In den reellen Zahlen konnten wir sagen, was wir unter Konvergenz verstehen, sobald wir einen Abstandsbegriff hatten. Und den Abstandsbegriff, den haben wir da über den Betrag gewonnen und so gewinnen wir ihn jetzt im R hoch n über die Norm. Das heißt, wir sagen, die Distanz von x zu y, die sei uns gegeben durch die Norm

von der Differenz x minus y. Das ist natürlich gleich der Distanz von y zu x, weil wir hier das Argument in der Norm mit minus eins durchmultiplizieren können.

Gut, und dann sagen wir nun zunächst mal, was konvergieren soll, also was ist eine Folge. Nun, das ist wieder eine Abbildung in dem Fall von den natürlichen Zahlen in den R hoch n. Jetzt haben wir die Frühe immer mit x, k bezeichnet, das ist jetzt natürlich ein

bisschen ungünstig, weil wir schon die Komponenten von so einem Vektor x immer mit x, index, k bezeichnen für k gleich 1 bis n. Deswegen schreibe ich jetzt hier die Nummerierung der Folgeglieder immer nach oben, dann habe ich das unten immer noch frei hier für die Indizes der Vektorkomponenten.

Und die einzelnen Komponenten x, i, k, die bilden dann wieder, wenn wir k laufen lassen, reelle Folgen. So, und wann heißt nun eine Folge im R hoch n konvergent gegen einen Grenzwert

a bezüglich erstmal einer festen Norm? Nun dann, wenn der Liemes k gegen unendlich von der Norm x, k minus a gleich 0 ist. Also die Norm von x, k minus a, das ist ja eine reelle Zahl für alle k.

Und Konvergenz von reellen Zahlen, die kennen wir bereits gut. Wenn die Folge nicht konvergiert, dann heißt sie divergent.

Machen wir vielleicht als allererstes noch hier ein Beispiel. Nehmen wir eine Folge im R3, gegeben durch 2, 1 plus 1 durch k und minus 1 durch k²,

das läuft hier für k aus n. So, ich möchte zeigen, dass diese Folge konvergiert, und zwar gegen 2, 1, 0 und

Zunächst mal benutze ich dabei die Euclidische Norm. Das heißt, ich sage, diese Folge konvergiert bezüglich der Euclidischen Norm gegen 2, 1, 0. Nun, wenn wir einen Grenzwert schon kennen, dann können wir das einfach mal ausprobieren.

Was ist denn der Liemes von dieser Norm, von dem Kartenfolgeglied? Weniger den angenommenen Grenzwert. Das ist gleich der Liemes K gegen unendlich von 0, 1 durch k und minus 1 durch k².

Und das ist gleich dem Liemes, jetzt rechne ich diese Norm wirklich aus,

das ist die Wurzel aus den Quadraten der einzelnen Komponenten. Also Wurzel aus 1 durch k² plus 1 durch k hoch 4. Und ja, da benutzen wir die Stetigkeit der Wurzel und wenden unsere Grenzwertsätze an,

um zu sagen, das hier geht gegen 0, das hier geht gegen 0. Dann geht die Wurzel auch gegen die Wurzel aus 0, also ist der Grenzwert hier 0.

Und demnach konvergiert diese Folge gegen 2, 1, 0. Jetzt habe ich gesagt, ich habe das hier bezüglich der Euclidchen-Norm gemacht. Wie sieht das denn bezüglich einer anderen Norm aus? Also ich berechne gleich diesen Grenzwert, ich setze hier ein.

Liemes K gegen unendlich, nehmen wir doch mal die unendlich-Norm, die Maximums-Norm. So, das können wir hier ein bisschen vereinfachen.

Dadurch, dass wir wissen, 1 durch k, das ist größer gleich 1 durch k² für alle k aus n. Also ist das Maximum der Beträge dieser drei Komponenten immer durch den Betrag von 1 durch k gegeben,

also durch 1 durch k. Und da wissen wir, das ist gleich 0. Also konvergiert auch bezüglich der unendlichen Norm diese Folge hier gegen 2, 1, 0. Und probieren wir das gerne auch noch mal aus bezüglich der 1-Norm.

Wieder setze ich hier gleich bei der Differenz ein. Das ist gleich dem Liemes K gegen unendlich. Und nun berechnen wir die 1-Norm.

Das ist also die Norm von 1 durch k und die Norm von minus 1 durch k². Und auch hier sehen wir sofort nach den Grenzwertsätzen, konvergiert das hier gegen 0. Also konvergiert diese Folge bezüglich jeder uns bekannten Norm gegen diesen Grenzwert.

Und das ist kein Zufall, denn wir haben hier für unsere drei Normen diese Abschätzung gezeigt. Wir haben gezeigt, dass wir die eine Norm immer durch die andere abschätzen können.

Und das gilt sogar noch allgemeiner, wenn wir irgendwie zwei Normen auf dem r² n nehmen, hier die eine und hier die andere gestrichen, dann finden wir konstanten Klein z und Groß c größer als 0, sodass wir die eine Norm mal Klein z genommen immer abschätzen können durch die andere Norm.

Und diese andere Norm wiederum durch konstante Groß c mal die erste Norm. Das drückt man auch oft so aus. Man sagt, auf dem r² n sind alle Normen äquivalent.

Und das heißt jetzt eben nicht, dass alle Vektoren bezüglich jeder Norm dieselbe Länge haben. Das haben wir gesehen, das stimmt kein bisschen. Es bedeutet auch nicht, dass wenn die Norm von x kleiner gleich der Norm von y ist, dann ist das genau dann der Fall, wenn die Norm von x bezüglich der anderen Norm

kleiner gleich der Norm von y ist. Nein, das stimmt auch nicht, sondern was besagt das, dass alle Normen äquivalent sind. Das heißt, wird ein Abstand bezüglich einer Norm beliebig klein,

dann auch bezüglich jeder anderen.

