Und dann wollen wir uns zuletzt nochmal die Kettenregel für die Ableitung ein wenig genauer angucken. Das heißt, wenn wir zwei Funktionen nehmen, f und g, wobei g von d1 nach d2 geht und f von d2 nach r. Und wenn wir wissen, dass g in einem Punkt x0 differenzierbar ist und f differenzierbar ist in dem Bildpunkt g von x0,

dann ist f nach g differenzierbar in x0 und die Ableitung dieser Komposition f nach g an der Stelle ist gegeben als

f' von g ausgewertet in der Stelle x0 mal g' von x0. Gut, ein Beweis oder wenigstens eine Beweisskiz geht wie folgt.

Also wir müssen uns anschauen, den Differenzenquotienten von dieser Komposition. Das heißt f nach g von x minus f nach g von x0 geteilt durch x minus x0.

Nun, und das möchte ich gerne so schreiben, dass wir hier das g von x0 finden. Das kann ich aber nicht immer. Ich möchte jetzt einfach mal annehmen, dass g von x minus g von x0 ungleich 0 ist. Denn dann kann ich diesen Bruch mit dieser Differenz erweitern und dann steht hier,

ich schreibe für f nach g von x gleich f von g von x, dann steht hier minus f von g von x0 und das teile ich dann durch g von x minus g von x0 und dann muss ich das wieder mal nehmen mit g von x

minus g von x0 und teile zum Schluss noch durch x minus x0. So, und da sehen wir, das ist der Differenzenquotient von g, das heißt der geht gegen g' von x0 für x gegen x0.

So, und was macht dieses Ding? Nun, das ist der Differenzenquotient von f, aber an welcher Stelle?

Der Stelle g von x0. Und zum Glück weiß ich jetzt, weil g differenzierbar ist, ist g stetig,

das heißt g von x wird gegen g von x0 gehen für x gegen x0 und damit geht dieser Differenzenquotient hier an der Stelle g von x0 wirklich gegen die Ableitung f' von g von x0.

So, fassen wir das zusammen, also wir haben hier schon hingeschrieben, die Limiten dieses Produktes hier, die existieren von beiden Faktoren, also existiert auch der Limit des Produktes und ist gleich dem Produkt der Limiten

und weil die linke Seite gleich der rechte Seite ist, gilt also lims x gegen x0 von diesem Differenzenquotient

ist gleich den Limiten, den wir hier hingeschrieben haben, also f' von g von x0 mal g' von x0. So, das ist also der Beweis für den Fall, dass g von x minus g von x0 wirklich ungleich 0 ist.

In dem Fall, wo das nicht gilt, muss man ein bisschen mehr arbeiten, aber ich möchte mich an dieser Stelle damit zufrieden geben, weil ich denke, wir haben die Idee hinter dem Beweis verstanden.

Und dann möchte ich lieber direkt auf eine Anwendung gehen, die sehr wichtig ist, nämlich die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion. Also wir nehmen an, wir haben eine Funktion f von d1 nach d2 gegeben, die bijektiv ist und differenzierbar. Nun dann wissen wir, die Umkehrfunktion existiert und dann wissen wir auch, die ist differenzierbar,

ja, jedenfalls in jedem Punkt, sagen wir x aus d2, für den f' von g von x ungleich 0 ist.

Und in solchen Punkten gilt, dass die Ableitung der Umkehrfunktion gegeben ist als 1 durch die Ableitung von f ausgewertet an der Stelle g von x0. Nun, um das zu beweisen, sehen wir, also falls wir sagen können, dass g die Umkehrfunktion differenzierbar ist,

dann ist diese Formel hier die einzige mögliche Formel für die Ableitung.

Denn das folgt nämlich aus der Kettenregel. Wenn wir f nach g an der Stelle betrachten, nun dann wissen wir, das ist gleich x,

also diese Funktion ist ja einfach nur die Identität, ist f nach g Strich identisch 1, die Ableitung der Identität ist die konstante Funktion 1.

Aber, weil wir jetzt gerade annehmen, dass auch g differenzierbar ist, kann ich auch f nach g Strich berechnen als f Strich, ja, ich mache noch einen von x dazu, von g von x mal g Strich von x.

So, und da sehen wir, wenn wir das jetzt hier gleich einsetzen, dann ist g Strich 1 durch f Strich von g von x. So, und jetzt müssen wir uns anschauen, warum ist denn g differenzierbar, jedenfalls wenn wir keine Nullstellen der Ableitung hier haben.

Nun, wir bilden einfach mal den Differenzenquotienten von g an einer solchen Stelle durch h. Den können wir jetzt ganz kompliziert schreiben.

Also, ich schreibe mal dieses h als f von g von x plus h minus f von g von x. Also, f von g, das ist die Identität, das heißt, hier steht x plus h minus x,

also einfach nur h. Und dieses g von x plus h minus g von x, das ziehe ich runter in einen Doppelbruch. So, dann sieht das so aus.

