Hier geht es um Minima und Maxima, und zwar sowohl von Mengen als auch von Funktionen. Fangen wir mit den Mengen an. Wir betrachten Teilmengen der realen Zahlen. Und unter dem Maximum einer Teilmenge von R verstehen wir eigentlich nur das größte Element dieser Menge, unter einem Minimum das kleinste Element dieser Menge.

Streng formal sieht das so aus. Also ein Element gross S0 in S heißt ein Maximum von S, wenn für alle Elemente klein S in dieser Menge gilt, dass S kleiner gleich S0 ist.

Und analog ist dann klein S0 ein Minimum, wenn klein S0 zu S gehört, und für alle Elemente der Menge gilt S0 ist kleiner gleich S. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Wenn die Menge S nur aus ein paar Elementen besteht, meinetwegen aus Minus 1, 5 und 17, dann ist es leicht zu sehen, das Maximum von S, das ist das größte dieser drei Zahlen, also 17.

Das Minimum ist die kleinste dieser drei Zahlen, also Minus 1. Das heißt wir können das ganz allgemein sagen, jede endliche Teilmenge von R

besitzt ein Minimum und ein Maximum. Nehmen wir das nächste Beispiel. Sagen wir wir haben ein Intervall von 0 bis 5.

Wir nehmen die Intervallgrenzen dazu. Das heißt wir betrachten die Menge aller reellen Zahlen X, die größer oder gleich 0 sind, aber kleiner oder gleich 5. Auch da sehen wir sofort die kleinste Zahl, die zu dieser Menge gehört, das ist die 0,

und die größte Zahl, die zu dieser Menge gehört, das ist die 5. Das heißt allgemein können wir auch sagen, wenn wir irgend so ein Intervall von A bis B gegeben haben,

dann ist das Maximum B und das Minimum ist A. Wie sieht das jetzt aber aus, wenn ich die 5 weglasse?

Ich betrachte dieses halboffene Intervall von 0 bis 5. Das Minimum, das können wir immer noch sehr schnell angeben. Das ist nach wie vor die 0, denn sie gehört zu S' dazu

und jede andere Zahl aus S' ist größer oder gleich dieser Zahl 0. Malen wir uns dieses Intervall mal hin 0 bis 5. Die 0 ist wie gesagt dabei, die 5 nicht.

Das wäre aber unsere natürliche Wahl für das Maximum. Das heißt, ich behaupte hier S besitzt kein Maximum.

Nehmen wir mal an, wir hätten eines. Sagen wir hier, S0 ist also kleiner als 5. Angenommen, 0 wissen wir ist auf alle Fälle nicht das Maximum.

S0 kleiner als 5 wäre dieses Maximum. Dann kann ich hier aber auch dieses Element hier betrachten

auf halbe Strecke zwischen S0 und 5. Wie schreibe ich das? Das ist S0 plus die Hälfte der Strecke, also 5 minus S0 halbe. Das ist dieses Element, das gehört immer noch zu dem Intervall dazu,

aber es ist echt größer als S0. Das heißt, das ist ein Widerspruch dazu, dass S0 das Maximum ist. Wir haben ein Element gefunden, das zu dieser Menge gehört und das echt größer ist als S0.

Auch diese Eigenschaft von diesem halboffenen Intervall können wir natürlich verallgemeinern. Dieses ganz offene Intervall A, B besitzt weder Minimum noch Maximum.

Betrachten wir den Grafen einer Funktion im Schaubild, dann haben wir ein sehr natürliches Verständnis dafür, was ein Minimum oder ein Maximum einer Funktion sein sollte.

Dieser Graf wächst anscheinend hier an seinen Enden immer weiter, der sollte kein Maximum haben. Aber nach unten sind die Werte, die er annimmt, schon beschränkt. Wenn ich hier mal so eine Parallele zur x-Achse ziehe, dann sieht das doch so aus, als wäre hier wirklich der kleinste Wert,

den die Funktion annimmt. Und genauso definiert man das auch formal. Das heißt, eine Funktion f von D nach R, die besitzt ein globales Maximum, wenn das Bild f von D, also das heißt die Menge der Werte,

die f wirklich annimmt, wenn diese Menge ein Maximum besitzt. Beziehungsweise natürlich genauso besitzt f ein globales Minimum, wenn die Menge der Bilder f von D ein Minimum besitzt. Das heißt, in diesem Fall hier wäre die Menge der Werte,

das wäre das Intervall hier von hier ab bis unendlich, die besitzt ein Minimum und das wäre dann eben das globale Minimum der Funktion.

Das Argument x, sagen wir hier x0, in dem dieser Wert angenommen wird, das ist dann eine globale Minimalstelle in dem Fall. Also ein Element x, D heißt globale Maximalstelle, wenn f von x eben genau dieses Maximum der Funktionswerte ist.

