Eulersche Zahl
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Formal Metadata
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Title of Series | ||
Part Number | 24 | |
Number of Parts | 36 | |
Author | ||
License | CC Attribution - NonCommercial - NoDerivatives 3.0 Germany: You are free to use, copy, distribute and transmit the work or content in unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
Identifiers | 10.5446/68114 (DOI) | |
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Inequality (mathematics)ZahlPotenz <Mathematik>FactorizationQuotientE (mathematical constant)AbschätzungTotal S.A.Square numberMultiplication signNumerical analysisExponentiationDivisorEstimatorPower (physics)SequenceGreatest elementFraction (mathematics)Limit of a sequenceComputer animation
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E (mathematical constant)Multiplication signSequenceBound stateResultantEstimatorFraction (mathematics)Power (physics)Limit of a sequenceSummierbarkeitGeometric seriesBinomial coefficientEqualiser (mathematics)AdditionBinomial theoremDifferent (Kate Ryan album)AdditionSummationFactorizationExponentiationUntere SchrankeBinomische FormelAbschätzungComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
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Wir haben schon mal gesagt, glaube ich, irgendwann, dass diese Folge 1 plus 1 durch n hoch n eben im Grenzwert die Eulersche Zahl darstellen soll. Und ich möchte jetzt zeigen, dass dieser Grenzwert dieser Folge wirklich existiert. Und dann können wir ihn einfach e nennen.
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So, und das mache ich so, indem ich zeige, dass diese Folge monoton wachsend ist und dass sie beschränkt ist, und zwar durch 2 nach unten und 3 nach oben. Also, das wollen wir beweisen.
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Ich setze also, damit ich nicht ganz so viel schreiben muss, a n gleich 1 plus 1 durch n hoch n. So, dann weiß ich a 1, das ist 1 plus 1 durch 1 hoch 1, das ist 2.
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Und ich weiß auch, auf alle Fälle zähle ich ja hier was dazu zu 1 und nehme das noch hoch n. Das heißt, a n ist auf alle Fälle größer als a n für alle n.
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So, und jetzt wollen wir zeigen, dass diese Folge monoton wächst. So, das heißt, ich möchte zeigen, dass der Quotient von a n plus 1 durch a n echt größer ist als 1.
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Oder größer gleich 1, aber es ist echt größer als 1 für alle n. Also, erstmalig teile ich hier nie durch 0, weil a n immer größer ist als 1. Und dann schreiben wir doch einfach hin, was hier steht.
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Wir haben 1 plus 1 durch n plus 1 hoch n plus 1 geteilt durch 1 plus 1 durch n hoch n. So, da klammer ich jetzt mal 1 plus 1 durch n aus.
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Dann habe ich hier unten nämlich auch eine Potenz, also einen Exponenten n plus 1. Und ich kann schreiben, das ist 1 plus 1 durch n plus 1 durch 1 plus 1 durch n.
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Und das Ganze hoch n plus 1. So, und jetzt bringe ich diese beiden Faktoren hier jeweils auf den Hauptnenner. Da kriege ich hier also den Hauptnenner n. Und hier bleibt mir ein n und ein 1, n plus 1.
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Und das nehme ich mal mit, wenn ich hier jeweils die Hauptnenner bilde, habe ich unten wieder ein n plus 1 durch n. Und oben habe ich ein n plus 1 plus 1 durch n plus 1, also n plus 1 durch n, n plus 2 durch n plus 1.
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Und das nehme ich hoch n plus 1. So, und jetzt entledige ich mich dieser Doppelbrüche, indem ich mit dem Kehrbruch hier unten dran multipliziere.
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Dann habe ich also n mal n plus 2 durch n plus 1². Das Ganze immer noch hoch n plus 1. So, und jetzt trickse ich noch ein bisschen weiter. n plus 1 durch n schreibe ich ab.
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Und dann möchte ich hier wieder gucken, wie viel ist denn das jetzt noch von der 1 entfernt. Also ich schreibe hier mal ein n plus 1² und auch oben ein n plus 1². Und dann muss ich gucken, was ich dabei für einen Fehler mache.
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Also das hier ist n² plus 2n. Fehlt mir ein plus 1, damit ich n plus 1² habe, also muss ich das wieder abziehen. Und meinen Exponenten nicht vergessen.