Und jetzt setze ich t als g von x plus h minus g von x, mache eine kleine Substitution.

Ja, und jetzt weiß ich, für h gegen Null geht auch t gegen Null, denn, ja, warum ist das der Fall? Naja, f ist stetig.

Und g ist die Umkehrfunktion von f, die ist dann ebenfalls stetig. Ja, und das heißt, wenn ich hier gegen den Funktionswert x, also dieses Argument von g gegen x laufen lasse,

dann läuft der Funktionswert gegen g von x und demnach die Differenz gegen Null. So, und das benutze ich hier und schreibe das wiederum als eins durch großer Bruch.

So, und dann steht hier f von g von x plus t minus f von g von x und das teile ich jetzt einfach nur durch t.

So, und da sehen wir, das ist eins durch den Differenzenquotienten von f an der Stelle g von x. Und das heißt, wenn eben diese Limes hier unten existiert und ungleich Null ist, das ist genau der Fall, den ich hier annehme.

Also gilt dann nach Voraussetzung der Limes g von x plus h minus g von x durch h für h gegen Null ist gleich eins durch die Ableitung von f an der Stelle g von x.

So, und das war die Behauptung. Das kann man sich auch bildlich ganz gut vorstellen, diese Formel. Ich hoffe mal, ich kriege das hier noch richtig rein. Also ich male hier mal eine Funktion, erst mal die Winkel halbieren, eine Funktion so. Das

ist der Graph von f und dann male ich hier den Graph von f hoch minus 1. Dann gibt mir die Ableitung von f die Tangentensteigung, also f Strich von x, das sagen wir lieber von g von x.

Das ist gleich m und wenn ich das hier an der Stelle betrachte, dann bin ich, wenn ich das hier spiegele, etwa hier, da sehen wir g Strich von x, das ist eins durch m.

So das heißt, die Steigungen sind reziprok. Das Beispiel das ich da hingemalt habe, das haben Sie vielleicht schon erkannt, das war die Exponentialfunktion und ihre Umkehrfunktion, die Logarithmusfunktion.

Nun wir haben ja gesehen, dass die Ableitungsfunktion der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion selbst ist und die hat keine Nullstellen. Das heißt, ich kann auf dem gesamten Definitionsbereich das Logarithmus, die Ableitung bilden.

Das heißt, ln ist differenzierbar und die Ableitung ist eben gegeben als eins durch die Exponentialfunktion. Das ist die Ableitung hier ausgewertet in ln x. Das sind die Umkehrfunktionen, das heißt hier steht eins durch x.

Und das zweite berühmte Beispiel, das wäre eben die Ente-Wurzel aus einer positiven Zahl. Da ist die Umkehrfunktion natürlich die Ente-Potenz. So und wir wissen f' von x, das ist n mal x hoch n minus eins. So und das ist ungleich Null für x größer als Null.

Und demnach finde ich für die Umkehrfunktion die Ableitung g' von x als eins durch f' von g von x.

Das ist also eins durch n mal die Ente-Wurzel von x hoch n minus eins. Und

das kann man natürlich umschreiben als eins durch n mal x hoch eins durch n minus eins. Das heißt, um es nochmal hübsch als Formel zu schreiben, x hoch eins durch n Strich, das

ist gleich eins durch n mal x hoch eins durch n minus eins für x größer als Null. Beziehungsweise, jetzt kann ich das Fall allgemein an, für eine beliebige rationale Zahl q ist x

hoch q abgeleitet gleich q mal x hoch q minus eins für jedenfalls x größer als Null.

Da benutze ich also noch ein bisschen meine Potenzgesetze. Okay, und schauen wir uns ganz zum Schluss doch noch ein Beispiel an. Wie könnte ich zum Beispiel die Funktion f, die abbildet x, nach e hoch minus x Quadrat ableiten.

Das ist also eine Funktion die R abbildet. Ach, sagen wir einfach nur auf R. Nun, da benutze ich jetzt nicht den Satz von der Umkehrfunktion, sondern einfach nur die Kettenregel.

Da haben wir also f Strich von x, das ist e hoch minus x Quadrat mal, ja jetzt eben diese Funktion, die innere Funktion abgeleitet, minus zwei x. Das ist minus zwei x mal e hoch minus x Quadrat und jetzt können wir mal diese Funktion f Strich nehmen als weitere Funktion.

Das ist also wieder eine Abbildung von R nach R und dann ist die Ableitung von H

nun gegeben, indem ich erst die Produktregel anwende und für den zweiten Faktor hier noch die Kettenregel. Das ist also minus zwei mal e hoch minus x Quadrat und dann mal minus zwei x mal, ja und die

Ableitung von e hoch minus x Quadrat habe ich hier schon stehen, minus zwei x mal e hoch minus x Quadrat. Und das ist etwa gleich zwei e hoch minus x Quadrat mal zwei x Quadrat minus eins.