Und oft nennt man dann eben f von x den globalen Maximalwert und sagt f nimmt in diesem Punkt x sein globales Maximum an. Genauso fürs Minimum.

Jetzt sieht man in diesem Grafen aber auch noch, es gibt hier so Stellen, wo die Funktion jedenfalls in einem kleinen Bereich außen rum nicht kleiner wird oder nicht größer wird. Das sind solche Stellen hier, auch die gehört ja dazu.

So, solche Stellen, das wären lokale Minimal- bzw. Maximalstellen. Also schauen wir uns das genau an. Ein Element x aus D heißt eine lokale Maximalstelle von f,

wenn es ein offenes Intervall i, sagen wir ab, gibt, das Ganze in diesem Definitionsbereich drin liegt, das natürlich auch x enthält. Und so, dass der Funktionswert f von x das Maximum von Bild f von i ist.

Also sprich, wenn ich hier diesen Punkt x nehme, dann habe ich hier ein Intervall ab. Und die Werte in diesem Intervall, die gehen ungefähr von hier bis hier. Das heißt, in x0 ist dieser Bereich hier maximal.

Das heißt, x0 wäre die lokale Maximalstelle in diesem Fall. Ich habe natürlich auch hier eine lokale Maximalstelle, hier eine und hier noch eine und hier und hier und hier und hier

und hier hätte ich lokale Minimalstellen. So, jetzt habe ich das schon ein bisschen so angezeichnet. Wir sehen, wenn wir uns Tangenten angucken, die entlang solcher Maximal- oder Minimalstellen gezeichnet werden,

also Tangenten an den Graphen, dann sind die in solchen lokalen Extremstellen alle waagerecht.

Und wenn nun die Funktion differenzierbar ist, können wir diese waagerechte Tangente ausdrücken durch eine Eigenschaft der Ableitung.

Ja, wenn also f differenzierbar ist, dann gilt in einer lokalen Extremstelle x0 f' von x0 gleich 0.

Das heißt, es ist notwendig dafür, ein lokales Minimum oder Maximum zu haben, dass die Ableitung in dieser Stelle verschwindet. Schauen wir uns dessen ein paar Beispiele an.

Angefangen mit der Parabel f1, die ganz offensichtlich ein lokales Minimum hat in x0 gleich 0, wie sieht das mit der Ableitung von f1 aus? Nun, die ist 2x. Tatsächlich sehen wir f1' von 0.

Das ist 2 mal 0, also 0. Von dieser Funktion f2 sehen wir, die hat hier ein Minimum, ein lokales, hier ein lokales Maximum. Das sind dann sogar auch die globalen Extremwerte, weil sie hier sich anscheinend immer weiter der Null annähert.

Also erwarten wir Nullstellen der ersten Ableitung in etwa an diesen Stellen. Und die können wir jetzt wunderbar berechnen. f2' von x, ja, da brauchen wir Produkt- und Kettenregel. Das ist e hoch minus x² plus x mal e hoch minus x²

mal innere Ableitung minus 2x. Also 1 minus 2x² mal e hoch minus x². Da sehen wir, dieser hintere Term wird nie Null, aber das hier, das hat Nullstellen plus und minus Wurzel aus zweieinhalb.

Und das sind dann eben die beiden Extremalstellen dieser Funktion. Wir können aber auch diesen dritten Fall hier betrachten.

f3x geht nach x hoch 3, wenn die offensichtlich eben keine Extremstelle hat, auch keine lokale Extremstelle. Das Ding ist monoton steigend. Aber wir sehen die Ableitung f3' von x, das ist 3x²,

die hat eine Nullstelle x0 gleich 0, f3' von 0 gleich 0. Und das heißt, wir sehen hier nochmal sehr deutlich, dass die Bedingung, dass die Ableitung verschwindet,

nur notwendig, aber nicht hinreichend für die lokale Extremstelle ist. Also f' von x0 gleich 0 ist nur notwendig,

nicht hinreichend für ein lokales Extremum in x0.

Und Sie alle kennen aus der Schule schon die Lösung der Misere, wenn es sich nämlich um eine Funktion handelt, die mehrfach differenzierbar ist, dann können wir mit der zweiten Ableitung arbeiten.

