Hier geht es um rationale Funktionen, auch genannt gebrochen rationale Funktionen, die sind uns schon öfters begegnet und wissen inzwischen so einiges über diese Funktionen, trotzdem hier nochmal die Definition. Nehmen wir also zwei Polynome P und Q, beziehungsweise

wir nennen sie dann auch Polynomfunktionen, wenn wir sie als Funktionen von den reellen Zahlen wieder in den reellen Zahlen auffassen und der Grad von Q, der soll echt größer oder gleich eins sein, das heißt wir wollen Q keine Konstante haben, dann heißt P durch

Q eine gebrochen rationale Funktion, die ist gegeben dadurch, dass X eben geschickt auf den Wert P von X durch Q von X und natürlich können wir das nicht auf ganz R definieren,

sondern wir müssen die Nullstellen des Nenners, also die Nullstellen von Q ausnehmen, das sind Definitionslücken. Die gebrochen rationalen Funktionen sind ziemlich gutartig, also sie sind überall stetig, also überall stetig meint überall auf ihrem Definitionsbereich,

das Universum der Funktion, das ist immer ihr Definitionsbereich, also die Funktion selbst, die weiß nicht, dass es da noch etwas mehr außerhalb ihres Definitionsbereiches gibt, in dem Sinne ist die Funktion überall stetig, sie ist überall auch beliebig oft differenzierbar

und für ihre Ableitung gilt P durch Q Strich ist P Strich mal Q minus P mal Q Strich geteilt durch Q Quadrat, Sie haben das vielleicht in der Schule als Quotientenregel kennengelernt,

im Prinzip ist das eine einfache Folgerung aus der Produktregel. Stammfunktion, ja, die hat so eine Funktion, weil sie stetig ist, aber es gibt keine allgemeine Formel und in der Tat ist es oft ganz schön schwierig gebrochen, rationale Funktionen zu integrieren.

Auch über die Monotonie kann man keine allgemeine Aussage machen, also das ist Teil einer Kurvendiskussion. Auch über das Bild ist keine allgemeine Aussage möglich,

über die Nullstellen hingegen schon, denn die Nullstellen, das müssen ja auf alle Fälle Nullstellen von P sein, 1 durch Q kann die Null werden, das heißt, wenn hier etwas Null wird, dann schon P und ja, dann kann es aber zum Beispiel passieren, dass so eine Nullstelle

von P auch eine von Q ist, die ist also gar nicht im Definitionsbereich, deswegen steht hier, die Nullstellen von P durch Q sind höchstens die Nullstellen von P. Also jetzt zu den Definitionslücken, also den Nullstellen von Q. Wenn für so eine Definitionslücke x0

gilt, ich schreibe hier mal R als rationale Funktion für P durch Q, wenn für so eine Definitionslücke gilt, dass Delimes von x gegen diese Definitionslücke vom Betrag

von R von x gleich unendlich ist, dann heißt x0 eine Polstelle von R. Es gibt noch einen anderen Fall, es kann nämlich sein, dass Delimes für x gegen x0 existiert, das

heißt, Delimes x gegen x0 R von x gleich c für eine reelle Zahl c, dann kann R in x0 stetig fortsetzen und zwar in dem man setzt R von x0 gleich c, gleich diesen Grenzwert und ja, das ist dann per Definition stetig fortgesetzt, denn wir haben den

Grenzwert der Funktion, der existiert hier in diesem Fall und den setzen wir nun gleich dem Funktionswert, wir definieren den Funktionswert als den Limes und demnach ist die Funktion

stetig. Ein Beispiel, an dem sind wir schon vorbeigekommen, x7-1 durch x-1. Wir hatten diesen Bruch durch Polynomdivision berechnet, das heißt, hier gilt nach Polynomdivision,

kurz Polynomdiv, das ist gleich x6 plus x5 plus x4 plus x3 plus x2 plus x plus 1.

So, und wo gilt das? Nun, das gilt für alle x aus dem Definitionsbereich dieser gebrochen rationalen Funktion, also für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der 1.

