Wir beschäftigen uns hier mit dem Begriff des Riemann-Integrals. Es gibt auch für reelle Funktionen verschiedene Integralbegriffe. Sie werden vielleicht im späteren Semester den Lebesque-Integralbegriff kennenlernen. Das Riemann-Integral hat all denen zum Vorteil, dass es sehr anschaulich ist und sie haben

ja schon einen anschaulichen Begriff eines Integrals kennengelernt. Wenn wir so eine Funktion f haben und uns ihren Graphen angucken und das Integral von a bis b dieser Funktion berechnen wollen, dann stellen wir uns anschaulich darunter vor, das soll der Flächeninhalt sein, den der Graph dieser Funktion mit der x-Achse

einschließt. Und das heißt eben auch, wenn die Funktion hier negativ ist, dann soll dieser Flächeninhalt hier auch negativ sein, ist die Funktion im Bereich positiv, dann kriegen wir einen

positiven Flächeninhalt in diesem Bereich geliefert. Wie berechnet man jetzt aber praktisch so einen Flächeninhalt für irgendeine beliebige Funktion f? Nun, da sagt das Riemann-Integral, was wir wirklich gut berechnen können, das sind Flächeninhalte von Rechtecken.

Also versuchen wir doch diese Flächen hier in Rechtecke zu unterteilen oder sich jedenfalls dadurch anzunähern und dann haben wir doch schon ein ganz gutes Maß für diesen Flächeninhalt. Gut, wie kriegen wir hier Rechtecke rein? Ich male hier mal so ein paar Stellen ein und dann lege ich hier eben ziemlich

gute Balken an, diese Funktion an, so vielleicht und diese Balken hier, die geben mir doch schon ein ganz gutes Maß für die Fläche, die da die Funktion mit der x-Achse einschließt.

Natürlich ist hier mal was zu viel und hier mal was zu wenig, aber wenn ich jetzt vielleicht mehr Stützstellen hier nehme und mehrere solche Balken nehme, dann kann ich die besser an die Kurve anfitten und bekomme eben den Flächeninhalt noch ein bisschen genauer geschenkt. So, um das auf theoretische Füße zu stellen, will ich erstmal sagen, was eigentlich

eine Zerlegung von so einem Intervall a, b sein soll. Ich habe die hier schon ein bisschen angemalt, das heißt, ich möchte sie zerlegen, sagen wir in N-Teilintervalle, in dem ich mir Stützstellen wähle, wenn hier a ist

und hier b, dann soll a gleich der allererste Stützstelle x0 sein und b soll immer der letzten Stützstelle entsprechen und dann wähle ich mir hier eben Stützstellen zwischendrin x1, x2, x3, x4, x5 etc.

Die ordne ich der Größe entsprechend an und dann habe ich hier Teilintervalle x0 bis x1, x1 bis x2, x2 bis x3 etc. Die haben eine bestimmte Länge, die kriege ich dadurch raus, dass ich die obere Integralgrenze

nehme und davon die untere Integralgrenze abziehe, das ist hier immer eine positive Zahl und die ist wichtig, denn das wird unsere eine Kantenlänge von diesen Rechtecken, von diesen Balken hier sein und wenn ich mir nun das Maximum all dieser Intervalllängen

ansehe, dann halte ich doch ein ganz gutes Maß für die Feinheit der Zerlegung, das heißt, je kleiner die maximale Intervalllänge ist, desto feiner wird hier meine Zerlegung sein und jetzt gießen wir diese Idee die Fläche anzunähern durch die Fläche

von solchen rechteckigen Balken in mathematisches Konzept. Dazu nehmen wir uns irgendeine Funktion f her, auf einem Intervall ab, die muss nicht unbedingt stetig sein, beschränkt heißt, also das heißt, der hat hier vielleicht eine Sprungsstelle. Hier sei a,

hier sei b, ich wähle mir eine Zerlegung von ab, sagen wir x1, x2, x3, x4, x5, ist dann schon wieder gleich b in dem Fall und dann gilt es solche Balken hier reinzulegen

und für die oberen Balkenkanten habe ich jetzt verschiedene Möglichkeiten. Ich kann zum Beispiel immer den kleinsten Wert nehmen, den die Funktion hier auf so diesem

