So, jetzt haben wir endlich kennengelernt, wie man allgemein definiert, wann zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, nämlich, sobald ich einen Vektoraum, einen reellen Vektoraum mit einem Skalarprodukt ausgestattet habe, dann kann ich sagen, zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

So, jetzt haben wir gesagt, wir wollen am liebsten in senkrechten Koordinaten denken, das heißt, wie kriegen wir denn jetzt ein senkrechtes Koordinatensystem rein? Dazu muss ich erstmal definieren, was ich damit genau meine, und das ist das Folgende,

eine Orthogonalbasis ist eine Basis, sagen wir B1 bis BM, eines Vektoraums, also eines

wenn das Skalarprodukt, wie normal geschrieben ist, Bi, Bj, gleich Null ist, wenn i und gleich j ist, und das heißt gerade, dass die Basisvektoren paarweise senkrecht aufeinander

stehen. So, und was ist nun eine Orthogonalbasis, ist eine Orthogonalbasis, wenn wir sie wieder

ruhig B1 bis BM, deren Vektoren normiert sind, also das heißt, die Länge von

das ist das Skalarprodukt von Bi, Bi, das heißt eigentlich die Würzel draus, aber

die Würzel draus muss eins sein, dann ist das Ding auch selbst eins, also das heißt, eine Orthogonalbasis heißt Bi, Bj ist gleich das Kroneckerdelta ij, so,

wie man so eine Basis finden kann, das sagt uns das Gram-Schmidsche-Orthonormalisierungsverfahren, das sagt nämlich, wir setzen uns gerade in die Voraussetzung, dass es überhaupt sowas geben kann, wir haben also einen R-Vektoraum mit einem Skalarprodukt, und

wir sagen mal, wir haben schon irgendeine Basis V1 bis BM, dann wollen wir daraus eine Ortho-Normalbasis bilden, und die finden wir durch ein induktives Vorgehen, also zunächst fangen wir mit eigentlich diesem UK-Strich an, da sagen wir, UK-Strich

finden wir, indem wir den Kartenbasis-Vektor hier oben nehmen, VK, und davon die Linearkombination der uj abziehen, die wir schon gefunden haben, also j gleich 1 bis K minus 1, so,

und welche Linearkombination nehmen wir? Nun, wir nehmen als Koeffizienten gerade VK, uj, so, und damit orthogonalisiere ich das Ganze, dann muss ich aber noch normieren, also der so gefundene Vektor, der ist nicht einer von Länge 1, das

heißt, ich muss diesen Vektor UK-Strich noch durch seine Länge teilen, dann bekomme ich einen raus, der normiert es.