Also das heißt, wenn wir eine Folge xk für k aus n nehmen, dann gilt,

ist Delimes der Folge in der Norm gleich 0 in der einen Norm für k gegen unendlich. Dann ist er das auch und nur dann ist er das auch in der anderen Norm.

Und das können wir nochmal beweisen. Was haben wir denn?

Wir wissen auf alle Fälle, wir können die Normen gegeneinander abschätzen. c mal xk in der einen Norm ist kleiner gleich xk in der anderen Norm. Und das ist kleiner gleich groß c durch xk.

Und wenn nun xk in dieser Norm gegen 0 konvergiert für k gegen unendlich, dann geht auch c mal das gegen 0.

Und genauso geht das hier gegen 0 für k gegen unendlich, also auch groß c mal diese Norm. Und was heißt das nun? Das heißt, wir haben hier drei Folgen, zwei schließen die dritte ein und die zwei haben denselben Grenzwert.

Also muss auch der Grenzwert von dieser Folge derselbe sein. Das ist das sogenannte Sandwich-Schlemmer, das uns dann sagt, Delimes von xk bezüglich der anderen Norm ist gleich 0.

Wenn das nun so ist, wenn es egal ist, bezüglich welcher Norm wir uns Grenzwerte, Grenzprozesse angucken, wieso benutzen wir dann überhaupt verschiedene Normen? Das hängt damit zusammen, dass man oft verschiedene Approximationsgüten betrachten will.

Das heißt, wie ich schon gesagt habe, es liegt an der Messung der Konvergenzgüte.

Also in der Praxis wollen sie oft ja nicht eine Folge bis in alle Ewigkeit betrachten, bis sie wirklich am Grenzwert angekommen ist. Nein, sie wollen zum Beispiel eine Rechnung nach einigen Schritten abbrechen

und sagen können, gut, jetzt bin ich nahe genug an diesem Grenzwert. Wie sagen sie, was ist nahe genug? Nun, sie sagen, das ist nahe genug nach dem, was sie brauchen.

Manchmal müssen sie sagen, ich muss wirklich jede Komponente einschränken können. Ich will, dass jede einzelne Komponente höchstens den Abstand epsilon zu der Komponente des Grenzwertes hat. In dem Fall würden sie die Maximumsnorm nehmen.

Da wissen sie, der maximale Abstand einer Komponente zu einer anderen wird sehr klein. Wenn sie das nur im Mittel interessiert, also ein arithmetisches oder geometrisches Mittel, dann würden sie die 1-Norm benutzen. Da hätten sie die Annäherung der Komponenten im arithmetischen Mittel

an die Komponenten des Grenzwertes oder sie nehmen das quadratische Mittel. Dann hätten sie eben die Euclidchenorm. Allerdings ist die Euclidchenorm vielleicht auch deswegen schon unpraktisch, weil sie dort quadrieren und Wurzeln ziehen müssen,

während sie hier nur aufsummieren. Das heißt, die 1-Norm ist oft gegen die Euclidchenorm einfach billiger zu berechnen. Ein ganz ähnliches Resultat, das in diesem Zusammenhang noch fest mit dazu gehört, ist dieser Satz, nämlich, dass eine Folge im R hoch N genau dann bezüglich irgendeiner Norm konvergiert,

wenn alle ihre Komponentenfolgen, das sind hier reelle Folgen, das tun. Das wollen wir beweisen. Nehmen wir erstmal die Richtung, dass wir davon ausgehen, dass diese Folge hier konvergiert.

Sagen wir gegen einen Grenzwert A. Und weil es egal ist, bezüglich welcher Norm wir das betrachten, sie wird dann in jeder Norm konvergieren, nehmen wir doch einfach die Maximumsnorm.

Ja, und nun schauen wir an, was dann folgt. Und zwar für die Komponentenfolgen.

Das sind dann die XiK, wobei K durch N läuft für I gleich 1 bis N. Nun, wir wissen, auf alle Fälle ist der Abstand dieser Komponente XiK zur Komponente des Grenzwertes größer oder gleich Null.

Aber, weil das hier eine Komponente von XiK minus A ist und wenn wir das nun in der Maximumsnorm abschätzen,

dann ist das natürlich kleinergleich dem Maximum über alle diese Differenzen. Und das ist genau die Maximumsnorm. So, und dann geht das hier wieder gegen Null. Das hier ist gleich Null und wie gerade eben bemühen wir das Sandwich-Lämmer und sehen,

dass dann auch der Limes K gegen unendlich von der mittleren Folge hier XiK minus Ae betragsmäßig gegen Null gehen muss. So, und das heißt nichts anderes als, dass XiK den Grenzwert Ai hat und konvergiert.

So, und wenn nun umgekehrt alle Komponentenfolgen konvergieren, sagen wir gegen Ai,

dann gilt was für den Limes von XK minus A, wobei A eben der Vektor ist, der gerade die Komponenten Ai hat für K gegen unendlich.

Ja, ich kann mir hier eine Norm aussuchen bezüglich der, der das betrachtet. Da nehme ich mal die 1-Norm. Das heißt, ich betrachte den Limes über i gleich 1 bis N von den Beträgen XiK minus Ai für K gegen unendlich.

Ja, und jetzt weiß ich, dass alle diese Dinger hier gegen Null gehen, für K gegen unendlich. Das heißt, mit Hilfe der Grenzwertsätze, das ist eine endliche Summe, kriege ich dann raus, das ist gleich der Summe über diese Limiten, die ich gerade schon bestimmt habe,

also gleich der Summe über Null, was gleich Null ist, womit wir auch diesen kleinen Satz bewiesen haben.