separierbare Differentialgleichungen, das sind solche, wo sich die Abhängigkeit der Funktionsvariablen x abscheiden lässt als Faktor von der übrigen Abhängigkeit der Differentialgleichung in y, sprich Differentialgleichungen dieser Form. So und jetzt machen wir das streng mathematisch.

Wir nehmen also Intervalle i und j und Funktionen f auf i und g auf j und das seien stetige Funktionen und dann betrachten wir Differentialgleichungen der Form y Strich gleich f von x mal g von y und die heißen dann eben

separierbar auf dem kathetischen Produkt von i mit j und ein Anfangswert das ist dann die Vorgabe eines Wertes der Funktion y im Punkt x 0 also die Vorgabe eines Wertes y 0 in j zu einem x 0 in i und wenn wir nun eine

Funktion phi finden die differenzierbar ist und definiert auf einem Teilintervall i Strich von i so dass die Werte in j liegen dann nennen wir so

eine Funktion eine Lösung der Differentialgleichung wenn sie diese erfüllt sprich setzen wir in diese Differentialgleichung phi ein dann muss sie erfüllt sein und zwar für alle x aus dem Definitionsbereich der Funktion phi Strich gilt dann auch noch dass y 0 gleich phi von x 0 ist dann ist phi eine

Lösung des Anfangswertproblems y Strich gleich f von x mal ja hier müsste eigentlich wieder g von y stehen zu y von x 0 gleich y 0 also

zum Beispiel ist die Differentialgleichung y Strich gleich x Quadrat mal y Quadrat eine separierbare Differentialgleichung mit f von x gleich

x Quadrat und g von y gleich y Quadrat oder die Differentialgleichung y Strich gleich y minus y Quadrat auch die ist separierbar denn da sehen wir

hier gar keine Abhängigkeit von x das heißt wir können f von x konstant einsetzen und g von y ehemals y minus y Quadrat nehmen hingegen ist y Strich gleich y Quadrat plus x Quadrat keine separierbare

Differentialgleichung denn wir können dieses x Quadrat nur als Summand abspalten aber eben nicht als Faktor wir finden keine zwei solchen

Funktionen so dass f von x mal g von y y Quadrat plus x Quadrat wäre die Lösungsidee bei separierbaren Anfangswertproblemen ist es

Stammfunktionen anzugeben also nehmen wir so ein separierbares Anfangswertproblem y Strich gleich f von x g von y mit Anfangswert y von x 0 gleich y 0 und wir wollen auch noch annehmen dass diese Funktion g im

Anfangswert von 0 verschieden ist also insbesondere heißt es wir nehmen Funktionen f auf i und g auf j stetig und natürlich muss unser Anfangszeitpunkt x 0 in i liegen dann ist die Aussage dieses Anfangswertproblem besitzt eine

eindeutige Lösung phi jedenfalls auf einem Teilintervall i Strich von i und genauer gesagt erfüllt diese Lösung viel das folgende und mit dem gibt man eigentlich ein Konstruktionsverfahren hier für die Lösung an das heißt wir

nehmen erst mal eine Stammfunktion von f die wir dadurch festlegen dass f vom Zeitpunkt x 0 gleich 0 ist und das heißt diese Stammfunktion groß f von x die ist gegeben als das Integral f von t dt mit den Grenzen x 0 bis x

und dann nehmen wir ein Teilintervall j Strich von j das zum einen y 0 enthält und in dem g keine Nullstelle hat und dann definieren wir groß h als die Stammfunktion auf diesem Intervall j Strich der Funktion 1 durch g

dadurch eindeutig festgelegt dass wir fordern dass h von y 0 gleich 0 ist das heißt h von y ist das Integral von 1 durch g von s ds in den Grenzen von y 0 bis y also beachten sie f und g das sind beide stetige Funktionen

demnach existiert diese Stammfunktion hier und wir haben genau so ein Intervall j Strich genommen auf dem auch 1 durch g definiert ist und

damit dann auch stetig und dann existiert auch diese Stammfunktion hier so und mit diesen beiden Stammfunktionen gilt nun das folgende dass auf einem Teilintervall i Strich gilt dass h verkettet mit phi gleich f

ist und diese Funktion h die wir so definiert haben da kann man zeigen die Umkehrfunktion h hoch minus 1 und das heißt mit dieser Umkehrfunktion haben wir dann eine explizite Darstellung von der Lösung phi gegeben als phi von x

ist h hoch minus 1 von f von x machen wir dazu am besten erst mal ein Beispiel sagen wir wir nehmen die Differential Gleichung y Strich gleich x Quadrat y Quadrat und als Anfangswert wollen wir y von 1 gleich 1 haben das

heißt x 0 ist 1 und in dem Fall ist es auch gleich y 0 das heißt unsere Funktion f von x das ist x Quadrat und unsere Funktion g von y das ist y

