Wie komme ich jetzt von quadratischen Ungleichungen auf allgemeine Ungleichungen mit Polynomen, die Nummer 13? Angenommen, ich habe sowas wie 2 mal x hoch 3 minus 10x minus 6 soll sein größer als x hoch 3 minus 3x.

Eine Ungleichung mit lauter Polynomen zugekleistert, links und rechts. Das war ein Polynom, eine unbekannte in ganz zahligen nicht negativen Potenzen mit Faktoren platziert. Polynome links und rechts.

Der erste Schritt wäre wieder alles auf eine Seite zu bringen. x hoch 3 nach links zu bringen, die minus 3x nach links zu bringen. Also von beiden Seiten x hoch 3 abziehen, das macht links nur noch x hoch 3. 2x hoch 3, minus x hoch 3, nur noch x hoch 3. Minus 10x, die 3x bringe ich rüber, auf beiden Seiten 3x addieren.

Minus 3x plus 3x ist weg. Minus 10x plus 3x wären minus 7x. Die minus 6 bleiben über und auf der rechten Seite habe ich alles erledigt, bleibt die 0. Bis dahin wäre das so wie mit der quadratischen Ungleichung.

Im Prinzip kann man dann so weitermachen. Ich kann Ihnen leider erst später erzählen, was die Zwischenschritte sind. Im Prinzip geht es dann weiter mit Lückentext 14, wenn man weiß, was man tut. Man hofft, dass man das in Linearfaktoren zerlegen kann.

Dieses Polynom kann nicht komplett in Linearfaktoren zerlegen. Das habe ich mit Wolfram Alpha getan natürlich. Ich klicke x plus 2 mal x plus 1 mal x minus 3. Das ist das, was hier auf der linken Seite steht. Anders aufgefasst, weiter größer als 0.

Dieses zerlegen in Linearfaktoren ist nicht ganz so leicht. Ich müsste davon jetzt die Nullstellen suchen. Von diesem Ausdruck die Nullstellen suchen. Gleichung dritten Grad ist. Wann wird x hoch 3 minus 7x minus 6 gleich 0? Sehr eklig. Kann man im Allgemeinen aber auch dem Rechner überlassen.

Hier können Sie jetzt die Nullstellen tatsächlich ablesen. Ich würde hier die Nullstellen bestimmen. Hier sehen Sie die Nullstellen. Was wären die Nullstellen von diesem Polynom? Für welches x wird das 0? Eine davon. Minus 2, genau das ist wichtig. Minus 2. Eine Nullstelle ist minus 2.

Eine Nullstelle ist minus 1. Es gibt eine dritte Nullstelle, die ist minus 3. Plus 3. Die passen doch auf. In der Form sehen sich die Nullstellen falsch rum. Ein Polynom in Linearfaktoren zerlegt. Große Frage. Wie bestelle ich die Nullstellen?

Später. Das klappt nicht immer. Es könnte sein, dass dieses Polynom, was da auftaucht, nicht dreimal durch die Achse geht. Dieses Ding da geht anscheinend dreimal durch die Achse. Bei minus 2, bei minus 1 und bei 3. Es könnte mir passieren, dass es nur einmal durch die Achse geht. Dann wird das alles deutlich ekliger.

Aber angenommen, es ginge dreimal. Ein Polynom 3. Es ginge dreimal durch die x-Achse durch. Es hätte drei verschiedene Nullstellen. Dann könnte ich es so komplett zerlegen. Wenn nun die Frage ist, wo ist das größer Null, kann man das mit einer Tabelle lösen.

Ich hoffe, das passt da noch in den Lückentext 14 rein. Ich gucke mir einfach an, wo ist der erste negativ, wo ist der erste positiv, wo ist der zweite negativ, wo ist der zweite positiv, wo ist der dritte negativ, wo ist der dritte positiv. Wenn man gerade überlegen will, wie ich das geschickt aufschreibe, ich würde mir eine Achse malen.

