Was Sie oft brauchen werden, das ist das Differential der Euclidischen Norm. Ich habe Ihnen hier nochmal den Funktionsterm hingeschrieben und was wir sofort sehen, ist wenn x ungleich Null ist, so ist die Norm partiell differenzierbar in x, nämlich

was finden wir für beliebiges K von 1 bis N? Die Richtungsableitung in Richtung eK von

der Norm ausgewertet in x, das ist also nur die partielle Ableitung nach xK von der Wurzel aus x1² plus plus plus xN². Fassen wir das als Funktion von xK allein auf, dann kriegen wir

als Ableitung hier einmal die 1 durch 2 mal die Wurzel aus x1² plus plus plus xN² und da kommt

noch die innere Ableitung dazu, das ist 2xK. Die 2 können wir rauskürzen und dann steht da xK durch die Norm von x und demnach können wir die Jacobi-Matrix angeben. D von der Zwei-Norm,

das ist ja nichts anderes als d1 von x in der Zwei-Norm bis dN von x in der Zwei-Norm.

Das ist also, wir kriegen immer den Faktor 1 durch die Norm, das können wir also rausziehen und dann haben wir hier einfach nur x1 bis xN. Ja und wie sieht das in x gleich null aus? Da

ist die Norm nicht partiell differenzierbar, denn schauen wir uns einfach mal an den

differenzen Quotienten, den wir dazu betrachten müssen. Der ist ja die Funktion im Punkt null plus t mal Ek minus die Funktion in dem Punkt, in dem wir es betrachten, also

durch t und das ist die Würzel aus t² minus null durch t, also t-Betrag durch t. Und ja,

der Liemes hier von diesem differenzen Quotienten für t gegen null, der existiert nicht, denn wenn wir t positiv wählen und gegen null gehen lassen, dann ist das gleich plus eins,

wenn wir t negativ und lassen es gegen null gehen, dann kriegen wir minus eins. Das sind zwei verschiedene Werte, die nicht übereinstimmen. Für Funktionen vom R hoch N speziell nach R,

also solche mit M gleich eins, hat man, wenn sie denn partiell differenzierbar sind, noch einen weiteren kleinen Begriff, nämlich den des Gradienten. Der wird hier mit so einem Nabler-Zeichen bezeichnet. Nabler F von A. Das ist nichts anderes als die transponierte

der Jacobi-Matrix, also die transponierte des Differentials. Und ja, weil wir wissen, das Differential hier, die Jacobi-Matrix, das ist eine 1-Kreuz-N-Matrix, so erhalten wir als

Gradienten immer einen Vektor der Länge N. Und machen wir ruhig ein Beispiel. Also was ist der Gradient von der Norm? Das ist, wir hatten gerade gesehen, das gibt x transponiert

durch die Norm selbst und das müssen wir wiederum transponieren. Das ist also einfach nur x durch Norm x.