größer, Tau 3 haben. Das können Sie überprüfen. Sie können tatsächlich diese Vertex-Operatoren nehmen, so wie ich sie definiert habe. Zum Beispiel für das Tachion mit endlichen Werten Tau 1, Tau 2, V, 3

und das mal ausrechnen. Wenn Sie feststellen, die Zahl, die da rauskommt, hängt nicht von den Taus ab. Also Behauptung prüft durch Rechnung, aber es gibt einen Grund dafür. Der Grund ist eine SL2R-Symmetrie der Amplituden.

Die kann man folgendermaßen sehen.

Sie erinnern sich, das Vakuum war annihiliert. Also Indiz dafür, ich komme nochmal darauf zurück. Eine Indiz dafür ist, das Vakuum wurde vernichtet von drei Generatoren der L1, L-1 und L0 auf dem Vakuum verschwand. Und Sie erinnern sich auch, das ist konsistent,

weil die Birasol-Algebra genau für diese drei Generatoren keine anormalen Termen hat. Da steht rechts der D12 mal n hoch 3 minus n. Das verschwindet für n gleich 1, minus 1 und 0. Das heißt, diese Unteralgebra ist anomaliefrei,

also hat keinen zentralen Term, und ist eine Symmetrie des Vakuums. Die Transformation, das sind ja drei Generatoren. Wenn Sie die jetzt exponenzieren mit Parametern, so wie Sie das aus der Drehgruppe kennen, die erzeugen der Drehungen, exponenziert, gibt endliche Drehungen, so können Sie diese exponenzieren

und mal gucken, was da passiert. Also L-1, L0 und L1 erzeugen eine, ich bin ja eine Lie-Algebra, ich schreibe es mal so, bilden eine SL2R Lie-Algebra.

Die Generatoren kann ich hinschreiben, wir ändern sich ja noch. Vielleicht war das L1 mit L-1 ist 2 mal L0, und L0 mit L plus minus 1 ist plus minus L plus minus 1.

Das ist genau wie die Drehimpulse, wie J plus, J minus und jetzt Jz. Wenn Sie aber genau hingucken, dann sehen Sie, da fehlen irgendwie I's. Also das ist nicht genau die Drehgruppe, sondern es ist eine nicht kompakte Version der Drehgruppe.

Wenn Sie es exponenzieren, sehen Sie es, als statt ehoi mal etwas, bekommen Sie eho real mal etwas. ehoi mal etwas ist eine Phase, das gibt sozusagen Drehungen, aber eho, was real ist, mal etwas, ist nicht kompakt. Das heißt, das ist eine nicht kompakte Gruppe,

die hat die Topologie von Kreis mal Ebene, also es ist zwei nicht kompakte Richtungen. Okay, SL2R halt. So, diese SL2R, auch die Vertex-Operatoren sind invariant darunter, das werden wir gleich noch sehen, ob es heute noch klappt, weiß ich nicht. Das hat aber zur Folge tatsächlich,

diese Symmetrie hat zur Konsequenz, dass diese Vertex-Operatoren, dieses Produkt hier nicht von den drei, wir hatten T1, T2, T3 abhängt, denn diese Gruppe hat drei Parameter, so wie die Drehgruppe auch. Sie können ja eine lineare Kombination von diesen drei Generatoren exponentieren und kriegen dann eine drei parametrische Gruppe.

Und wie können Sie verwenden, um diese Werte T1, T2, T3 zu beliebigen Zahlen zu schieben? Das ist eine Symmetrie, das Resultat ändert sich, das hängt nicht davon ab, die Amplitude hängt nicht davon ab, Sie können innerhalb dieses Ausdrucks diese Transformation anwenden und verschieben damit effektiv, dieses T1, T2, T3 zu beliebigen,

werden zum Beispiel auch zu plus und endlich und minus und endlich. Also das ist ein Grund, das ist der Divalenten Grund, warum das so ist. Und die Verallgemeinerung für einen N-String-Prozess

liegt dann auf der Hand. Die sieht einfach vongermassen aus. Wir haben A von, ich schreibe mal, K1, T1, K2, T2, Kn, Tn.