Teilintervall annimmt oder vielleicht nicht den kleinsten, aber das Infimum. Machen wir das mal, da halten wir hier eben diesen Wert, den Wert und den Wert. Das heißt,

die Balkenhöhe wäre in dem Fall gegeben als das Infimum der Funktion auf diesem Teilintervall. Das nennen wir klein mk, das ist die Höhe der Balken, die Breite der Balken, das ist delta k, die Intervallbreite und dann ist klein mk mal delta k die Balkenfläche

und die summiere ich auf für alle Teilintervalle und was ich dann erhalte, das ist die

Höhe der Balkenfläche. Ich muss nicht unbedingt das Infimum wählen, ich kann genauso gut das Suprimum auf jedem Teilintervall betrachten. Das sieht dann in etwa so aus. Diese oberen

Balkenkanten werden mir nun gegeben durch groß mk, also dem Suprimum von f auf diesem Kartenteilintervall. Und dann kriege ich die Balkenflächen als groß mk mal wiederum

delta k und wenn ich all diese aufsummiere, dann erhalte ich die sogenannte Obersumme von f bezüglich der Zerlegung z. Aber natürlich sind das nur zwei Möglichkeiten, ich könnte auch irgendeinen Funktionswert nehmen, den die Funktion auf diesem Intervall

nimmt und bezüglich diesem Wert die Balkenhöhe definieren. Dann summiere ich auf über diesen Funktionswert f von ak, das wäre dann zum Beispiel hier so eine Stelle a2, mal Intervallbreite

und das ist eine Zwischensumme von f bezüglich z und bezüglich solcher gewählten Stellen a1 bis an. Was wir dazu noch bemerken ist das folgende. Wenn wir die Balkenhöhen vergleichen

von der Untersumme, also bezüglich des Infimums, das sind hier diese grünen Balken, dann sind die Höhen, die grünen Höhen, die kleinsten, die Zwischensummen, Balken, diese schwarzen, das sind die mittleren und die zur Obersumme, die blauen Balken,

das sind immer die längsten und das heißt, dass die Untersumme von f bezüglich z immer kleiner gleich einer Zwischensumme ist, egal welcher, aber die Zwischensumme ist

kleiner oder gleich der Obersumme. Was passiert jetzt, wenn ich die Zerlegung hier feiner mache, also weitere Stützstellen dazu nehme? Vielleicht diese hier. Natürlich

muss ich da ein bisschen umnummerieren, aber schauen wir uns mal an was mit so einem Balken passiert, der wird hier in zwei Stücke geteilt und wir sehen, diese zwei neuen Teilbalken, die wir jetzt haben, deren Infimum wird jedenfalls nicht kleiner sein

als das Infimum des Gesamtbalkens, das heißt, die zwei neuen Balken, die ich hier bekomme in der Untersumme, hier in etwa und hier, die haben eine Fläche, die auf alle Fälle

größer oder gleich der Fläche des alten Zerlegungsbalkens ist, das heißt, die Untersumme der gröberen Zerlegung ist kleiner oder gleich der Untersumme der feineren Zerlegung und bei der Obersumme passiert das Umgekehrte, ich kriege hier in dem rechten Balken

etwas vielleicht ein wenig kleineres heraus und das heißt, dass die Obersumme von der feineren Zerlegung kleiner oder gleich der Obersumme von der gröberen Zerlegung ist und weil die Untersumme immer kleiner gleich der Obersumme ist, kriegen wir auch dieses

kleiner Gleichzeichen geschenkt. Jetzt möchte ich noch kurz darauf eingehen, weshalb wir hier mit beschränkten Funktionen arbeiten. Nun, das tun wir, weil alle diese Infima

und Suprima, die ich hier bilde, dann auch endliche Zahlen sind. Sind also alle mk's und Großmk's für k gleich 1 bis n reelle Zahlen. Das heißt, wir haben hier alle

