Das Standard-Skalarprodukt hat viele schöne Anwendungen für Geometrie, auch die Sie schon kennen, also im R2 und R3. Zum einen möchte ich mal die Fläche eines Parallelogramms neu berechnen. Ich habe Ihnen hier ein Parallelogramm aufgemalt, also ich bin im R2, nehmen wir da zwei

Vektoren V und W, die sind ungleich Null, und betrachte das von Ihnen aufgespannte Parallelogramm. So, dieses Parallelogramm hat eine Höhe, es hat auch hier noch eine Höhe, aber eine reicht mir jetzt mal, dann weiß ich, die Fläche dieses Parallelogramms, die ist gegeben

als Grundseite mal Höhe, Grundseite wäre also die Länge von W, das ist die Norm von W, mal die Höhe. Wie sieht man das? Wir nehmen einfach dieses kleine Dreieck, setzen es hier hinten dran, und schon haben

wir einen Rechteck mit Seitenlängen H und Länge von W. So, jetzt möchte ich dieses kleine Stückchen hier mal beschreiben. Ja, das können wir, wir wissen dieses blaue Stückchen, das ist der Kosinus

von Alpha, mal die Länge von V. So, und mit dem Ausdruck für den Kosinus, vom letzten Video haben wir also das, das

ist das Skalarprodukt von V und W, durch die Norm von W, das ist also dieses blaue Stück.

So, ich kann es allerdings auch noch ein bisschen anders bestimmen, ich habe hier ja ein rechtwinkliges Dreieck, das heißt, ich kann den Pythagoras anwenden. Der sagt mir in dem Fall, meine Hypotenuse, das ist die Länge von V, Norm V zum

Quadrat ist gleich die Länge der Katheten, also H² plus diese Länge, das ist, ja das hier ist ja schon eine Zahl, also einfach nur V, W durch Norm von W und das Ganze

zum Quadrat. So, das kann ich benutzen, um es nach H aufzulösen. Ja, was mache ich? Ich berechne also hier erstmal V² minus V, W durch Norm W zum Quadrat und ziehe daraus

die Wurzel. Das ist H, ja, gucken wir, ob das wirklich H ist, ja, wir können einfach da die positive Wurzel erziehen, denn H ist größer gleich Null als Länge einer Strecke.

Gut, und jetzt möchte ich diese Gleichung hier mit der Norm von W erweitern, die

ist ungleich Null, denn W ist ungleich Null. So, dann steht auf der linken Seite die Norm von W mal H ist gleich, und jetzt die Norm von W, die ziehe ich gleich in die Wurzel rein, da muss ich sie quadrieren, da steht

dann also die Norm von V zum Quadrat mal die Norm von W zum Quadrat minus die Norm von W zum Quadrat mal diesen Bruch zum Quadrat, und da kann ich die Norm von W zum Quadrat rauskürzen, das heißt mir bleibt hier ein Skalarprodukt von V und W zum Quadrat

stehen. Gut, und das hier, das kennen wir, das ist nämlich die Fläche unseres Parallelogramms. Das heißt wir haben gezeigt, die Fläche des Parallelogramms A ist gegeben als die

Norm von V zum Quadrat mal der Norm von W zum Quadrat minus das Quadrat des Skalarprodukts der beiden aufspannenden Vektoren.

Als nächstes möchte ich den Qsinus Satz mit Ihnen beweisen, also Erinnerung an

die Schulgeometrie, wir nehmen ein Dreieck gegeben durch die Ecken A, B und C, die wir uns jetzt im Erdzweig gleich vorstellen, also hier A, B und C, irgendein Feld, Wald und Wiesn Dreieck, das hat die Seiten auch A, B und C immer den Punkten gegenüber

liegend, das heißt A, B und C sind in dem Fall wirklich die Seitenlängen, und wir haben hier einen Winkel Gamma und der Qsinus Satz sagt, dass C Quadrat plus 2 mal A mal B mal Qsinus dieses Winkels Gammas gleich A Quadrat plus B Quadrat ist, das

heißt, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist, dann ist dieser Term genau der, den ich dazu addieren muss, damit so eine Art Pythagoras wieder gilt, also für rechtwinklige

Dreiecke, in denen Gamma gleich 90 Grad ist, ist der Qsinus von Gamma gleich Null, dann fällt dieser Term weg und Sie haben wieder den Pythagoras drin. So, das möchte ich begründen, warum das so ist, und da haben wir jetzt ganz wunderbare

Möglichkeiten. Ich möchte mal das Ganze eben mit euklidischer Geometrie lösen, das heißt, ich brauche auf alle Fälle mal Vektoren und die kriege ich, indem ich eben meine Ecken A, B und C als Elemente des R2 interpretiere, dann kann ich sagen,

hier, das soll U sein, das ist also A minus C, genauso kann ich hier die Seite V nun Vektor mäßig schreiben als B minus C, das heißt, ich weiß jetzt, dass die Länge

von U, das hier ist U und das hier ist V, die Länge von U, die ist A, die ist B und die Länge von V, die ist A. Ok, dann kann ich auch sagen, was das hier ist,

W das sei, W minus A, mach mal lieber A minus B, mach mal es in die andere Richtung,

W ist A minus B, das ist U minus V und die Länge von W, die ist ja C, das heißt,

C quadrat, das ist W quadrat, das ist nun das Skalarprodukt von U minus V mit U minus V. Ich könnte hier auch Wurzeln schreiben, aber dann muss ich immer so viele Wurzeln

mitschleppen, deswegen will ich das quadriert betrachten, also C quadrat, das ist die Norm von W zum Quadrat und das ist einfach nur, weil die Norm von W die Wurzel aus diesem Skalarprodukt ist, ist es zum Quadrat dieses Skalarprodukt. So, das form ich

um, weil ich dieses Skalarprodukt hier bilinear in jeder Komponente habe, kann ich erst mal die erste Komponente auseinander ziehen, das gibt ein U,U minus V, minus ein V,U

minus V, das war die Linearität in der ersten Komponente und jetzt nutze ich die Linearität in der zweiten Komponente aus, dann steht der U,U minus U,V minus

V,U minus V,V. So, jetzt können wir gucken, was da steht, also das U,U, das steht

da, das schreibe ich mal ab, was ist denn das hier? Ja, das Skalarprodukt ist auch symmetrisch, das heißt U,V gleich V,U, das heißt ich ziehe hier zweimal U,V ab und mein V,V schreibe ich einfach wieder ab. So, und jetzt schauen wir mal was da

steht, U,U, das ist die Norm von U zum Quadrat, das ist b², V,V, das ist die Norm von V

zum Quadrat, also a² und dann habe ich hier noch dieses minus 2U,V, da wollen wir jetzt rauskriegen, dass das das ist, also schauen wir mal, also das ist die

Norm von U,V, wir haben ja einen Ausdruck für den Cosinus von Gamma, deswegen möchte ich hier mal ein bisschen erweitern, nämlich mit der Norm von U und der Norm von V, das muss ich natürlich wieder gut machen, das heißt ich muss das Skalarprodukt von U und V wieder durch diese Normen teilen. So, und jetzt erinnern wir uns, was das

war hier, denn das hier, das war genau das was wir schon als den Cosinus von Gamma gefunden

hatten und das heißt hier steht b² plus a² minus 2 mal die Norm von U, das ist b und die Norm von V, das ist a, mal den Cosinus von Gamma. So, lange Rechnung,

hier steht c² gleich b² plus a² minus 2 mal a mal b mal Cosinus Gamma, schiebe ich also diesen Term auf die andere Seite mit einem Plus, dann bekomme ich genau

den Satz raus.