Nach den Vektorräumen nun zu den euklidischen Vektorräumen. Euklidische Räume, das sind Räume, in denen Längen und Winkel messbar sind. Also das sind Räume, die unsere natürliche Vorstellung von dem Raum, der uns umgibt, fortgeführt werden und so zum Beispiel auch Flächen und

Volumina messbar sind. Um euklidische Vektorräume ordentlich zu definieren, braucht man ein Skalarprodukt. Ich möchte hier das Standardskalarprodukt einführen und das ist eine Abbildung und zwar vom R hoch N mal dem R hoch N hinunter nach R. Das heißt wir nehmen zwei Vektoren

und ordnen denen ein Skalar zu, ein Element in R. Und genauer machen wir das hier so, wenn unsere Elemente x und y sind beides Spalten Vektoren der

Länge N, dann ist das Standardskalarprodukt von x und y gleich den Produkt von x1, y1 plus dem Produkt von x2, y2 und so weiter bis zum

Produkt von xn, yn. Oder kurz geschrieben, das ist die Summe j gleich 1 bis n von xj mal yj. Wir bilden also immer die Produkte entsprechender Komponenten und summieren die auf. Man kann das ein

als Spalten Vektor angegeben. Dann machen wir daraus mal eine Zeile, dazu sagt man dann auch x transponiert. Das wäre dann x1 bis xn, ein N-Tupel, also eine

Zeile. Und das ist insbesondere auch eine 1 Kreuz n Matrix. Und dann können wir das Skalarprodukt von x und y auch schreiben als das Matrixprodukt von x

transponiert mal y. Also machen wir ein Beispiel, gehen wir in den R3, das Skalarprodukt des Vektors 3, 1, 1 mit dem Vektor 1 minus 2, 1. Das ist 3 mal 1 plus 1 mal minus 2 plus 1 mal 1. Das ist also 3 minus 2 plus 1, das ist

2. Skalarprodukte auf dem R hoch N haben ganz bestechende Eigenschaften und ich

zeige Ihnen die hier für das Standard Skalarprodukt. Zunächst mal gilt für Vektoren x und y, dass das Skalarprodukt von x und y gleich dem von y und x ist. Das heißt, das Skalarprodukt ist symmetrisch in seinen Komponenten.

Vertausche ich sie, bleiben die Werte dieselben. Das können wir ganz einfach nachrechnen. Wir schreiben die Definition des Skalarproduktes von x und y aus. Das ist die Summe j gleich 1 bis n von xj mal yj. Jetzt benutzen wir,

dass diese xj und yj die Komponenten der Vektoren reelle Zahlen sind und die reellen Zahlen sind kommutativ. Das heißt, ich kann hier die Multiplikationsreihenfolge vertauschen. Das ist dasselbe wie wenn

ich yj mal xj nehme. Und da sehen Sie, steht nichts anderes als die Definition des Skalarproduktes von y mit x. Weiter gilt jetzt nicht nur für x- und y- Vektoren, sondern ebenso z an einem Vektor aus dem R hoch N. Das folgende,

das nennt sich dann die Linearität in der ersten Komponente des Skalarproduktes. Nämlich, dass das Skalarprodukt einer Summe x plus y mit z gleich der Summe der Skalarprodukte x mit z und y mit z ist. Sowie wenn ich

in der ersten Komponente mit einer Zahl lambda multipliziere, dann ist das Skalarprodukt von lambda x mit y gleich lambda mal dem Skalarprodukt von x mit y. Auch das können wir beides leicht nachrechnen. Fangen wir mit der Summe im

ersten Argument an. Also betrachten wir das Skalarprodukt von x plus y mit z. Das ist nach Definition die Summe über xj plus yj mal zj.

J gleich 1 bis N. Und hier benutze ich, dass ich das zum einen mal distributiv ausmultiplizieren kann. Das heißt hier steht xj zj plus yj zj. Also auch hier benutze ich wieder die Eigenschaften der reellen Zahlen und

dass alle diese Komponenten reelle Zahlen sind. Weiter gilt aber auch, dass die Addition assoziativ und kommutativ ist. Das heißt ich kann diese Summen hier in der Reihenfolge vertauschen.

Hier steht einmal die Summe j gleich 1 bis N xj zj und dann noch die Summe über die yj zj gleich 1 bis N. Wieder sehen sie hier steht jetzt die

und y mit z. Nun wollen wir auch noch diese zweite Eigenschaft zeigen. Wenn lambda eine Zahl ist und x und y Vektoren, dann ist das Skalarprodukt lambda x plus y. Die Summe j gleich 1 bis N lambda xj mal yj und die

auf den reellen Zahlen ist assoziativ. Das heißt ich kann hier die Klammern gleich weglassen. Weiter ist Addition und Multiplikation durch das

Distributivgesetz verbunden und das heißt ich kann hier aus all diesen Summanden den Faktor lambda ausklammern. Hier steht lambda mal die

und das ist wiederum nichts anderes als lambda mal das Skalarprodukt von x und y. Somit haben wir auch die Linearität nachgerechnet und jetzt folgt noch die sogenannte positive Definite. Das heißt dass das Skalarprodukt eines Vektors x mit sich selbst immer größer gleich Null ist und es ist

genau dann gleich Null wenn auch x schon gleich Null ist. Berechnen wir also zunächst mal x,x. Das ist die Summe j gleich 1 bis N von xj mal xj, das ist

xj² und diese xj² die sind immer größer oder gleich Null. Quadrate können nie negativ sein und nun summiere ich N Zahlen auf die alle größer gleich Null sind und dann ist auch das Ergebnis größer gleich Null.

Schauen wir uns jetzt den Fall an dass wir hier genau Null haben, dass also Null gleich dem Skalarprodukt von x mit sich selbst ist. Das heißt Null ist gleich der Summe j gleich 1 bis N über die xj². Wieder hier sind alle

Summanden größer oder gleich Null und wann kann diese Summe überhaupt gleich Null werden? Nun dann und nur dann wenn alle Summanden gleich Null sind für j gleich 1 bis N. Das heißt alle xj² sind gleich Null und das heißt

wiederum dass alle xj gleich Null sind für j gleich 1 bis N und das heißt dass x der Nullvektor ist. Das sind die Eigenschaften des Skalarproduktes. Ich

möchte noch eine hinzufügen. Ich habe hier die Linearität erstmal nur in der ersten Komponente betrachtet aber zusammen mit der Symmetrie wissen wir auch das Skalarprodukt ist auch linear in der zweiten Komponente. Das heißt es

gilt auch x,lambda y gleich lambda xy für alle x und y aus dem R hoch N und alle Zahlen lambda aus R und es gilt auch x,y plus z gleich Skalarprodukt von xy plus das Skalarprodukt von xz für alle x,y

und z aus dem R hoch N. Und diese Linearität die wir nun in beiden Komponenten haben das nennt man dann Bilinearität.