Zahlen, also ungleich, plus oder minus, unendlich und ja, demnach sind auch diese Summen hier reelle Zahlen. Wir haben gerade gesehen, je weiter man die Zerlegung zu eines Intervalls

a, b verfeinert, desto größer wird die Untersumme der Funktion und desto kleiner wird die Obersumme der Funktion und das führt dann schließlich auf den Begriff

der Integrierbarkeit. Wir nennen beschränkte Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall a, b integrierbar, wenn es für jedes Epsilon größer als 0 eine Zerlegung des Intervalls a, b gibt. Diese Zerlegung hängt natürlich von Epsilon ab, sodass die Differenz

aus der Obersumme von f und der Untersumme von f bezüglich dieser Zerlegung kleiner oder gleich Epsilon wird. Das heißt, eine Funktion ist integrierbar, wenn die Differenz aus Ober- und Untersumme beliebig klein wird. Ja, und wenn eine Funktion integrierbar

ist, was ist denn dann ihr Integral? Nun, das ist die eindeutig bestimmte Zahl, die für jede Zerlegung des Intervalls a, b größer gleich der Untersumme ist, aber kleiner

gleich der Obersumme. Und dann gibt es noch ein paar Vokabeln beim Integrieren a und b, das sind die Integral- oder Integrationsgrenzen. Die Funktion f, die wir integrieren,

heißt der Integrant und x ist die Integrationsvariable, dx ist das Differential. Ja, und noch eine kleine Bemerkung zur Integrationsvariable, deren Bezeichnung ist total willkürlich. Also der Name der Integrationsvariablen ist willkürlich, sprich betrachten wir

das Integral a, b, f von x dx, dann kann ich das genauso nennen, das Integral von

a bis b von f von t dt. Sie haben vielleicht bemerkt, dass diese Definition von Integrierbarkeit und vor allen Dingen vom Integral danach eigentlich mehr ist als eine Definition.

Es ist nämlich eine Sache zu sagen, die Differenz aus Ober- und Untersumme, die wird beliebig klein und es ist eine andere Sache zu sagen, zwischen allen Untersummen und allen Obersummen liegt genau eine Zahl und die ist unser Integral. Und das zu

zeigen ist im Prinzip gar nicht so schwer, also sie haben eigentlich alle Werkzeuge dazu nach diesem Kurs in der Hand, aber es ist ganz schön viel Arbeit in dem Sinne, dass wir ganz viele kleine Schlaufen dafür laufen müssen und deswegen will ich es

hier bei einer Bemerkung belassen. Nämlich, wir sagen jetzt mal f ist integrierbar, dann gilt das Folgende. Also das heißt, die Differenz aus Ober- und Untersumme

wird beliebig klein. Ja, für jede Folge von Zerlegungen, also nennen wir die Folge

Zn, für n aus n, die aus Verfeinerungen besteht, das heißt also Zn plus 1 wird

entsteht aus Zn durch Hinzunahme von endlich vielen weiteren Stützstellen. So, also

das will ich und ja, ich nehme immer mehr Stützstellen hinzu, aber ich fordere

auch noch und so, dass die Feinheit der Zn für n gegen 0 geht, also die Feinheit der Zn. Ja, so, für jede dieser Folgen gilt dann nämlich, dass für alle Epsilon größer

als 0 der Limes der Untersumme bezüglich Zn, für n gegen unendlich, größer oder

gleich der Untersumme von f bezüglich der Zerlegung Z epsilon ist, der Limes der Zn und der Limes der Obersumme bezüglich der Zerlegungen Zn, der ist kleiner gleich

der Obersumme von f bezüglich der Zerlegung Z epsilon. So, und jetzt werden diese Dinge hier immer kleiner und ich habe mit dieser Folge von Werten eine monoton wachsende

Folge und hier eine monoton fallende Folge gefunden und dann sagt mir das Intervallschachtelungsprinzip,

denn ich weiß ja außerdem, die Untersummen hier sind immer kleiner gleich den Obersummen hier, also gilt das auch im Limes, das Intervallschachtelungsprinzip sagt, da gibt es eine eindeutige

Zahl in der Mitte, das heißt, es existiert eine eindeutige Zahl R hier und diese Zahl R, die ist das Integral, eigentlich müssen wir es andersrum machen, diese Zahl existiert

und heißt Integral, ich glaube so haben sie eine Idee bekommen, was dahintersteckt,