Es gibt da kein festgeschriebenes Verfahren. Ich würde folgendes tun. Ich würde mir eine Achse malen und die Nullstellen einzeichnen. Eine Nullstelle ist bei x gleich 3. Eine Nullstelle ist bei x gleich minus 1. Und die dritte Nullstelle ist bei x gleich minus 2.

Da sind die Nullen. Ich will sagen, diese x-Achse können es sowieso nicht sein. Wenn ich sage, das Ding soll größer als Null sein, kann x schon mal nicht 3 und nicht minus 1, minus 2 sein. Wenn hier stünde größer gleich, dann hätte ich sogar jetzt schon drei Lösungen gefunden. x gleich 3, x gleich minus 1, x gleich minus 2.

Wenn ich fordere größer Null, sind es die drei schon mal nicht. Denn dann wird das links Null werden. Und nun kann man sich überlegen, was zwischendrin passiert. Wenn sie hier ganz links sind, jenseits der minus 2, das ist das Vorzeichen von dem hier, jenseits der minus 2. Links von der minus 2, unter minus 2.

Der wird negativ, genau. x ist so etwas wie minus 3, minus 4, minus 20. Der wird negativ. Der linke wird negativ. Dieser hier, der wird auch negativ. Minus 2 ist das Maximal plus 1, keine Chance.

Minus 2, und dann ziehen sie noch 3 ab, wird noch schlimmer. Negativ, minus mal minus mal minus. Links von der minus 2 steht minus mal minus mal minus. Das heißt, insgesamt wird es kleiner sein als Null. Minus mal minus gibt plus, mal minus gibt minus.

Links von der minus 2, ich sollte korrekt sagen, für x kleiner als minus 2, wird das Ergebnis negativ sein. Nicht größer als Null. Zwischen minus 2 und minus 1 habe ich Glück. Wenn x über minus 2 ist, wird der erste positiv.

Wenn ich bei, sagen wir, minus 1,9 bin. Minus 1,9 plus 2, 0,1. Ab der minus 2 ist der erste positiv. Der zweite ist aber leider immer noch negativ. Und der dritte ist immer noch negativ, bis ich zu minus 1 komme. Das heißt, hier habe ich so etwas wie plus minus minus. Das heißt, hier zwischen plus mal minus macht minus mal minus macht plus.

Hier zwischen habe ich in der Tat ein Resultat größer als Null. Über der minus 1 zwischen der minus 1 und der 3. Der erste, immer noch positiv. Da kann man nichts dran machen jetzt mehr. Der bleibt hier immer noch positiv. x plus 1 wird nun positiv.

Ab x gleich minus 1. Schauen Sie sich jetzt für x minus 0,9 ein. Minus 0,9 plus 1 sind Sie gerade im positiven. Ab der minus 1 wird der zweite positiv. Der dritte bleibt immer noch negativ bis zur 3. Das heißt, hier habe ich plus mal plus mal minus. Der erste Term positiv, der zweite positiv, der dritte negativ.

Hier also auch wieder das Ergebnis kleiner als Null. Nicht erfüllt. Auf der 3 ist der letzte Null. Und ab da wird er positiv. Die beiden anderen bleiben dann sowieso positiv. Hier habe ich also plus mal plus mal plus mal plus. Wunderbar. Auch hier habe ich dann nochmal, dass das Ergebnis größer ist als Null.

So können wir sich dann Term für Term überlegen, wie die Vorzeichen sind. Damit das Vorzeichen insgesamt größer ist als Null, brauchen Sie 2 oder 4 oder 6 oder keinen mit Minus. Keinen mit Minus, 2 mit Minus in diesem Fall.

Aber keine ungerade Anzahl an Minus. Und damit kann ich Lösungsmenge hinschreiben, was ein bisschen eng wird hier. Lösungsmenge hier ist also zwischen minus 1 und minus 2. Minus 2 ist kleiner x, ist kleiner minus 1.

