Ich erkläre Ihnen hier, wie Determinanten von quadratischen Matrizen definiert sind. Determinanten sind für Sie deshalb so interessant, weil man an ihnen ablesen kann, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Eine quadratische Matrix ist nämlich genau dann invertierbar, wenn Ihre Determinante

ungleich Null ist. Also wir können ja sowieso nur quadratische Matrizen invertieren und der Determinantenbegriff, der ist ganz einfach gekoppelt an quadratische Matrizen. Also von der Determinante eine Matrix von M Kreuz N zu sprechen, wenn M ungleich N

ist, ist absolut sinnlos. So, um die Determinante nun zu definieren, gehen wir schrittweise vor. Also zum einen kann man sich so eine Determinante auch vorstellen als Abbildung der N Kreuz N Matrizen in den Grundkörper. Und als erstes sagen wir, wie die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix definiert ist.

Also noch mal zur Erinnerung, eine obere Dreiecksmatrix, das ist eine, bei der eben unterhalb dieser Diagonalen nur noch Nuller stehen. Und die Determinante von so einer Dreiecksmatrix, das ist dann einfach das Produkt Ihrer

Diagonalglieder, also dA gleich d11 mal d22 etc. etc. mal dNN. Also Beispiel, was ist die Determinante der Matrix 1, 2, 3, 0, 4, 5, 0, 0, 6?

Das ist einfach 1 mal 4 mal 6, also 24. So, und im nächsten Schritt gibt man dann an, wie verändern elementare Zeilenumformungen die Determinante. Nun, wir haben diese drei elementaren Zeilenumformungen, das heißt die Multiplikation einer Zeile

mit einer Zahl, ja normalerweise ist die ungleich Null für eine elementare Zeilenumformung, die soll die Determinante mit dieser Zahl lambda multiplizieren.

Also multipliziere ich eine Zeile mit einer Zahl, dann multipliziere ich auch die Determinante mit dieser Zahl. Die nächste elementare Zeilenumformung ist die Addition eines Vielfaches einer Spalte

zu einer anderen. Das verändert die Determinante gar nicht. Und unsere dritte elementare Zeilenumformung ist das Vertauschen zweier Zeilen.

Das versieht die Determinante mit einem Vorzeichen, das heißt man multipliziert die mit minus eins.

Und ich behaupte, dadurch ist die Determinante für jede N-Kreuz-N-Matrix eindeutig festgelegt. Nun, warum ist es so? Ja, man kann so eine beliebige N-Kreuz-N-Matrix ja durch elementare Zeilenumformungen auf

Stufenform bringen. Man bringt A durch elementare Zeilenumformungen Stufenform.

Und weil A eben quadratisch, kann ich diese Stufenform sogar so weit führen,

dass diese Stufenform eine obere Dreiecksmatrix ist.

Und von dieser oberen Dreiecksmatrix kann ich die Determinante berechnen. Sagen wir mal, diese obere Dreiecksmatrix, die dann da zu A gehört, sei A-Schlange.

So, und dann kann ich bestimmen, wie sich diese Determinante verändert. Das heißt, wenn ich irgendwann bei A-Schlange ankomme, dann bin ich von A losgegangen und

habe vielleicht einige Male eine Zeile mit einer Zahl multipliziert. Das heißt, es gibt solche Zahlen lambda 1, sagen wir lambda t, die zu elementaren

Zeilenumformungen von diesem Typ Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl, das war Typ 1, ist. Dann gibt es auch noch einige, sagen wir K-Stück, die wären dann vom Typ 3.

Vertauschung von zwei Zeilen miteinander. Und dann gibt es noch die elementaren Zeilenumformungen, wo ich das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addiere, die ändern die Determinante gar nicht.

Das heißt, die Determinante von A-Schlange steht zu der Determinante A, so in Beziehung zu der Determinante A, dass es irgendwie, die Determinante von A ist mal ein Produkt von gewissen Zahlen, die ungleich Null sind, wenn ich wirklich eine elementare Zeilenumformung

durchgeführt habe, und irgendwie ein minus eins hoch K, wenn ich K mal eine Zeile mit einer anderen vertauscht habe. Und das heißt, diese lambda j sind alle ungleich Null, und demnach ist die Determinante von A gleich, ja das minus eins hoch K multipliziere ich rüber, ich teile durch

lambda eins bis lambda t und habe dann noch meine Determinante von A-Schlange. Und die da, die kann ich berechnen. Nämlich einfach, das ist eine Diagonalmatrix, das Produkt ihrer Diagonalglieder.

Das können wir ja mal einem Beispiel machen. Also, nochmal ein ganz kleines. Wenn wir die Determinante von null eins zwei drei berechnen wollen, dann formen wir

das erst um, indem wir das hier umdrehen. Dann steht da zwei drei null eins, und davon ist die Determinante zwei mal eins, das ist zwei, also ist die Determinante von null eins zwei drei gleich minus eins

für diese Vertauschung mal zwei, also minus zwei.