So, jetzt ist es aber durchaus so, dass der Limes existiert, ja, wir können das hier einsetzen, eine Folge, die gegen 1 geht, statt dieses x hier einsetzen und gucken, also was ist denn der Limes x gegen 1 von x hoch 7 minus 1 durch x minus 1? Nun, da

wissen wir hier, der Limes von x hoch 6 für x gegen 1, das ist 1 hoch 6, der Limes

von x gegen 1 existiert und wir wenden unsere Grenzwertsätze an für x hoch 6 für x hoch 5 und auch für die Summe, etc. Das heißt, es ist 1 plus 1 plus 1 plus und so weiter bis 1 und wie viele Terme haben wir? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, das sind

7 Einser, das heißt, der Grenzwert ist gleich 7. So, und in der Tat heißt das, wir können diese Funktion jetzt fortsetzen, auch in 1 hinein, indem wir sagen, der

Funktionswert, wenn wir das R von x nennen, R von 1, das ist gleich 7, das heißt, wir ersetzen R eigentlich jetzt dann wirklich in der stetigen Fortsetzung gleich diesem

Aber die stetige Fortsetzung, ich nenne sie lieber Erschlange, das ist eine andere Funktion,

Erschlange ist nun wirklich auf den gesamten reellen Zahlen definiert, das heißt, wir haben das Universum dieser Funktion vergrößert. Soweit zu Definitionslücken in die gebrochen rationale Funktion stetig fortgesetzt werden kann, nun nochmal zu

den Polstellen. Ich habe Ihnen ein paar Beispiele mitgebracht, was da passieren kann. Also hier, das ist der Graph von der gebrochen rationalen Funktion 1 durch x minus 1, das heißt, es ist eine einfache Polstelle. Ja, warum? Naja, die Vielfachheit

der Polstelle, die kriegen wir daraus, dass wir die Vielfachheit der Nullstelle des

Nenners betrachten. Was eine Vielfachheit der Nullstelle ist, wissen wir, also wir

können einige Male diesen Linearfaktor x minus 1 hier abspalten, in dem Fall gleich 1, und dann gucken wir noch, ob das auch eine Nullstelle vom Zähler ist und ziehen das ab. Das ist also die Vielfachheit der Nullstelle x0 vom Nenner minus

die Vielfachheit der Nullstelle x0 vom Zähler. So, und wenn das eine Polstelle ist,

dann ist diese Differenz hier echt größer als Null. Und wenn das eine einfache Polstelle ist, dann sieht das in der Nähe von dieser Polstelle immer so ähnlich aus wie hier. Also das heißt, wenn wir auch noch hier eine positive Konstante haben und wir

kommen von rechts in diese Polstelle rein, dann geht es gegen Plus unendlich, kommen wir von links, dann geht es gegen Minus unendlich. Ähnlich geht es bei einer quadratischen Polstelle dann so ab, dass wir haben wieder hier geht es gegen

unendlich, aber von der linken Seite und von der rechten Seite ist es diesmal beides eine positive Zahl, die dagegen unendlich geht. Das heißt, der Liemes für x gegen 1 hier wäre Plus unendlich, egal ob wir von links oder von rechts

kommen. Also schreiben wir das mal noch auf, der Liemes f1 von x für x gegen 1 Plus, der ist Plus unendlich, das ist also eine, ja, nicht ganz bestimmte Konvergenz, denn der Liemes für x gegen 1 von links f von 1 von x, der ist

2 von x gleich wirklich Plus unendlich ist. Das heißt, in einem Fall von einer

geraden Polstelle oder einer zweifachen Polstelle haben wir eine bestimmte Divergenz. Und hier habe ich noch einen Fall mitgebracht, was passiert, wenn wir jetzt eine Polstelle haben, in dem Fall ist sie wieder einfach, aber unser Vorfaktor ist negativ, nun dann ist der Grenzwert von rechts kommend minus unendlich

und von links kommend Plus unendlich. So und ich habe es schon mal

ausgesprochen, das gilt jetzt nicht nur für einfache und doppelte Polstellen, sondern wenn wir eine Polstelle haben, deren Vielfachheit gerade ist, dann

existiert dieser Liemes immer und das Vorzeichen bestimmen wir aus dem Vorzeichen hier des führenden Koeffizienten, also in dem Fall ist es Plus, ja, weil das hier ein positiver Koeffizient ist und im Falle, wenn die

Vielfachheit der Polstelle eine ungerade Zahl ist, dann existiert der Liemes nicht, sondern wir haben und zu unterscheiden zwischen links und diesem Beispiel auch. Wenn man nun die Nullstellen zu einer gebrochen rationalen