Quadrat und der Satz sagt wir sollen groß f von x nehmen als das Integral von x 0 bis x von f von t dt also das Integral von 1 bis x von t Quadrat

dt und das ist ein Drittel x hoch 3 minus 1 und die Funktion h von y die sollen

wir definieren als das Integral von y 0 bis y von ds durch g von s also als Integral von 1 bis y ds durch s Quadrat das ist gerade minus 1 durch y plus 1

und jetzt müssen wir um 4 anzugeben diese Gleichung h von phi von x gleich f von x lösen dann formen wir die doch einfach mal um das heißt ausgeschrieben

wenn wir in h phi von x einsetzen minus 1 durch phi von x plus 1 das muss gleich f von x sein also ein Drittel x hoch 3 minus 1 und dann werfen wir das auf die

andere Seite und multiplizieren mit minus 1 durch dann steht der 1 durch phi von x ist gleich ein Drittel mal 4 minus x hoch 3 und das ist gleich bedeutend dazu das

phi von x gleich 3 durch 4 minus x hoch 3 ist ja ich habe hier einfach Equivalenzen geschrieben ohne mich um Nullstellen von phi zu kümmern die muss

ich jetzt natürlich ausschließen also das maximale Intervall das den Anfangswert x null gleich eins enthält und auf dem wie auch wirklich wohl definiert ist

was ist das nun eins muss drin sein hier die einzige reelle Nullstelle die diese

Nenner hat das ist die dritte Wurzel aus vier die ist größer als eins also ist die gleiche Minus unendlich bis dritter Wurzel aus vier ausgeschlossen und auf

diesem Intervall ist nun viel wohl definiert und erfüllt die Differential Gleichung außerdem gilt viel von eins das ist drei durch vier minus eins also eins ist

auch der Anfangswert erfüllt das heißt i in diesem Fall dieses gleich ist Strich ist die das maximale Lösungsintervall auf dem wie eine Lösung des Anfangswert

Problems oder der Anfangswert Aufgabe ist und nun wollen wir den Satz zu dem

separierbaren Anfangswert Problem auch beweisen das geht in drei Schritten zunächst möchte ich diese Identität für die Funktionen Groß H, Phi und Groß F nachprüfen und dazu nehme ich erst mal an dass Phi eine Lösung ist des Anfangswert Problems

das wir da betrachten denn dann gilt nämlich für alle x aus dem Intervall i Strich auf dem das eben eine Lösung ist das Phi Strich von x gleich f von x mal

g von Phi von x ist aber von dem g nehmen wir ja gerade an dass es keine Nullstellen hat auf dem Bildbereich von Phi das heißt ich kann dadurch teilen und das heißt

nun dass ich die Funktion groß f von x also die Stammfunktion von f ja auch berechnen kann indem ich dieses Teil rechts integriere und da kann ich nun schauen sie sich

das an die Substitutionsregel anwenden und finde dass das gleich das Integral von

y bis Phi von x ist von neue Variable ds durch g von s ja und das ist nach Definition von h genau h von Phi von x das ist also die Gleichung die wir hier

brauchen nun zur Existenz der Lösung also ich nehme ja j strich so dass eins durch

g darauf keine Nullstellen hat also auch kein Vorzeichenwechsel und schließlich

ist g eine stetige Funktion und wenn g keine Nullstellen hat also auch eins durch g kann ja sowieso keine Nullstellen haben dann kann es das Vorzeichen nicht wechseln und das heißt nun dass die Funktion hier die Stammfunktion von g monoton oder von eins

durch g monoton ist und sogar streng monoton die Stammfunktion von eins durch g das ist h und weil es eine Stammfunktion ist ist es auch stetig so eine stetige

streng monotone Funktion ist umkehrbar auf seinem Bild das heißt wir definieren

jetzt Phi als h hoch minus eins von f von x und dann haben wir die Anfangswertbedingungen

erfüllt das ist nämlich Phi von x Null gleich h hoch minus eins von f von x Null f von x Null ist aber so gemacht dass das Null ist und h ist so gemacht dass es in y Null den Wert

Null annimmt also ist h hoch minus eins von Null y Null und die Anfangswertbedingungen haben wir überprüft müssen wir also noch die Differential Gleichung überprüfen was ist Phi Strich von x nun das berechnen wir erstmal mit der Kettenregel da ist das

also h hoch minus eins Strich ausgewertet in f von x mal der Ableitung von f in x und jetzt müssen wir die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion anwenden

und die sagt uns das ist eins durch die Ableitung von h selbst ausgewertet in h hoch minus eins von f von x mal ja dieses f Strich von x das ist klein f von x und das können

wir noch weiter zusammenfassen was ist h hoch minus eins von f von x nun das ist

f von x und h Strich weil h die Stammfunktion von eins durch g war ist h Strich wieder eins durch g und in dem Fall ausgewertet von in Phi also ist das eins durch eins

durch g also g von Phi von x mal f von x und das ist die Differential Gleichung die das erfüllen muss also haben wir jetzt die Existenz der Lösung gezeigt und jetzt

müssen wir noch zeigen dass sie eindeutig ist ja aber das wissen wir eigentlich schon die Lösung Phi die erfüllt h von Phi von x gleich f von x und weil eben h umkehrbar

ist kann nur eine Funktion Phi diese Gleichung erfüllen ich möchte noch zwei kurze

die eine ist dass man das maximale Existenz Intervall dieser Lösung aus dem Theorien

oder aus dem Beweis konstruieren könnte man kann es aber auch einfach im Nachhinein bestimmen das heißt man schaut sich die Lösung die man gefunden hat retrospektiv an und schaut was ist das maximale Intervall so dass diese Funktion auch wirklich das

Problem erfüllt also genauso wie wir das in dem Beispiel das wir gesehen haben gemacht haben und die zweite Bemerkung die ich noch machen möchte ist die folgende wir haben ja in dem Satz ausgeschlossen dass g am Anfangswert null ist und ja wie bekommen wir da eine

Lösung des Anfangswertproblems ganz einfach dadurch ist eine konstante Funktion ist eine Lösung nämlich wir setzen Phi einfach gleich konstant y das ist eine Lösung die ist im allgemeinen aber nicht eindeutig also es gibt oft weitere Lösungen man kann aber

zeigen wenn g sogar differenzierbar ist nix null dann ist diese konstante Lösung auch wirklich die einzige Lösung des Anfangswertproblems mit dieser Beschränkung dass g von y null gleich null ist