Wir kommen nun zum Resultat über die lokale Umkehrbarkeit von Funktionen in mehreren Variablen, die stetig differenzierbar sind. Bevor ich zu diesem Satz hier komme, möchte ich mal an den eindimensionalen Fall erinnern. Da kennen Sie das Resultat, das hier für

beliebige Dimensionen steht bereits. Also wir nehmen eine Funktion f von R nach R, die stetig differenzierbar sein soll. Deswegen brauchen Sie auch nur hier eine Teilmenge von R, aber das ist momentan nicht so wichtig. Und wir nehmen an, dass in einem

Punkt A die Ableitung nicht Null ist. Ja, dann wissen wir, dass f' von x ebenfalls

Null ist. Jetzt nicht auf ganz R, aber für x aus einer Umgebung U von A, also einem

kleinen Intervall um A. Und woran liegt das? Nun, das liegt an der Stetigkeit der Ableitung f'. Das heißt, wenn wir uns nur ein kleines bisschen von A wegbewegen, dann muss die

Ableitung immer noch ungleich Null sein. Und damit ist die Funktion f, die wir nun auf U einschränken, das ist eine Funktion dann von U auf ihr Bild, die ist streng monoton und stetig differenzierbar. Daraus ziehen wir ja gerade die strenge Monotonie,

denn die Ableitung kann ihr Vorzeichen nicht wechseln, also muss die Funktion monoton sein. Und solche Funktionen sind umkehrbar. Und f hoch minus eins, das ist dann von f

von U nach U definiert, diese Umkehrabbildung, die ist ebenfalls stetig differenzierbar.

Und wir haben eine Formel für die Ableitung, nämlich f hoch minus eins Strich an der Stelle y, das ist eins durch f Strich an der Stelle f hoch minus eins von y. So

ein ähnliches Resultat haben wir eben auch in mehreren Dimensionen. Und jetzt schauen wir uns an. Wir fordern hier in der Voraussetzung, dass die Ableitung f ungleich Null ist,

nämlich weil wir durch sie teilen wollen. So ein Durchteilen, das geht natürlich in mehreren Dimensionen nicht mehr so gut. Da ist die Ableitung eine Matrix. Und damit so etwas Sinn macht, muss die Matrix nicht nur ungleich Null sein, sondern sie muss

sogar invertierbar sein. Und damit wissen wir eigentlich schon, was wir hier voraussetzen müssen. Also wir nehmen eine Funktion f auf einer offenen Teilmenge M, das R hoch N, mit Werten in den R hoch N und die sei stetig differenzierbar, wie im

Punkt A invertierbar ist. Und dann wissen wir, es gibt eine offene Teilmenge U von M, die natürlich A enthält. Und es gibt eine offene Teilmenge V des Bildes der

Abbildung, die das Bild f von A von A enthält. So dass eben die Einschränkung von f auf U mit Werten in V eine biaktive Abbildung ist, mit invertierbarer Jacobi-Matrix für alle x

aus U. Und derart, dass die Umkehr-Abbildung wiederum stetig differenzierbar ist. Und die Ableitung der Umkehr-Abbildung im Punkt Y ist dann eben gegeben als die inverse Matrix der

Jacobi-Matrix von F im Punkt G von Y. Da können wir natürlich auch das Spiel umkehren. Wir können sagen, dass die Jacobi-Matrix von G im Punkt F von X das inverse der Jacobi-Matrix von F an der

Stelle X ist. Bleibt eigentlich nur noch zu sagen, dass wir durch diesen Satz eben die lokale Umkehrbarkeit einer Funktion sicherstellen, wenn diese Funktion glatt genug ist, also gut genüge Eigenschaften hat. Aber dass die Funktion global umkehrbar sein sollte, also dass f hoch

minus eins auf dem gesamten Bild von f existieren sollte, das ist sehr unwahrscheinlich. Das

Funktion ist nicht zu erwarten. Machen wir ein Beispiel zu der lokalen Umkehrbarkeit. Wir

nehmen eine Funktion vom R2 in den R2. Einfach xy wird abgebildet auf x cosy x siny. Ja, wir sehen, beide Komponenten dieser Funktion sind stetig differenzierbar. Also ist das auch

die Funktion selbst? Und was ist dann die Jacobi-Matrix, die F an der Stelle xy?

Okay, ableiten. Also erst nach x, das gibt cosy, siny und nun noch nach y, das gibt minus x siny und x cosy. Um zu sehen, wann so eine Matrix invertierbar ist,

betrachtet man die Determinante. Die ist für zwei Kreuz zwei Matrizen einfach das da mal das da,

das da mal das da. Das ist also x mal cosy minus x siny, also cosy plus siny gleich eins,

das ist x und das ist ungleich Null für, naja, x ungleich Null. Das heißt unsere Jacobi-Matrix hier, die ist invertierbar in allen xy, für den ich gerade die erste

Komponente x gleich Null ist. Gut, ja und jetzt nehmen wir eben irgendein Punkt ab aus dem R2

mit a ungleich Null, aber ansonsten beliebig und dann sagt uns der Satz über die lokale Umkehrbarkeit. Es existiert eine offene Menge U im R2, sodass a, b in U enthalten ist und

eine lokale Umkehrfunktion G von F von U, also von Bild dieser Menge U zurück nach U und deren

Ableitung D, G an der Stelle F von a, b. Das ist D, F an der Stelle a, b, Invers. So und jetzt müssen wir diese

Matrix hier invertieren und in a, b auswerten. Nun, wir kennen eine ganz einfache Formel für die

seiner Zwei-Kreuz-Zwei-Matrix. Wir müssen erstmal durch die Determinante teilen, das war x, in a, b ist das also eins durch a und dann vertauschen wir diese beiden Komponenten und versehen diese

beiden mit einem Vorzeichen. Dann kriegen wir also a Cosb und Cosb und hier kriegen wir a Sinb und Sinb. Aber wir sehen hier, dass F ganz bestimmt keine globale Umkehrfunktion

besitzt, denn F ist nicht injektiv, also erst recht nicht bijektiv, weil F von x, y, das ist gleich F von x und y,

wobei ich zu y noch ein Vielfaches von zwei Pi hinzuzählen kann. Also zwei Pi K mit K aus Z. Beliebig.