Auch wenn eine Folge divergiert, so kann sie das doch auf ganz verschiedene Arten und Weisen tun. Es gibt Folgen, die hüpfen auf immer und ewig, wild hin und her, und es gibt andere Folgen, die wachsen, früher oder später, über jede Grenze hinaus, die man ihnen setzen möchte.

Solche Folgen heißen bestimmt divergent, und genauer ist das so definiert. Wir nehmen eine reelle Folge, sagen wir a n, die heißt bestimmt divergent gegen plus unendlich. Das schreiben wir dann auch so. Limes der a n für n gegen unendlich gleich unendlich,

beziehungsweise a n geht gegen unendlich für n gegen unendlich, wenn sie eben über jede Schranke wächst, und das heißt, für jede solche Schranke c größer als 0, gilt, dass die Folgeglieder a n größer sind als c für alle großen n.

Dabei heißt für alle großen n wieder, für irgendeinen Index n 0 gilt a n größer als c, und für alle folgenden Indizes gilt das auch.

Analog kann man natürlich auch die bestimmte Divergenz gegen minus unendlich definieren, da ist dann die Schranke nicht größer 0, sondern kleiner als 0, und auch die a n werden irgendwann kleiner als diese Schranke c. Das berühmteste Beispiel, das kennen Sie bereits,

der Limes der Folge der natürlichen Zahlen selbst für n gegen unendlich, das ist unendlich. Nehmen wir ein weiteres Beispiel, den Limes von n² minus 1 durch n plus 2 für n gegen unendlich.

Auch davon möchte ich zeigen, dass das bestimmt divergiert gegen plus unendlich, dafür forme ich den Bruch um. Das geht für jede natürliche Zahl n.

n² minus 1 durch n plus 2. Das kann ich, wenn ich hier jeweils die größte Potenz im Zähler und im Nenner von n ausklammere. Die größte Potenz ist hier oben n², unten ist c n.

Dann steht hier n² mal 1 minus 1 durch n², während unten n mal 1 plus 2 durch n steht. Das heißt, wir haben hier insgesamt ein n mal 1 minus 1 durch n²

durch 1 plus 2 durch n. Was habe ich dadurch gewonnen? Nun, von diesem hinteren Term weiß ich, er geht gegen 1, wenn n gegen unendlich geht.

Überlegen wir uns nochmal kurz warum. Ich möchte die Grenzwertsätze anwenden. Das heißt, die konstante Folge 1, die Konve geht gegen 1, von 1 durch n weiß ich es, 1 durch n geht gegen 0 für n gegen unendlich,

dann gilt das auch für 1 durch n mal 1 durch n. Demnach geht das hier gegen 0. Die Summe dieser beiden Folgen, 1 plus minus 1 durch n², geht also gegen 1. Genauso verfahre ich hier unten 2 durch n, das ist 2 mal 1 durch n,

das geht gegen 2 mal 0, also gegen 0, und 1 geht gegen 1, insofern steht hier im Grenzwert 1 durch 1, also 1. Das hier geht gegen einen festen positiven Wert, n hingegen, das habe ich gerade gezeigt, divergiert bestimmt gegen unendlich.

Und das heißt, dass diese gesamte Folge gegen plus unendlich geht, für n gegen unendlich. Machen wir ein weiteres Beispiel. Betrachten wir den Limes der Folge 1

minus n hoch 3 geteilt durch 2 n² plus 1 für n gegen unendlich. Ich mache wieder das gleiche Spiel, ich ziehe die maximalen Potenzen von n im Zähler wie im Nenner heraus. Im Zähler ist das n hoch 3,

im Nenner ist das n². Was dann noch übrig bleibt, ist ein 1 durch n hoch 3 minus 1 im Zähler und ein 2 plus 1 durch n² im Nenner.

Von diesem hinteren Bruch kann ich den Grenzwert wieder sehr gut bestimmen mit Hilfe der Grenzwertsätze. 1 durch n geht gegen 0, also auch 1 durch n hoch 3. Minus 1 bleibt konstant, der gesamte Zähler geht also gegen minus 1 und der Nenner geht gegen 2

und 1 durch n wieder gegen 0, also geht der Nenner gegen 2 für n gegen unendlich. Während n hoch 3 durch n², das ist einfach n, das ist bestimmt divergent gegen plus unendlich.

Das heißt, meine Folge fällt nun über jede noch so kleine Schranke hinweg, sie divergiert bestimmt gegen minus unendlich.

Das hier geht gegen plus unendlich, aber alle Folgeglieder sind negativ.