Ich möchte 7x² plus 1 geteilt durch x hoch 3 minus x² plus 2x minus 2 Partialbruch zerlegen. Und da stellt sich zunächst die Frage, was ist denn eigentlich hier eine Zerlegung des Nenners?

Nun, wenn man so ein Polynom 3. Grades hat, dann sucht man erst mal wild, ob man nicht eine Nullstelle findet. Und in dem Fall ist das, glaube ich, sehr einfach. Wenn wir x gleich 1 einsetzen, dann steht der 1 minus 1, das wäre 0, plus 2 minus 2 ist auch 0. Das heißt, eine Nullstelle des Nenners ist x

gleich 1. So, und dann, was ist denn x minus 1 mal, jetzt brauchen wir den

zweiten Faktor, den müssen wir bestimmen, also was ist, was müssen wir hier reinschreiben, damit da x hoch 3 minus x² plus 2x minus 2 rauskommt. Nun, das sehen wir jetzt ganz gut. Hier steht x hoch 3 minus x

hoch 2. Wenn wir also x minus 1 mit x² multiplizieren, dann kommt x hoch 3 minus x hoch 2 raus und dann steht da noch 2 mal x minus 1, also plus 2. So,

wer das nicht sieht, der macht einfach eine Polynomdivision. Und das heißt, das wären unsere zwei Faktoren unseres Nenners. Das heißt, wir suchen jetzt a1

von x und a2 von x, sodass diese Gleichung hier stimmt. Also a1 durch x

ist eine Gradbeschränkung. Also der Grad von a1 plus der Grad von x² plus 2 soll kleiner gleich dem Grad von diesem Polynom sein. Das heißt, der Grad von

a1 plus 2, was der Grad hiervon ist, soll kleiner gleich 2 sein. Das heißt aber, dass der Grad von a1 gleich 0 sein muss. Und genauso können wir das für

den zweiten Term machen. Der Grad von a2 plus der Grad von x minus 1, das ist 1, das soll auch kleiner gleich 1 sein. Und das heißt, wir haben diesmal den Grad von a2 kleiner oder gleich 1 gegeben, also 1 oder 0. Das heißt, wir können sagen,

a1 ist konstant und a2 schreiben wir, weil das Grad kleiner gleich 1 haben muss, als b1x plus b0. Das heißt, es ist ein lineares Polynom vom Grad 1. So und

damit gehen wir in die Gleichung rein. Also wir setzen 7x² plus 1 gleich mit a1 mal x² plus 2 plus a2. Das ist nun b1x plus b0 mal x minus 1. Dann schauen wir mal,

was da rauskommt. Wenn wir das ausmultiplizieren und wieder Terme gleicher

zusammenfassen, da haben wir also a1x² plus 2a1 plus b1x² plus b0 plus b0x meine ich, minus b1x minus b0. Das ist a1 plus b1 mal x² plus b0 minus b1x. Und dann, das sind die

Terme mit x², dann bleibt noch plus 2a1 minus b0 übrig. Und jetzt sagt uns wiederum der

Koeffizientenvergleich. 7, das ist der Koeffizient von x², muss gleich dem Koeffizienten von x² hier sein. Also 7 ist gleich a1 plus b1. Dann haben wir kein x, also ist 0 gleich b0

minus b1. Und 1, der konstante Koeffizient, ist gleich 2a1 minus b0. So, das sind nun 3 Gleichungen. Schön, diese zweite hier ist die einfachste. Da können wir nämlich sagen,

b0 ist gleich b1. Das heißt, wir können b0 in den anderen Gleichungen gleich ersetzen. Da bleibt uns also a1 plus b1 gleich 7 und a2 a1 minus b1 gleich 1. So, das heißt,

das ist immer noch gleich bedeutend dazu, dass b0 b1 ist. Jetzt muss ich das hier irgendwie

weiterkommen. Da kann ich zum Beispiel diese beiden Gleichungen aufaddieren und eine behalte ich. Also ich will mal 2a1 gleich 1 plus b1 behalten und dann möchte ich diese beiden

Gleichungen aufsummieren. Das gibt 3a1 gleich 8. So, das hier kann ich jetzt nach a1 lösen.

