So, jetzt haben wir den Begriff einer Folge kennengelernt und wann sie z.B. monoton ist und beschränkt. Jetzt wollen wir aber auch wissen, wann eine Folge konvergiert. Also eine reelle Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert a. Das schreiben wir dann auch so. Der Liem ist n gegen unendlich. Der a n ist gleich a. Oder aber a n geht

gegen a, für n gegen unendlich. Wenn für jedes reelle Epsilon gilt, dass für alle großen natürlichen Zahlen der Betrag von a n minus a kleiner ist als Epsilon. Und

wenn das nicht gilt, dann heißt eine Folge divergent. So, ich glaube das müssen wir noch ein bisschen genauer angucken. Also erstmal ist dieses wenn für alle großen n gilt, das steht für einen noch viel exakteren, aber noch ein bisschen schwerer

verdaulichen Satz. Also das heißt, es gibt für ein solches Epsilon, das wir im

natürlichen Zahlen klein n, die größer gleich n sind, gilt. Also für alle n ab einer bestimmten Schranke meint hier für alle großen n. So und dieses große n, das

hängt normalerweise von Epsilon ab. Also wir müssen für jedes Epsilon eine solche Schranke finden ab der das gilt, aber es muss nicht für alle Epsilon das gleiche sein. So und natürlich ist für diese Definition nur eigentlich nur

von Bedeutung sehr kleine Epsilon. Denn wenn das für Epsilon erfüllt ist diese Bedingung, dann ist sie auch für jede andere Zahl die größer definiert. Das heißt, es geht darum, dass Epsilon sehr klein wird. So und

dass dieser Betrag von a n minus a kleiner wird als Epsilon, das hat eigentlich die Bedeutung dieser zweiten Bemerkung. Also ich mal mal den Zahlenstrahl hin. Hier soll unser Grenzwert a sein und dann ist hier a

minus Epsilon und hier a plus Epsilon. Und alle Zahlen hier in diesem offenen Intervall, für alle x aus dem offenen Intervall a minus Epsilon bis a plus

Epsilon gilt, dass x minus a kleiner ist als Epsilon. Das ist nur eine andere Beschreibung dieser Umgebung. Also das heißt, wir wollen, dass für alle

großen n die Folgeglieder a n in diesem Intervall, das nennt sich auch Epsilonumgebung um a liegt. Und Konvergenz gegen a bedeutet, dass es für jedes Epsilon so

ein n gibt, sodass alle Folgenglieder ab diesem n in dieser Epsilonumgebung liegen. Das lernt man am allerbesten an einem Beispiel. Wir nehmen unsere

berühmte harmonische Folge. Also eins durch n für n aus n. Das war die harmonische Folge. So und ich sage die harmonische Folge konvergiert und hat

den Grenzwert Null. So dazu muss ich jetzt also zu jedem Epsilon zeigen, dass die ganz fernen Folgeglieder nahe näher als Epsilon an Null liegen. Und das mache ich so.

Ich wähle zu Epsilon größer als Null, wählt man n aus den natürlichen Zahlen so groß,

dass dieses n sogar größer ist als eins durch Epsilon. Wir hatten gesehen, die Folge der

natürlichen Zahlen, die steigt über jede Grenze. Also gibt es eine natürliche Zahl, die größer ist als eins durch Epsilon und jede natürliche Zahl, die größer ist als diese, ist dann

auch größer als eins durch Epsilon. Also nehmen wir dieses eine große N, das wir auf alle Fälle finden, das größer ist als eins durch Epsilon. Und dann gilt für alle n, die größer

sind oder gleich diesem großen N, dass der Abstand von eins durch N zur Null, das ist gleich eins durch N, das ist kleiner als eins durch groß N oder kleiner gleich sogar.

Wir haben klein N ist größer gleich groß N, dann teilen wir durch groß N und teilen durch klein N, dann kriegen wir diese Ungleichung. Und so wie ich dieses groß N gewählt habe,

es ist kleiner als Epsilon. Diesen Vorgang, den kann ich wirklich zu jedem Epsilon durchführen. Das N wird immer ein anderes sein. Aber dadurch, dass ich das für jedes

Epsilon zeigen kann, zeige ich in jeder Umgebung der Null, liegen ab irgendeinem Folgeglied sogar alle darin und damit muss die Folge per Definition gegen Null konfigieren. Das zweite Beispiel. Lassen Sie mich noch eine kleine Bemerkung zum ersten Beispiel machen.

Wir haben jetzt gesagt, der Grenzwert ist Null. Also wenn wir uns das angucken, hier ist die Null, hier ist die Eins, das ist das erste Folgeglied. Dann haben wir hier ein Halb,

dann haben wir hier ein Drittel, dann haben wir hier ein Viertel, dann haben wir hier ungefähr ein Fünftel und da ein Sechstel und so weiter. Diese Glieder gehen also immer näher zu Null,

aber kein einziges ist Null. Das heißt, der Grenzwert selbst, der wird nie angenommen.

Also das heißt, die Folgeglieder müssen dem Grenzwert nur beliebig nahe kommen, aber sie müssen den Grenzwert selbst nie annehmen. Natürlich kann das vorkommen, aber es ist nicht notwendig. Als nächstes Beispiel möchte ich das Beispiel einer

konstanten Folge nehmen. Zum Beispiel, die soll konstant gleich 3 sein. Alle Folgeglieder sind 3. Dann ist der Liemes der a n gleich dem Liemes über 3 und das ist 3. Beweisen wir auch

das, denn für alle N aus N diesmal gilt a n minus 3, das ist 3 minus 3, also Null

und das ist kleiner als Epsilon für jedes Epsilon größer Null. Das heißt, hier liegen

sogar alle Folgeglieder in jeder Epsilonumgebung. Wir haben keine andere Möglichkeit als den Liemes gleich 3 zu setzen.