Oder rechts von der 3. x ist größer als 3. Das wäre eine Äquivalenzumformung. Ich habe die Lösungsmenge angekündigt, da schreibe ich jetzt als Mengen. Das heißt, x ist Element. Jetzt brauche ich das Intervall von minus 2 bis minus 1.

Was für eine Klammer mache ich hier? Eine Runde oder eine eckige? Eine Runde, genau. Die minus 2 ist nicht dabei, die minus 1 ist nicht dabei. Vereint, wegen des Oder.

Vereint, mit dem Intervall ab 3 aufwärts bis unendlich. Eine schräge Schreibweise für, gib mir alle reellen Zahlen ab 3 aufwärts, aber nicht die 3 selbst. Das wäre dann die Lösungsmenge in der Schule gewesen für diese Ungleichung.

Sie sehen, dass ich das teilweise streng mache und teilweise sehr salopp mache. Wenn man dieses Argument hier ausführlich hinschreibt, hat man wirklich was zu tun. Ich denke, das ist offensichtlich, wie es gemeint ist, wenn man ein bisschen Übung drin hat. Das muss man nicht klitzeklein hinschreiben.

Fieser wird das Ganze, wenn man es nicht schafft, das Polynom komplett in Linearfaktoren zu zerlegen. Dann bleibt hier hinten vielleicht noch ein Term oder mehrere bleiben noch mit x². Dann müssten Sie die Fallunterscheidung für x² bla bla bla machen, wie die quadratische Ungleichung.

Ist das positiv, ist das negativ? Das wird sehr unschön. Sag ich so, das wird gar nicht unschön. Das machen wir gerade so ein, das habt ihr im Skript gar nicht vorgesehen. Nur zieht es am Rande, im Skript gibt es das nicht.

Stellen Sie sich vor, es bliebe Folgendes über. x plus 2 und jetzt ein quadratisches Polynom ohne Nullstellen. x² minus 2x.

Das garantiert keine Nullstelle kriegt. Irgendwelche Vorschläge? Was schreibe ich hin, dass dieses Polynom da hinten das Quadratische garantiert keine Nullstelle kriegt. Wann versagt die PQ-Formel?

Ein sehr großes Q. Addieren, damit in der PQ-Formel eine große Zahl abgezogen wird unter der Wurzel. Also wenn Sie hier schreiben plus 100, wird unter der Wurzel in der PQ-Formel ein Unsinn passieren.

Also mit der plus 100 hier kann ich garantiert erreichen, dass die PQ-Formel ein Problem kriegt. Es ginge auch mit weniger. Und nun die Frage, wo ich eben gesagt habe, das sei so eklig.

Es ist ja gar nicht eklig, fällt mir gerade auf. Das soll größer als Null sein. Jetzt gucke ich mir die Vorzeichen an. Dieses ist größer als Null für x größer als was?

Größer als minus 2, ja. Und es ist kleiner als Null für x kleiner als minus 2. Also das Vorzeichen von den ersten Termen kriege ich gut hin. Was halten Sie von dem Vorzeichen von dem Term? Wann ist dieser Term positiv, wann ist er negativ? Er ist immer positiv. Das ist ja netterweise eine nach oben geöffnete Parabel und sie hat keine Nullstellen.

Eine nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen. Der ist immer positiv. Das ist ja viel einfacher als ich gerade eben behauptet habe. Der ist immer positiv. Das heißt, in diesem Fall kann ich die Lösungsmenge noch viel billiger haben. Das heißt, der gesamte Ausdruck links ist größer als Null, wenn x größer als minus 2 ist.

Wenn der erste positiv ist, denn der zweite ist sowieso immer positiv. Also auf den Fall kriegen Sie dann locker geregelt. Gegeben ein Polynom zerlege man das so weit wie möglich in Linearfaktoren.

Wenn man Pech hat, bleiben quadratische über, vielleicht auch mehrere quadratische, ohne Nullstellen. Aber quadratische Ausdrücke ohne Nullstellen sind ja billig. Die sind entweder immer größer Null oder immer kleiner Null.