Lagebeziehungen von Ebenen im R3. Sind E und F zwei Ebenen im R3, dann haben wir drei Möglichkeiten. E und F können zusammenfallen, E gleich F, oder E und F sind parallel, das heißt sie haben keinen Schnittpunkt, oder E und F schneiden sich genau in einer gemeinsamen

Geraden, der sogenannten Schnittgeraden. Je nachdem in welcher Form die Ebenen E und F vorgegeben sind, ist das Vorgehen dabei zu entscheiden, welcher dieser drei Fälle vorliegt, ein bisschen anders. Fangen wir mit Parameterformen an. Sind E und F beide

in Parameterformen gegeben, dann können wir uns mal anschauen, was für Schnittpunkte gelten muss, also für Punkte S, die in E und in F liegen. Ja, die müssen wir schreiben können, zum einen als Q plus lambda X plus mu Y für bestimmtes lambda und mu aus R,

aber wir müssen das auch in dieser Form schaffen, das heißt S muss sich auch noch

darstellen lassen, ja jetzt lambda und mu sind schon verbraucht, deswegen nehme ich hier alpha V plus beta V und da sehen wir, wir haben hier vier unbestimmte und drei Gleichungen

und zwar lineare Gleichungen, das ist ein lineares Gleichungssystem in vier unbestimmten Lambda, mu, alpha und beta und mit drei Gleichungen. Für jede Komponente dieser

Vektoren eine Gleichung. Ja, von diesem linearen Gleichungssystem wissen wir, es kann gar

keine Lösung haben, dann müssen E und F parallel sein oder aber wir haben unendlich viele Lösungen. Ja, dann müssen wir noch mal unterscheiden, wie können wir die Lösungsmenge

parametrisieren. Wenn die Lösungsmenge parametrisiert wird durch einen einzigen Parameter, dann beschreibt diese Lösung eine gerade, das heißt wir haben dann

eine Schnittgerade oder aber unsere Lösung hat sogar zwei Parameter, ja dann beschreibt

unsere Lösung wiederum eine Ebene, das heißt wir haben eine Schnittebene und das heißt nichts anderes als das E und F zusammenfallen. Nehmen wir als nächstes an, die Ebenen

E und F seien beide in Normalform gegeben, das heißt wir kennen einen normalen Vektor N von E und einen normalen Vektor M von F. Dann ist die erste Frage, die man

sich stellt, zeigen N und M in dieselbe Richtung, sprich sind die Richtungen parallel. Denn wenn das der Fall ist, dann gibt es für E und F nur zwei Möglichkeiten, die können dann sogar gleich sein oder sie können parallel sein. Ja, was heißt es, dass N

und M parallel sind? Nun das heißt nichts anderes als dass N und M linear abhängig

sind voneinander und das heißt wiederum, weil N und M als Richtungsvektoren beide nicht

die Nullvektoren sind, dass wir M schreiben können als Vielfaches von N, das heißt M ist gleich Alpha mal N mit einem Alpha aus R, das nicht Null ist. Ja, wenn aber

M sich schreiben lässt als Alpha mal N, dann kann ich diese Ebene F ein wenig anders ausdrücken, nämlich als die Menge der X aus dem R hoch 3, so dass jetzt für M Alpha N einsetzen, Alpha mal das Skalarprodukt von N und X gleich F ist. Hier habe ich

also die Linearität des Skalarproduktes in der ersten Komponente gleich ausgenutzt. Und wenn wir F nun in dieser Form haben, dann ist es ganz einfach zu entscheiden, ob F gleich E ist oder parallel. Dann ist nämlich E gleich F, nun wenn diese beiden

Mengen hier gleich sind. Das heißt, wenn diese Gleichung hier nur ein Vielfaches von dieser Gleichung ist, so hier ist Alpha Nx, hier steht nur Nx, das heißt, wenn F

gleich Alpha mal E ist, dann sind diese beiden Gleichungen Vielfachen voneinander und dann sind E und F gleich. Und im anderen Fall sind E und F eben parallel, das heißt,

im Fall, wenn F nicht auch Alpha mal E ist. Ja, und in dem Fall, dass N und M nicht parallel sind, sprich linear unabhängig. Dann liegt der Fall einer Schnittgeraden

vor. Ja, und für die haben wir wieder ein lineares Gleichungssystem, nämlich sie

ist gegeben als die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. Wir haben

einmal N,X gleich E und das andere Mal N,M,X gleich F. Diskutieren wir zum Schluss noch den Fall, in dem eine Ebene in Normalform und die andere in Parameterform gegeben

ist. Sagen wir E sei die Ebene in Normalform, das heißt mit normalem Vektor N, F die in Parameterform mit Richtungsvektoren V und W. Und das erste, was wir dann prüfen, ist ob dieser normalen Vektor N nicht zufällig auch noch ein normalen Vektor von F ist.

Ist N senkrecht auf F, also das heißt, N und V stehen senkrecht aufeinander, genauso wie N und V. Ja, dann haben wir nämlich nur die Möglichkeiten, dass E parallel zu F ist

oder E und F sogar zusammenfallen. Und um zu prüfen, in welchen der beiden Fälle wir sind,

reicht es zu schauen, ob irgendein Punkt von F auch zu E gehört. Da bietet sich der E-Kraftpunkt P an. Das heißt, wir prüfen dann noch, ob P die Ebenengleichung von E erfüllt. Das heißt, ist das Skalarprodukt von N und P gleich E? Ja, wenn das der Fall ist,

so ist E gleich F, denn dann haben E und F einen gemeinsamen Punkt und sind ja entweder oder gleich. Und in dem Fall, wo das eben nicht erfüllt ist, dann ist E nur parallel zu F.

Ja, und in dem Fall, in dem N kein normalen Vektor von F ist, das heißt, in dem Fall, dass N und V nicht senkrecht aufeinander stehen oder N und W nicht senkrecht aufeinander

stehen oder beides. Dann wissen wir, E und F sind entweder parallel noch gleich. Das heißt, dann ist der Schnitt von E und F eine Schnittgerade. Und wie bestimmt man die? Ja, und zwar so.

Zunächst setzen wir die Parameterform von F in die Ebenengleichung von E ein. N,P plus

lambda V plus mu W gleich E. Das ist eine lineare Gleichung in den unbestimmten

lambda und mu. Das heißt, wir können dadurch eines von beiden lambda oder mu durch das ausdrücken. Das lösen wir also und das setzen wir ein in die Parameterform von F. Was haben

wir dann gewonnen? Nun, wenn wir zum Beispiel mu ausdrücken durch lambda, dann können wir es da oben ersetzen und dann erhalten wir eine Parameterform einer Geraden und das ist

die Schnittgeraden.