Das zu den Variationen, bei den Variationen zähle ich, wie viele Möglichkeiten es gibt, bestimmte Reihenfolgen zu haben, das heißt immer Variation. Einmal hier Mitwiederholung und einmal bei den Permutationen hier nur die

Permutationen ohne Wiederholung, das heißt ohne Zurücklegen, alle gezogen, wäre die Permutation. Ich zähle die Reihenfolgen, in diesem Fall, wie viele Möglichkeiten es gibt, 7 verschiedene Elemente hintereinander zu legen, alle kommen vor, jedes nur einmal, die Reihenfolge wichtig, das wäre die Zahl der Permutationen.

Nun soll es weitergehen mit Kombinationen, bei Kombinationen geht es darum, wer dabei ist, wie kann ich kombinieren, Kombinationen, die Reihenfolge ist egal, es geht darum, wer dabei ist.

Beispiel 15, nehmen wir wieder 7 verschiedene Elemente in einer Urne, 2, 3, 4, 5, sie

wissen, dass da Zahlen drin stehen, was ich lesen kann, 6, 7, daraus möchte ich 3 ziehen ohne Zurücklegen, 1 ziehen, nicht Zurücklegen, den nächsten ziehen, nicht Zurücklegen, den nächsten ziehen, nicht Zurücklegen.

Und jetzt möchte ich nur wissen, wer dabei ist oder nicht, also diese 3 in einen Beutel und ich möchte nur wissen,

wer dabei ist, ist der Nummer 1, der Nummer 3 und der Nummer 4 drin und egal, in welcher Reihenfolge die gezogen werden. Der Trick in der Kombinatorik ist ja immer, sich etwas zu suchen, was man leichter abzählen kann, das kannte man ganz am Anfang, um die Mengen hier abzuzählen, gehe ich ins Binärsystem, ich kann sehr leicht zählen, wie viele Binärzahlen es mit 3 Bits gibt.

Um hier die Zahl der Möglichkeiten zu zählen, wie viele verschiedene Reihenfolgen es gibt, 3 Elemente aus 10 zu

ziehen, gegebenenfalls mehrfach, habe ich das Ganze auf 10er System abgebildet, das ist einfach zu zählen, 1000 Stück offensichtlich, hier muss man sich einen anderen Trick suchen, wie kann ich das jetzt irgendwo abbilden, was ich einfach zählen kann. Teilmengen wäre das selbe, probieren wir es mal mit Teilmengen, das selbe Problem wäre, gegeben eine 7 elementige Menge, ein Beutel mit

7 verschiedenen Sachen drin, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, geben eine Menge mit 7 Elementen, daraus möchte ich Teilmengen bilden.

Alle Teilmengen mit 3 Elementen, wie viele solche Teilmengen kann ich bilden? Wie viele 3 elementige Teilmengen kann ich aus einer Menge mit 7 Elementen bilden? Das ist dieselbe Anzahl an Möglichkeiten, wie hier oben.

Ich ziehe aus einer Urne mit 7 verschiedenen Sachen 3 ohne Zurücklegen und ignoriere die Reihenfolge, das ist das gleiche hier, stellen Sie sich vor, Sie ziehen das erste Element ihrer 3 elementigen Teilmenge aus der gesamten Menge ohne Zurücklegen, das nächste ohne Zurücklegen, das dritte ohne Zurücklegen, ist die gleiche Situation.

Plötzlich hat man Mengen und nicht mehr Uhren. Es gibt noch etwas aus dem Alltag, wo dasselbe vorkommt, die Lottozahlen. Also hier haben wir dasselbe, stellen sich vor, Lotto, 49 Kugeln, alle

verschieden, jede hat eine Zahl draufstehen und daraus ziehe ich 6 ohne Reihenfolge. Es kommt ja nicht darauf an, in welcher Reihenfolge die Lottozahlen gezogen werden. Werden die 13, 7, 4,

1, 5 gezogen oder 5, 13, 7 und wie auch immer. Danach werden sie einfach der Größe nach sortiert. Die ziehe ich ohne Reihenfolge. Wie viele Möglichkeiten gibt es 6 verschiedene Sachen aus 49 zu ziehen? Reihenfolge egal.

Da bin ich bei der Zahl der möglichen Lotto-Sechser. All das wird gleich gerechnet mathematischerseits. Aus einer Urne ziehen, ohne Zurücklegen. Es kommt nicht auf die Reihenfolge an, sondern ob etwas drin ist oder nicht. Oder Teilmengen bilden, 3 elementige Teilmengen von 7 oder 6 elementige Teilmengen von 49 elementigen Mengen oder die Situation mit den Lottozahlen.