Das ist a1 gleich 8 Drittel. Damit kann ich hier b1 lösen. Ich hätte es also lieber ein bisschen anders aufgelöst. Ich muss noch das 1 hier rüber bringen. b1, das ist 2a1

minus 1. Das ist also 16 Drittel minus 1 und das ist 13 Drittel und das ist

auch b0. Das heißt, ich schreibe es mal hier oben hin, a1 ist 8 Drittel, 8 Drittel durch x minus 1 plus 13 Drittel mal, dann haben wir hier x plus 1 durch x Quadrat

plus 2. Das ist unsere Partialbruchzerlegung in diesem Fall. Gut. Wozu braucht man Partialbruchzerlegungen?

Nun, wir haben schon eine Anwendung kennengelernt. Das ist eine Anwendung, bei der es darum

geht, dass wir uns einen Überblick verschaffen wollen, wie sieht eine rationale Funktion aus, also eine gebrochen rationale Funktion. Wenn wir das Polstellenverhalten von so einer rationalen Funktion studieren wollen, dann zerlegen wir die Funktion am besten in Partialbrüche, denn von solchen Partialbrüchen kann man das viel einfacher machen, weil

die einen kleineren Grad haben. Siehe das Video über rationale Funktionen mit einem Beispiel. Die zweite Anwendung, die ist zu finden bei der Integration von gebrochen rationalen Funktionen. Das funktioniert zwar auch nicht immer, genauso wie wenn

die Brüche sehr großen Grad haben, das Polstellenverhalten immer noch schwierig bleibt, aber manchmal hilft es eben doch. Und da möchte ich als Beispiel auf die Funktion von Anfang zurückgehen. Wir hatten x plus 5 geteilt durch x Quadrat minus 2 x minus

3. Partialbruch zerlegt in 2 durch x minus 3 minus 1 durch x plus 1. So und jetzt

können wir das benutzen, wenn wir das Integral von dieser gebrochen rationalen Funktion bestimmen wollen. Sagen wir mal, in irgendwelchen Grenzen, 4 bis 6. Da stehen wir erstmal

ein bisschen dämlich davor, denn wir haben keine Ahnung, wie wir hier von einer Stammfunktion finden. Aber wir haben das ja hier zerlegt. Also können wir das Integral über die

Funktion ersetzen, über das Integral über diese beiden Funktionen. Und ui, 1 durch x, können wir integrieren. Was ist denn die Stammfunktion von 1 durch x? Das ist der ln x. Also ln abgeleitet gibt 1 durch x. Das heißt, mit der Kettenregel kriegen

wir auch die Ableitung von ln von x minus 3, die ist 1 durch x minus 3, mal innere Ableitung, aber die ist 1. Oder wir kriegen auch raus, der ln von x plus 1 abgeleitet

ist gleich 1 durch x plus 1. Innere Ableitung ist wiederum 1. Das heißt, für die Funktionen hier auf dieser Seite haben wir Stammfunktionen gefunden. Und jetzt können wir die Linearität

des Integrals ausnutzen und finden, dass das Integral von 4 bis 6 über x plus 5 durch x Quadrat minus 2, x minus 3, das ist gleich zweimal dem Integral von 4 bis 6, 1 durch x minus 3, der x minus, das Integral von 4 bis 6, 1 durch x plus 1. Und jetzt

benutzen wir die Stammfunktion, die wir gefunden haben. Das heißt, das ist einmal der ln von x minus 3 in den Grenzen von 6 und 4 minus den ln von x plus 1 wieder

in den Grenzen 6 bis 4. So, das können wir ausrechnen. Das ist zweimal ln von

6 minus 3, das ist der ln von 3. Und dann haben wir noch den ln von 4 minus 3, das ist der ln von 1, minus zweimal ln 1, minus den ln von x, also von 6 plus 1, das ist

7. Und nun wieder plus den ln von 4 plus 1, das ist 5. So, der Logarithmus der ln von 1, das ist 0. Dann kann ich da noch ein kleines bisschen mehr umformen. Ich

kann sagen, hier zweimal ln 3, das ist der ln von 3 Quadrat, und dann mache ich plus den ln von 5 minus den ln von 7. Und dann benutze ich noch mal die

Funktionalgleichung für den Logarithmus. Dann finde ich, das ist insgesamt der ln von 3 Quadrat mal 5 geteilt durch 7. Das heißt, das ist der ln von 9 mal 5, das sind 45 Sieptel. Das war eine Anwendung der Partialbruchzerlegung.