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So, jetzt steht hier eine 1. Und jetzt erinnern Sie sich bitte an die Bernoullische Ungleichung. Wenn ich hier eine Zahl hoch n plus 1 nehme und diese Zahl ist 1 minus irgendwas,
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sodass das Ganze hier größer als 0 ist. Dann habe ich eine Abschätzung für dieses Ding hier als 1 minus n plus 1 mal die Zahl hier hinten.
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1 durch n plus 1². Und das gibt mir also insgesamt, wenn ich das n plus 1 durch n abschreibe, hier noch ein 1 minus n plus 1 durch n plus 1².
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Ja, das können wir jetzt wieder auf einen Bruch bringen. Dann habe ich n plus 1² minus n plus 1 durch n plus 1². Wenn wir das alles richtig ausrechnen, kommt 1 raus. Das heißt, wir haben gezeigt, an plus 1 durch an ist größer oder gleich 1.
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Und daraus folgt, dass an monoton wächst.
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So, damit ist also an monoton wachsend.
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Und, naja, weil a1 2 war, 2 eine untere Schranke der an. So, fehlt noch die Abschätzung nach oben. Wir müssen unsere monoton wachsende Folge nach oben beschränken. Dann wissen wir, sie konvergiert.
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Also schauen wir mal, wie wir das hinkriegen. An ist also 1 plus 1 durch n hoch n. Und dafür haben wir die binomische Formel mal bewiesen. Die benutzen wir jetzt.
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Das ist also gleich der Summe. Die läuft von k gleich 0 bis n. Den binomial-Koeffizient n über k. Und dann habe ich hier noch ein 1 durch n hoch k.
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Und da schreiben wir doch einfach mal aus, was das ist. Also für k gleich 0 steht da ja n über 0 mal 1 durch n hoch 0. Das ist einfach nur eine 1. Und dann bleiben mir die Summanden für k gleich 1 bis n übrig.
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Und dann löse ich den binomial-Koeffizienten auf. Der ist ja n Fakultät durch k Fakultät mal n minus k Fakultät. Und da kürze ich hier gleich raus, was ich kann. Das heißt, da bleibt mir ein n mal n minus 1 mal mal mal mal n minus k plus 1 übrig.
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Und unten habe ich noch ein 1 mal 2 mal mal k mal. Und dann hier ein 1 durch n hoch k. Also einfach nur n hoch k im Nenner.
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So, das heißt, hier oben habe ich noch k Faktoren. Und jeder einzelne ist kleiner oder gleich n. Und hier habe ich k Potenzen von n. Das heißt, dieser Bruch hier, der ist kleiner oder gleich 1 durch 1 mal 2 mal mal mal mal mal mal k.
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Und den schätze ich weiter ganz grob ab. Ich sage einfach, ich habe hier 1 und dann habe ich hier k minus 1 Faktoren.
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Und jeder ist größer oder gleich 2. Nur der erste ist gleich 2 und dann sind sie alle größer. Das heißt, das hier, das wird kleiner als 1 durch 2 hoch k minus 1 sein. Was ich jetzt hier dazu verwende, dass ich nicht mehr nur diesen einzelnen Summanden abschätze, sondern alle.
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Das heißt, dieses ganze Ding ist kleiner oder gleich 1 plus die Summe von k gleich 1 bis n einhalb hoch k minus 1.
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Tja, und das schreibe ich ein kleines bisschen anders. Ich möchte hier von k gleich 0 summieren, denn ich habe hier immer k minus 1 stehen. Das ist also die Summe j gleich 0, aber dann nur bis n minus 1 von einhalb hoch j. Und das ist eine geometrische Summe. Die können wir auch lösen.
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Das ist also die 1 abgeschrieben plus 1 minus einhalb hoch n durch 1 minus einhalb. Und das rechnen wir aus.
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Das ist 1 plus 2. Ich habe hier ein Mal minus 2, aber ich mache hier auch ein Minus draus. Dann kriege ich 1 minus 1 hoch n.
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Und das ist kleiner als 3. Also bin ich schon fertig.
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Die Folge an konvergiert. Und ich habe alle Freiheiten der Welt ihren Grenzwert dann E zu nennen.