Dazu müssen wir erstmal sagen, was denn mehrfache Differenzierbarkeit einer Funktion bedeuten soll. Wir nehmen also eine differenzierbare Funktion f von D nach R und wenn dann die Ableitungsfunktion f' wiederum differenzierbar ist, dann nennen wir f zweimal differenzierbar

und die Ableitung der Ableitungsfunktion, also f' oder kurz f2', das ist dann die zweite Ableitung bzw. die zweite Ableitungsfunktion von f. Es kann sein, dass man das Spiel jetzt weiterspielen kann,

das heißt, dass wir auch die zweite Ableitung wieder ableiten können, dann sprechen wir von der dritten Ableitung etc., das heißt, eine Funktion heißt n mal differenzierbar, wenn wir mindestens n solche Iterationen machen können, das heißt, es existiert f, f2', f3' bis fn,

das ist also die Ableitung der n-1 Ableitung. Dann gibt es auch den Begriff der n mal stetigen Differenzierbarkeit in x0 oder überhaupt,

da sagen wir dann, dass es dann gegeben, wenn die Funktion n mal differenzierbar ist und alle diese Ableitungsfunktionen, also f selbst, f' und f2' bis fn, auch wiederum stetig sind. Eine kleine Bemerkung noch dazu,

man kann zeigen, dass eine Funktion, die differenzierbar ist, automatisch stetig ist. Das heißt, wenn wir von einer n mal stetig differenzierbaren Funktion sprechen, dann ist das, was obendrauf auf die n mal Differenzierbarkeit kommt,

nur noch, dass die n-te Ableitung stetig ist. Denn, wenn die n-te Ableitung existiert, das heißt, wenn die n-1 Ableitung differenzierbar ist, dann ist die n-1 Ableitung automatisch stetig

und genauso für alle vorgehenden Ableitungen. Mit diesen Definitionen, kommen wir jetzt zu dem Satz über die Kurvendiskussion. Das heißt, wir fassen zusammen, was wir jetzt über lokale Minima und Maxima aus der Schule kennen.

Eine Funktion f, gegeben auf dem offenen Intervall ab, sei zweimal stetig differenzierbar. Und dann gilt, wenn wir eine lokale Minimal- oder Maximalstelle x0 haben, dann verschwindet die erste Ableitung an dieser Stelle.

Wenn wir aber nun eine Stelle x0 haben, an der diese Ableitung gleich 0 ist, und dann noch zusätzlich gilt, dass f2' größer ist als 0 an der Stelle,

dann haben wir in x0 eine lokale Minimalstelle, ist die Ableitung, die zweite in x0, kleiner als 0, dann haben wir eine lokale Maximalstelle. Und wenn man eben eine Funktion durch alle ihre Extremalstellen und ihre Monotonie-Eigenschaften beschreibt,

dann nennt man das Kurvendiskussion. Wir wollen mal zurückgehen zu unserem Beispiel und den Satz nochmal daran testen. Fangen wir an mit unserer Parabel. In der Parabel bilden wir die zweite Ableitung von f1, das heißt die Ableitung von 2x, das ist 2,

und das ist größer als 0, sogar für alle x. Und dann sehen wir tatsächlich, wir haben hier in dieser kritischen Stelle, also der Null-Stelle der ersten Ableitung, ein lokales Minimum, denn die zweite Ableitung ist größer als 0. Während hier hinten bei f3 die zweite Ableitung

ja gegeben ist durch die Ableitung von 3x², also 6x, und da sehen wir in 0, haben wir hier immer noch eine Null-Stelle der zweiten Ableitung, die zweite Ableitung ist hier weder größer

noch kleiner als 0, wir haben keine lokale Extremstelle. Und auch in f2 können wir das nachprüfen nochmal, also suchen wir mal die zweite Ableitung von dieser Funktion f2.

Ich leite also zunächst mal diesen Term ab, dann gibt das minus 4x mal den hinteren Term plus 1 minus 2x² mal die Ableitung des hinteren Termes minus 2x, dann können wir das zusammenfassen

zu minus 2x mal 3 minus 2x² mal e hochminus x². Und jetzt prüfen wir auf Positivität oder Negativität

in diesen kritischen Stellen, die wir ja schon als lokale Extremstellen aus dem Grafen abgelesen haben, also f2, 2 Strich von minus Wurzel 2 halbe.

Schauen wir uns das an, dieser Term, der ist immer positiv. Was ist denn x²? Das ist zwei Viertel, also ein Halb, das heißt, hier in der Klammer steht 3 minus 2 halbe, das ist größer als 0.

Ob diese zweite Ableitung an der Stelle positiv ist oder negativ ist, hängt also nur von diesem Term ab und minus 2 mal etwas Negatives, das ist positiv. Demnach haben wir ein lokales Minimum in minus Wurzel 2 halbe

und mit dem gleichen Argument sehen wir die zweite Ableitung in plus Wurzel 2 halbe. Da bestimmt sich das Vorzeichen nur aus dem Vorzeichen dieses Terms und das ist dann also kleiner als 0 und wir haben ein lokales Maximum.