Wir haben schon mal gesagt, glaube ich, irgendwann, dass diese Folge 1 plus 1 durch n hoch n eben im Grenzwert die Eulersche Zahl darstellen soll. Und ich möchte jetzt zeigen, dass dieser Grenzwert dieser Folge wirklich existiert. Und dann können wir ihn einfach e nennen.

So, und das mache ich so, indem ich zeige, dass diese Folge monoton wachsend ist und dass sie beschränkt ist, und zwar durch 2 nach unten und 3 nach oben. Also, das wollen wir beweisen.

Ich setze also, damit ich nicht ganz so viel schreiben muss, a n gleich 1 plus 1 durch n hoch n. So, dann weiß ich a 1, das ist 1 plus 1 durch 1 hoch 1, das ist 2.

Und ich weiß auch, auf alle Fälle zähle ich ja hier was dazu zu 1 und nehme das noch hoch n. Das heißt, a n ist auf alle Fälle größer als a n für alle n.

So, und jetzt wollen wir zeigen, dass diese Folge monoton wächst. So, das heißt, ich möchte zeigen, dass der Quotient von a n plus 1 durch a n echt größer ist als 1.

Oder größer gleich 1, aber es ist echt größer als 1 für alle n. Also, erstmalig teile ich hier nie durch 0, weil a n immer größer ist als 1. Und dann schreiben wir doch einfach hin, was hier steht.

Wir haben 1 plus 1 durch n plus 1 hoch n plus 1 geteilt durch 1 plus 1 durch n hoch n. So, da klammer ich jetzt mal 1 plus 1 durch n aus.

Dann habe ich hier unten nämlich auch eine Potenz, also einen Exponenten n plus 1. Und ich kann schreiben, das ist 1 plus 1 durch n plus 1 durch 1 plus 1 durch n.

Und das Ganze hoch n plus 1. So, und jetzt bringe ich diese beiden Faktoren hier jeweils auf den Hauptnenner. Da kriege ich hier also den Hauptnenner n. Und hier bleibt mir ein n und ein 1, n plus 1.

Und das nehme ich mal mit, wenn ich hier jeweils die Hauptnenner bilde, habe ich unten wieder ein n plus 1 durch n. Und oben habe ich ein n plus 1 plus 1 durch n plus 1, also n plus 1 durch n, n plus 2 durch n plus 1.

Und das nehme ich hoch n plus 1. So, und jetzt entledige ich mich dieser Doppelbrüche, indem ich mit dem Kehrbruch hier unten dran multipliziere.

Dann habe ich also n mal n plus 2 durch n plus 1². Das Ganze immer noch hoch n plus 1. So, und jetzt trickse ich noch ein bisschen weiter. n plus 1 durch n schreibe ich ab.

Und dann möchte ich hier wieder gucken, wie viel ist denn das jetzt noch von der 1 entfernt. Also ich schreibe hier mal ein n plus 1² und auch oben ein n plus 1². Und dann muss ich gucken, was ich dabei für einen Fehler mache.

Also das hier ist n² plus 2n. Fehlt mir ein plus 1, damit ich n plus 1² habe, also muss ich das wieder abziehen. Und meinen Exponenten nicht vergessen.

So, jetzt steht hier eine 1. Und jetzt erinnern Sie sich bitte an die Bernoullische Ungleichung. Wenn ich hier eine Zahl hoch n plus 1 nehme und diese Zahl ist 1 minus irgendwas,

sodass das Ganze hier größer als 0 ist. Dann habe ich eine Abschätzung für dieses Ding hier als 1 minus n plus 1 mal die Zahl hier hinten.

1 durch n plus 1². Und das gibt mir also insgesamt, wenn ich das n plus 1 durch n abschreibe, hier noch ein 1 minus n plus 1 durch n plus 1².

Ja, das können wir jetzt wieder auf einen Bruch bringen. Dann habe ich n plus 1² minus n plus 1 durch n plus 1². Wenn wir das alles richtig ausrechnen, kommt 1 raus. Das heißt, wir haben gezeigt, an plus 1 durch an ist größer oder gleich 1.

Und daraus folgt, dass an monoton wächst.

So, damit ist also an monoton wachsend.

Und, naja, weil a1 2 war, 2 eine untere Schranke der an. So, fehlt noch die Abschätzung nach oben. Wir müssen unsere monoton wachsende Folge nach oben beschränken. Dann wissen wir, sie konvergiert.

Also schauen wir mal, wie wir das hinkriegen. An ist also 1 plus 1 durch n hoch n. Und dafür haben wir die binomische Formel mal bewiesen. Die benutzen wir jetzt.

Das ist also gleich der Summe. Die läuft von k gleich 0 bis n. Den binomial-Koeffizient n über k. Und dann habe ich hier noch ein 1 durch n hoch k.

Und da schreiben wir doch einfach mal aus, was das ist. Also für k gleich 0 steht da ja n über 0 mal 1 durch n hoch 0. Das ist einfach nur eine 1. Und dann bleiben mir die Summanden für k gleich 1 bis n übrig.

Und dann löse ich den binomial-Koeffizienten auf. Der ist ja n Fakultät durch k Fakultät mal n minus k Fakultät. Und da kürze ich hier gleich raus, was ich kann. Das heißt, da bleibt mir ein n mal n minus 1 mal mal mal mal n minus k plus 1 übrig.

Und unten habe ich noch ein 1 mal 2 mal mal k mal. Und dann hier ein 1 durch n hoch k. Also einfach nur n hoch k im Nenner.

So, das heißt, hier oben habe ich noch k Faktoren. Und jeder einzelne ist kleiner oder gleich n. Und hier habe ich k Potenzen von n. Das heißt, dieser Bruch hier, der ist kleiner oder gleich 1 durch 1 mal 2 mal mal mal mal mal mal k.

Und den schätze ich weiter ganz grob ab. Ich sage einfach, ich habe hier 1 und dann habe ich hier k minus 1 Faktoren.

Und jeder ist größer oder gleich 2. Nur der erste ist gleich 2 und dann sind sie alle größer. Das heißt, das hier, das wird kleiner als 1 durch 2 hoch k minus 1 sein. Was ich jetzt hier dazu verwende, dass ich nicht mehr nur diesen einzelnen Summanden abschätze, sondern alle.

Das heißt, dieses ganze Ding ist kleiner oder gleich 1 plus die Summe von k gleich 1 bis n einhalb hoch k minus 1.

Tja, und das schreibe ich ein kleines bisschen anders. Ich möchte hier von k gleich 0 summieren, denn ich habe hier immer k minus 1 stehen. Das ist also die Summe j gleich 0, aber dann nur bis n minus 1 von einhalb hoch j. Und das ist eine geometrische Summe. Die können wir auch lösen.

Das ist also die 1 abgeschrieben plus 1 minus einhalb hoch n durch 1 minus einhalb. Und das rechnen wir aus.

Das ist 1 plus 2. Ich habe hier ein Mal minus 2, aber ich mache hier auch ein Minus draus. Dann kriege ich 1 minus 1 hoch n.

Und das ist kleiner als 3. Also bin ich schon fertig.

Die Folge an konvergiert. Und ich habe alle Freiheiten der Welt ihren Grenzwert dann E zu nennen.