Die Amplitude, die mich interessiert, soll jetzt einfach sein, das Produkt dieser Vertex-Operatoren V1, statt ABC schreibe ich jetzt einfach 1, 2, 3 mit Impuls K1 und einem Zeitpunkt Tau 1,

ein zweiter Vertex-Operator, ein dritter bis zu einem Enten. Und ich möchte gerne, damit das von Null verschieden ist, dass die Summe der Ki gleich Null ist.

Sonst haben wir keine Impulserhaltung. Das kommt sowieso raus, denn am Ende, alle diese Vertex-Operatoren haben einen Faktor e hoch ikx, e hoch iq, k mal q, also den Null-Mode-String. Und wenn jeder von denen schiebt, boostet den Impuls hier rechts des Vakums.

Also hier in diesen Anwendungen haben sie einen Impulseinstrum mit Wert Kn. In den nächsten Anwendungen haben sie Kn plus Kn minus 1 und so weiter. Die Impulse addieren sich alle auf, und am Schluss bilden sie einen Überlag mit dem Vakuum. Und das ist nodal, wie wir ja wissen, Definition K, K-Strich, Skalarprodukt, nodal von Null verschieden, wenn die sich alle zu Null addieren.

Das ist einfach die Impulserhaltung. Sonst muss ich immer über eine Delta-Funktion dazuschreiben, wenn wir das ausrechnen. Alright.

Wo sind wir jetzt stehen geblieben? Gut. Jetzt brauche ich noch eine etwas unschöne Angelegenheit, um dieses Ding ausrechnen zu können, sinnvoll. Jetzt habe ich ja nicht mehr den Grenzwert,

also keine Limitis tau nach und endlich mehr. Da ich aber diese Limitis nicht mehr habe, habe ich auch diese Dämpfung nicht mehr. Da habe ich eine schöne Dämpfung gehabt, die diese Oszillation wegmachte. Ich könnte die wieder einführen, aber es gibt einen eleganteren Weg. Der heißt Vigrotation.

Das kennt man aus der Teilchenphysik. Das ist im Prinzip ein Trick. Eine Größe, deren analogisches Verhalten man in einer Variable kennt. Diese Variable, über die man integriert, zum Beispiel. Wir integrieren auch über diese Taus, über kurz oder lang,

zu drehen in der komplexen Ebene, sodass man nicht über die relle Achse und über die Magnereachse integriert. Und dann wird auch E hoch, aus E hoch i N tau wird dann E hoch minus Nt. Und das konvergiert natürlich wunderbar. Man hat diese Konvergenzprobleme in den Griff. Und am Schluss muss man natürlich wieder überlegen, ob das Resultat wieder zurückversetzt werden kann.

Das sind Details natürlich jetzt hier, die man eben genau untersuchen muss eigentlich. Ich benutze das hier jetzt einfach, um die Rechenregeln zu bringen. Also wir benutzen eine Vigrotation.

Ich schreibe tau gleich minus i T und definiere Y als E hoch i tau, was eigentlich eine Phase wäre. Aber mit der Wahl, dass ich sage,

jetzt soll nicht tau real sein, sondern T soll real sein. T soll real sein. Also T aus minus unendlich plus unendlich. T real aus minus im Intervall minus unendlich plus unendlich. Das ist die Vigrotation. Umdefinieren kann ich es aber jetzt, wenn ich das T real mache, dann habe ich das tau imaginär gemacht.

Das ist die Vigrotation hier. Vigrotation ist das, das hier real zu wählen. Das heißt, Y ist aus dem Intervall null unendlich, ist auch real.

Und dann folgt für meinen Tachyon-Vertex-Operator. Ich schreibe ihn jetzt mal explizit aus. Ich schreibe jetzt Sätze, statt tau, schreibe ich Y als Argument. Das ist ja genauso gut.

Das ist jetzt E hoch, Wurzel aus 2 auf 1. Da habe ich das x kleiner, positive n, 1 durch n, alpha minus n, mal k. Und dann steht jetzt Y hoch n.