Funktion kennt und die Polstellen und auch mit ihrer Vielfachheit und kennt man dazu auch noch die Limiten, also was macht x für Plus, ja, was macht R von x für x gegen Plus oder minus unendlich, dann kann man diese

gebrochen rationale Funktion schon grob skizzieren und ich habe Ihnen da mal ein Beispiel mitgebracht. Dann nehmen wir R von x gleich x Plus 5 durch x² minus 2x minus 3. So, da haben wir natürlich eine Nullstelle,

die sehen wir sofort, das ist x gleich minus 5, das ist eine Nullstelle des Zählers und wenn ich die in den Nenner einsetze, dann kommt hier 25 Plus 10

minus 3 raus, das ist ungleich Null, also es ist wirklich eine Nullstelle. So, wie sieht es mit den Polstellen aus? Das müssen also Nullstellen des Nenners sein. Ja, hier sind wir in der schönen Situation, dass wir eigentlich

eine sofort sehen, das ist nämlich x gleich minus 1, dann haben wir nämlich minus 1² ist 1, minus 3 ist minus 2 und minus 2 mal minus 1, minus 2 ist 0. Also haben wir eine Polstelle x1, das ist minus 1 und die zweite ist x2

gleich plus 3 in dem Fall. Okay, wem das zu schnell ging? Man kann diese Polstellen hier auch mit der PQ-Formel bestimmen. Also Polstellen sind

die Nullstellen des Nenners, zum Beispiel mit der PQ-Formel bestimmen. Oder man sieht das eben direkt, dann braucht man nicht so viel rechnen.

So, dann kann ich diese gebrochen rationale Funktion auch so schreiben, nämlich als 2 durch x minus 3 minus 1 durch x plus 1. Wieso das so ist? Das ist eine Partialbruchzerlegung, die studiere ich mit Ihnen nochmal ganz genau

im nächsten Video. Gut, aber für den Moment glauben wir das. So, dann haben wir also jetzt Polstellen und die sind alle einfach, alle beide.

Das heißt, wir wissen, wir haben einen Vorzeichenwechsel in dem Punkt x0 oder x2 gleich 3 und auch in x1 gleich minus 1. Also machen wir uns das auf,

haben wir die Funktion, dann haben wir hier eins, zwei, drei, hier haben wir minus eins, zwei, drei, vier, hier haben wir minus fünf. So, ich male uns da mal

ein paar Hilfsgraden rein. Gut, so, wenn wir uns in die Nähe der Polstelle x2 gleich 3 bewegen, dann wird dieser Term hier also sehr, sehr groß betragsmäßig. Der hier, der bleibt gut. Für x gegen 3, da ist es ein Viertel,

das spielt kaum eine Rolle. Das heißt, in der Nähe dieser Polstelle wird die ganze Funktion von diesem Term hier dominiert. So, und jetzt schauen wir uns an, das Vorzeichen ist positiv, das heißt, wir haben hier einmal so, das ist ein

bisschen schepp gezeichnet. Nächster Versuch. Wir haben hier also sowas und wir wissen, dass unsere Funktion hier auch irgendwie von minus unendlich

kommt. So, in der Polstelle minus eins, da wissen wir, wir haben hier das negative Vorzeichen, das passt ganz gut, die kommt hier, also von minus unendlich,

schwupp, das heißt, hier liegt irgendwo ein Extremum der Funktion, ein lokales Extremum natürlich. So, und hier kommt die Funktion von plus unendlich nach linksgehend, aber sie hat noch bei minus fünf eine Nullstelle. Und wie es dann weitergeht, ist nicht so richtig klar. Hier habe ich das einfach schon

mal so eingezeichnet, das heißt, wir gucken uns noch einfach mal an. Was ist denn der Liemes für x gegen plus unendlich von R von x? Nun, der ist, hier haben wir den Nennergrad, der ist größer als der Zählergrad, also

wird die Funktion für x gegen plus unendlich gegen Null gehen. Und genauso für x gegen minus unendlich, weil Nennergrad größer als Zählergrad. So,

und jetzt habe ich es hier gerade noch geschafft, meine Schaubild nicht zu zerstören. Also, ich habe hier bei minus fünf hier noch eine Nullstelle, die will ich berücksichtigen, das heißt, meine Funktion, die geht hier durch Null, und jetzt weiß ich, sie geht aber auch für minus unendlich

wieder gegen Null, das heißt, die muss noch mal so einen Schlenker machen, bevor sie dann für x gegen minus unendlich gegen Null geht. Also habe ich hier auch noch mal ein lokales Minimum zu erwarten. Diese beiden Extremalstellen, die könnte ich jetzt berechnen, indem ich

Nullstellen der ersten Ableitung berechne. Das möchte ich mir hier noch sparen, wir wissen nur, die gibt es da irgendwo. Ja, und das sieht doch schon gar nicht so schlecht aus als Graf, ne?