Ich ziehe 6 aus 49 verschiedene Zahlen ohne Zurücklegen und mich interessiert nicht die Reihenfolge in der gezogen wird. Auf alle die Fragen gibt es dieselbe Antwort. Mithilfe des sogenannten oder auch

binomial Koeffizienten beim Lotto ist das dann 49 über 6 der sogenannte binomial Koeffizient. Der sieht so aus wie ein Vektor, als ob die x Komponente 49, y Komponente 6 nicht durcheinander bringen.

Hier geht es um Anzahlen. Das sieht so aus wie ein Vektor, ist aber eine ganz andere Geschichte, der binomial Koeffizient. Der zählt genau das. Wenn Sie das hinschreiben, 49 über 6, heißt das, wie viele Möglichkeiten gibt es 6 Lottozahlen aus 49 zu ziehen? Reihenfolge egal.

Wenn Sie hinschreiben, 7 über 3, so wird er dann gelesen, 49 über 6, das hier wäre 7 über 3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 elementige Teilmengen aus einer 7 elementigen Menge zu bilden? Das hier oben wäre auch 7 über 3. Das sagt der binomial Koeffizient. Das soll der ausrechnen.

Das ist kein so großes Drama, das auszurechnen. Ich bleibe beim Lotto, dann kann man es sich am leichtesten vorstellen. Ich ziehe erst einmal in fester Reihenfolge. Aber was ist, wenn ich in fester Reihenfolge ziehe?

Also nicht ganz die Lottozahlen. Ich ziehe 6 aus 49 Zahlen, aber in fester Reihenfolge. Dann haben Sie für die erste 49 Möglichkeiten, die erste Zahl, die aus der Trommel gezogen wird. Für die nächste Zahl haben Sie 48, denn ist eine weg und so weiter und so fort. Immer wieder ist eine weg, 45, 44.

Das ist noch nicht die Zahl der Lottozahlen, denn jetzt habe ich immer noch die Reihenfolge dabei. Das Problem ist, dass ich die Lottozahlen mehrfach gezählt habe.

Nämlich ich habe zum Beispiel die 13, 42, 8, 7, 6, 5. Das ist eine von diesen Ziehungen mit fester Reihenfolge.

Aber genauso ist die 8, 7, 13, 13, 42, 5, 6. Eine von diesen oder von mir aus die 5, 6, 7, 8, 13, 42 und so weiter und so fort. Alle die habe ich jeweils einzeln gezählt, wenn ich mit der festen Reihenfolge zähle.

49 Möglichkeiten für die erste Kugel, die gezogen wird. Wenn es eine 13 ist, die nächste 42 und so weiter, dann habe ich das hier oben. Wenn die erste in 8 ist, die zweite in 7 und so weiter. Ich würde alle diese unterscheiden. Es sind aber alles dieselbe Lottozahlen. Es sind immer dieselben Zahlen, die insgesamt gefallen sind.

Wenn ich die Reihenfolge vergessen will, habe ich hier zu viel gezählt. Der dritte ist, dass ich weiß, wie viel ich zu viel gezählt habe. Die Zahl der Anordnungen, 6 Fakultäts.

Auf wie viele Arten kann ich die Lottozahl 5, 6, 7, 8, 13, 42 hinschreiben? Ich könnte mit der 13 anfangen, mit der 8 anfangen und so weiter und so fort. 6 Möglichkeiten für die erste Stelle, die hinzuschreiben. Dann bleiben 5 für die zweite, 4 für die dritte und so weiter und so fort.

6 Fakultätmöglichkeiten, diese Lottozahl hinzuschreiben. Um so viel habe ich also zu viel gezählt. Das sind alle Möglichkeiten mit Reihenfolge. Ich habe aber jede Möglichkeit 6 Fakultät zu oft gezählt. Das heißt, ich weiß jetzt, was rauskommt zum Schluss. Die Zahl der Lottozahlen.

Die Zahl der Lotto-Sechser, wenn ich will. Der möglichen Lotto-Sechser. Reihenfolge egal. Ich rechne erstmal mit Reihenfolge. Auch so ein Trick aus der Kombinatorik. Ich rechne erstmal mit Reihenfolge. 49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 3.

Nein, nicht zu viel. Wollte ich 7 googeln. Erstmal mit Reihenfolge, aber dann habe ich ja zu viel. Durch 6 Fakultät. Jede Möglichkeit habe ich 6 Fakultät mal gezählt. Also teile ich durch 6 Fakultät. Das ist der Binomial-Koeffizient. 49 über 6. Und Sie sehen, wie es ansonsten weitergeht.