E hoch ik mal q. Und verändert. Y hoch 2 alpha 3 k mal p. Und dann der Vernichteranteil.

Also jetzt, ohne die Vigrotation könnte ich das auch machen. Dann wären die Ys aber Phasen. Wenn ich das Vigrotiere, dann sind das keine Phasen mehr, sondern dann sind das reelle Zahlen. Und was ich machen werde, was ich noch nicht gesagt habe, ich habe natürlich, wie immer in der Quantenmechanik,

will ich über alle möglichen Werte von tau 1, tau 2 bis tau n integrieren. Wenn ich nur 3 habe, ist es egal. Weil das Ergebnis hängt nicht von tau 1, tau 2, tau 3 ab. Das haben wir ja gerade gesagt. Wenn ich aber 4 habe, dann hängt das Ergebnis durchaus in irgendeiner Weise von diesen Taus ab. Und bei allen quantenmechanischen Prozessen

muss ich über alle Möglichkeiten summieren. Also sollte ich über die Taus integrieren. Und stattdessen werde ich über die Ys integrieren. Gut, das ist also die Vigrotation. Und jetzt muss ich einfach berechnen, was ist das?

Eine Rechnung, die Sie morgen oder, da müssen wir kurz noch diskutieren, in der Übung oder nächste Woche in der Übung machen. Was ist E hoch I K1 mal X von Y1 K2 mal X?

Also wir machen es einfach mal für Tachyon. N-Tachyon. Also ich könnte, vielleicht sollte ich erst schreiben T, noch etwas davor schicken. Also eigentlich rechnen wir V-Tachyon von Y1,

V-Tachyon von Y2 und von K. Ich habe die K-Argumenten jetzt unterdrückt. Die hängen natürlich auch von K ab. Bei mir kann ich das auch dazuschreiben. Also was wir ausrechnen wollen,

V-Tachyon von K1, Y1, Tachyon von K2, Y2, V-Tachyon von KN, YN, 0. Und das ist nichts anderes. Dann kann ich einsetzen. Jedes Tachyon, Tachyon-Vertigsoperator ist.

Normalgeordnete ist exponential. So, das sieht ein bisschen kompliziert aus. Ist auch ein bisschen, nicht ganz so leicht zu rechnen, aber wenn man die Tricks kennt, die man gelernt hat,

sie werden das am Beispiel von N gleich 2 machen. Zunächst mal. Dann sieht man, wie der Hase läuft. Das reicht. Sie sehen, Sie haben Erzeuger und Vernichter im Exponenten. Die müssen Sie an anderen Erzeuger und Vernichter im Exponenten vorbeiziehen. Das kennt man aus der Quantenmechanik, wenn man im hormonischen Oszillator kohärente Zustände mal diskutiert hat.

Da passiert genau so was. E hoch irgendwas mal a Kreuz. Wie vertauscht das mit a und so? Wie vertauscht E hoch alpha mal a Kreuz mit E hoch beta mal a? Genau diese Sachen brauchen wir hier. Also das lässt sich mit den Rechenregeln alles straight forward rechnen. Ist vielleicht ein bisschen mühsam.

Und das Ergebnis ist erstaunlich einfach. Es kommt raus. Natürlich ist für die Summe der Ki gleich Null. Sonst gibt es Null. Es kommt raus Produkt i kleiner j Yi minus Yj hoch 2 alpha Strich Ki mal Kj.

Wenn Sie so wollen, kann ich jetzt wieder Wig invertieren. Wig auch minus 1 machen und schreiben Produkt i kleiner j E hoch i tau i.

Minus E hoch i tau j hoch 2 alpha. Hier ist das reell. Aber wenn ich wieder zurück übersetze und tau einsetze, sagen wir das tau-reell und dann ist das nicht mehr real.

Okay, diesen Faktor nennt man den Koban-Nielsen-Faktor. Weil die beiden den zuerst hingeschrieben haben. Der taucht in jeder Amplitude auf, denn diese Exponentialfunktion sind Bestandteil jedes Tachierenoperators.

