ein Video über Häufungspunkte und Teilfolgen von Folgen. Beides habe ich noch gar nicht definiert, deswegen fangen wir damit mal an. Wenn wir eine komplexe Folge C entnehmen, was ist dann ein Häufungspunkt der Folge? Nun, das ist ein Punkt Y aus C,

so dass in jeder Epsilon- Umgebung von Y unendlich viele Folgeglieder liegen. Das heißt, wenn hier Y ist und wir haben hier eine Epsilon- Umgebung, dann sind hier unendlich viele Folgeglieder drin. Das kann aber sein, dass ich hier mal rausspringe und wieder rein.

Das heißt, es heißt nicht, dass alle drin liegen, sondern nur unendlich viele. Am besten kann man sich das, glaube ich, einem Beispiel klar machen. Ich möchte hier mal zu dem zweiten Punkt gehen. Ich betrachte die Folge minus eins hoch N.

Das heißt, wenn hier ein minus eins ist und hier eins, dann weiß ich ja minus eins, das ist minus eins hoch zwei M plus eins. Und eins, das ist minus eins hoch zwei M für alle M aus N.

Das heißt, hier in irgendeiner Epsilon- Umgebung von minus eins finde ich die Folgeglieder A zwei M plus eins.

Und in einer Epsilon- Umgebung von eins finde ich alle Folgeglieder der Form A zwei M. Das heißt, minus eins und eins, das sind zwei Häufungspunkte einer Folge. Denn hier in jeder Epsilon- Umgebung von minus eins

liegen unendlich viele Folgeglieder. In jeder Epsilon- Umgebung von eins liegen auch unendlich viele Folgeglieder. Aber keiner von beiden ist grenzwert der Folge. Die Folge hat gar keinen Grenzwert. Es gilt aber schon, wenn eine Folge denn konvergiert,

dann ist der Grenzwert Häufungspunkt. Klar, da liegen nicht nur unendlich viele Folgeglieder drin in jeder Epsilon- Umgebung, sondern sogar alle ab einem bestimmten. Und dann muss dieser Grenzwert auch der einzige Häufungspunkt sein,

weil alle ab einem bestimmten Folgeglied in der Epsilon- Umgebung liegen. Das heißt ja, es sind nur endlich viele übrig. Die können dann nicht in einer anderen Epsilon- Umgebung von einem anderen Punkt unendlich viele Folgeglieder gelten. Das heißt, ein Grenzwert ist immer der einzige Häufungspunkt einer Folge.

Und andererseits gilt es aber auch, dass eine Folge durchaus einen Häufungspunkt haben kann, aber trotzdem divergieren kann. Also auch da möchte ich noch mal ein Beispiel dazu machen. Wenn wir die Folge An nehmen, die definiert ist als An ist 1, wenn n gleich 2m ist.

Und sie ist aber n, falls n ungerade ist. 2m plus 1. So, dann habe ich also hier bei der 1 unendlich viele Folgeglieder.

Und dann habe ich hier noch 3, 5, 7, etc., etc. Das heißt, 1 ist Häufungspunkt, aber die Folge an sich, die divergiert auch noch dazu.

Gut, was wir hier gesehen haben, ist ganz typisch. Also wir haben das hier so gemacht, dass wir hier ganz viele Folgeglieder haben und hier noch mal ganz viele Folgeglieder. Und das heißt, was wir uns da eigentlich rausgesucht haben, sind Teilfolgen.

Und diese Teilfolgen, die möchte ich jetzt noch definieren. Also was ist eine Teilfolge? Eine Teilfolge von der Folge An, das ist eine Folge der Form Ank, derart, dass diese gewählten Indizes streng monoton wachsen.

Und das heißt jetzt, wenn ich in so einer Folge A1, A2, A3, A4, A5, A6, An und so weiter nehme,

dann picke ich mir einfach nur bestimmte Folgeglieder raus. Also mein Wing A1, dann A4, auch A6, An, so und die, die mache ich wieder zu einer Folge. Und das ist dann eine Teilfolge. Das heißt, ich lasse eigentlich nur Folgeglieder weg und kriege dann eine Teilfolge.

Was ich nicht machen kann, sind Folgeglieder vertauschen. Das ist diese streng monoton wachsende Bedingung. Also bei unserem Beispiel, dieses An war minus 1 hoch n,

da würden wir eine Teilfolge eben dadurch kriegen, dass wir diese Indizes wählen als A2m mit m aus n. Und das wäre dann die Folge, die eben konstant 1 ist.

Genauso könnte ich die andere Teilfolge A2m plus 1 wählen. Die wäre dann eben konstant minus 1. Ja, ich kann eigentlich immer unendlich viele Teilfolgen wählen, verschieden. Also schön deutlich wird es, wenn wir die Folge 1 durch n, die harmonische Folge betrachten,

die hat viele Teilfolgen, nämlich 1 durch 2n für n aus n, 1 durch n² für n aus n oder 1 durch 37n hoch 17 plus 1 für n aus n.

Das sind alles Teilfolgen der harmonischen Folge. So, oder?

Ich könnte auch mal die Folge i hoch n betrachten für n aus n. Da kann ich die Teilfolge nehmen, ja sagen wir das ist An,

dann nehme ich A4m für m aus m. Das wäre dann die konstante Folge A1 gleich 1. Dann habe ich auch noch A4m plus 2 für m aus m.

Nun, da habe ich dann, weil i hoch 4 gleich 1 ist und i² gleich minus 1. Das ist die konstante Folge minus 1. Dann habe ich auch noch A4m plus 1, das wäre die konstante Folge i.

Und last but not least A4m plus 3, das wäre die konstante Folge minus i.

Und da sehen Sie dadurch, dass ich hier Teilfolgen gewählt habe, ist auch ganz klar, ja die sind immer konstant, das heißt in jeder Epsilonumgebung von 1 finde ich unendlich viele Folgeglieder. 1 ist Häufungspunkt, genauso ist i Häufungspunkt, minus 1 Häufungspunkt und minus i Häufungspunkt.

Diese Folge i hoch n hat vier Häufungspunkte.