Kompliziertere Anregungszustände haben Humbertex-Operatoren, die diesen Exponentialfaktor haben, mal einen Polynomen in Ableitungen, in dx. Das macht nur zusätzliche Terme, aber dieser Faktor multipliziert jede Amplitude. Man kann dessen Eigenschaften natürlich jetzt genau studieren. Das werde ich das nächste Mal auch machen.

Nur noch etwas zum Abschluss zu dieser SL2-Invarianz. Wir sind nämlich noch nicht fertig. Gut, das werde ich jetzt heute nicht mehr hinkriegen. Gut, ich sage aber trotzdem noch etwas dazu.

Nämlich in den y-Variablen können Sie diese SL2-Invarianz sehr gut sehen. Also das ist wieder etwas, was ich Ihnen jetzt nicht ableite, aber das können Sie nachrechnen.

Diese SL2-Transformationen wirken in gebrochenen linearen Formen auf den y-Variablen.

Die senden y nach a y plus b durch c y plus b. Das sind jetzt die endlichen Transformationen mit a d minus b c gleich 1. Das hat der eine oder andere von Ihnen vielleicht schon mal gesehen.

Das ist eine gebrochen lineare Realisierung der SL2-C, also keine lineare Realisierung, sondern gebrochen rationale Realisierung auf rationalen Funktionen in der komplexen Ebene oder auf der reellen Gerade. y ist ja hier real, aber wir können es auch in c.

Aber wir haben es hier mit SL2-R zu tun, also y ist real. Diese Transformation können wir auch infinitismal angucken.

Da schreibe ich a ist gleich 1 plus alpha, b ist beta, c ist gamma und d ist 1 plus delta. Und die griechischen alpha, beta, gamma, delta sind von Order epsilon so klein.

Wenn Sie das einsetzen, dann kommt raus, y geht über nach, also das ist jetzt eine kleine Rechnung, vielleicht selbst machen. Es kommt einmal raus, wegen dieser Bedingung kommt raus alpha plus delta gleich 0. Das ist einfach die Spurfreiheit. Das ist jetzt Determinante 1 von dieser Matrix. Wir haben eine Matrix abcd, das ist Determinante 1.

Wenn Sie es infinitismal machen, dann übersetzt sich das in die Spurfreiheit der infinitismalen Transformation. Dann steht da y, geht über nach y plus beta plus alpha minus gamma y plus, nein, minus gamma y².

Das definiert mir einfach drei Parameter. Die nenne ich mal alpha 1, alpha 2 und alpha 3. Sie sehen die infinitismale Transformation, ich verschiebe y an der Konstante um etwas Lineares und etwas Quadratisches. Die können Sie exponenzieren, dann kommen Sie wieder hin und zurück. Das ist was ich brauche. Das werde ich im nächsten Mal brauchen, um eine konkrete Rechnung auszuführen.

Diese Transformationen heißen auch Möbius-Transformationen. Und die erlauben einem ... welches?

Delta. Delta taucht, habe ich was falsch geschrieben? Das könnte sein, das ist ... Nein, hier taucht, glaube ich, Delta. Das ist gamma, das ist alpha minus ... Oh, da habe ich falsch übersetzt.

Alpha minus Delta hier. Genau, letzte Bemerkung. Wir können mit Hilfe solcher Transformationen die Weltfläche geschickt umabbilden. Also, ich sage mal, konforme Transformationen der Weltfläche.

Hier haben wir die Variable tau und sigma von 0 bis pi. Das ist unsere ursprüngliche Parametrisierung. Der String läuft sozusagen hier zu gleichen Zeiten entlang.

Schnappschüsse. Tau läuft von links nach rechts. Jetzt ist es nützlich, eine Variable einzuführen e hoch tau plus i sigma. Also, sprich tau und sigma, dies hier als komplexe Variable aufzufassen. Tau und sigma. Als realen Magnet an einer komplexen Variable.

Und das mal zu exponenzieren. Das ist eine konforme Abbildung. Man darf ja Variablen wechseln. Das ist so ähnlich wie das Y. Das war ja auch e hoch i tau. Da habe ich ja kein sigma, weil am Rand des Stringes sigma gleich 0 brauche ich nicht. Aber wenn ich das für alle Punkte im String mache, dann ist nach dieser Abbildung in der komplexen Z-Ebene,

liegt diese Linie hier. Das ist die sigma gleich 0 Linie. Und sigma gleich pi Linie liegt hier. Der Punkt tau gleich minus unendlich ist hier.

Und der Punkt tau gleich plus unendlich, der ist im Unendlichen. Und die Strings, Schnappschüsse, liegen so aus. Laufen so, also diese Linien laufen jetzt radial nach außen in diesem Bild. Und für tau gleich 1 geht es eben durch minus 1, 1 und i hier.

Tau gleich 1 ist das String hier. Hier wäre er irgendwo da. Das ist ein Bild, das nützlich ist. Und nun kann ich das noch ein bisschen verändern. Ich kann noch so eine Möbelstransformation hinterher schieben. Z-Strich ist gleich z plus minus i durch z plus i.

Sie sehen relativ sofort, das ist ja ein spezieller Wert für a, b, c und d. Diese Abbildung bildet die obere Halbebene. Der String bewegt sich ja nur in der oberen Halbebene. Also der Streifen ist hier abgebildet durch die Abbildung auf die oberen Halbebene. Die bildet die oberen Halbebene in die Einheitskreisscheibe ab. Also ein bisschen komplexe Funktionentheorie.

Jetzt sitzt der String innerhalb dieses Kreises. Z-Strich eben. Und tau gleich minus unendlich ist hier. Das war der Punkt im Ursprung, der wird jetzt hier abgebildet. Und tau gleich plus unendlich ist hier. Und die Stringschnappschüsse sehen ja so aus.

Und tau gleich 0 ist hier entlang der Achse. Hier ist der Punkt i und hier minus i. Also wir können den String verschieden parametrisieren, nachdem welche Variablen Sie wählen. Und manche von diesen Variablenwechseln ändern auch an der Form der Vertex-Operatoren nichts,

weil die eben invariant sind unter SL2-Transformationen. Also wie zum Beispiel diese hier. Okay, das werde ich nächstes Mal verwenden. Und werde Ihnen dann die Vertex-Operatoren nochmal genauer hinschreiben für angeregte Zustände. Und dann werden wir ganz konkret für den Fall n gleich 4 die Wechselwirkung ausrechnen.

Also nächstes Mal n gleich 4. Diese Situation über einen Prozess.

Und das ist vielleicht noch eine Sache, die ich sagen muss. Diese Symmetrie, diese SL2-Transformation hat seine drei Parametre geschaffen. Das heißt, Sie können die verwenden, um von diesen Punkten in der Amplitude drei Y-Werte beliebig zu verschieben.

Also Sie können drei fest nageln. Über die dürfen wir dann nicht mehr integrieren. Wir können über alle integrieren, dann haben wir zu viel. Dann haben wir über Äquivalenzklassen von Punkten integriert, die sich nur durch SL2-Transformationen unterscheiden. Und das ist nun eine endliche Menge. Die müssen wir herausfaktorisieren. Dieses wird uns das nächste Mal ein bisschen Ärger machen. Wenn wir das getan haben, dann bleiben nur noch n minus 3 Integrationen über.

Und bei n gleich 4 ist das eine Integration. Und das kann man auch verstehen. Aber im Punkteichen Limes bedeutet das, wir haben einen Propagator, über dessen Länge müssen wir integrieren. In der Feldtheorie amputiert man gerne die äußeren Beine. Das spielt keine Rolle. Die inneren Beine sind die Parameter, über die wir integrieren müssen.

Deswegen ist es n minus 3. Und das passt mit dieser Betrachtung sehr schön zusammen. Das Resultat wird sein, die berühmte Veneziano-Amplitude. Das machen Sie sogar in der Übung. 1967, 1968 glaube ich. Die Geburtsstunde der Stringtheorie.

Jetzt bin ich nach der Geburt angekommen und mache für heute Schluss. Danke.