Nach den Vektoräumen nun zu den euklidischen Vektoräumen. Euklidische Räume, das sind Räume, in denen Längen und Winkel messbar sind. Also das sind Räume, die unsere natürliche Vorstellung von dem Raum, der uns umgibt, fortgeführt werden und so zum Beispiel auch Flächen und

Volumina messbar sind. Um euklidische Vektoräume ordentlich zu definieren, braucht man ein Skalarprodukt. Ich möchte hier das Standard-Skalarprodukt einführen und das ist eine Abbildung und zwar vom R hoch N mal dem R hoch N

hinunter nach R. Das heißt, wir nehmen zwei Vektoren und ordnen denen ein Skalar zu, ein Element in R. Und genauer machen wir das hier so, wenn unsere

Elemente x und y sind, beides Spaltenvektoren der Länge N, dann ist das Standard-Skalarprodukt von x und y gleich dem Produkt von x1, y1 plus dem Produkt von x2, y2 und so weiter bis zum Produkt von xn, yn oder kurz

geschrieben, das ist die Summe, j gleich 1 bis n von xj mal yj. Wir bilden also immer die Produkte entsprechender Komponenten und summieren die auf. Man kann das ein kleines bisschen noch eleganter schreiben.

Wir haben hier x als Spaltenvektor angegeben, dann machen wir daraus mal eine Zeile, dazu sagt man dann auch x transponiert, das wäre dann x1 bis xn, ein N-Tupel, also eine Zeile. Und das ist insbesondere auch eine 1

Kreuz n Matrix. Und dann können wir das Skalarprodukt von x und y auch schreiben als das Matrixprodukt von x transponiert mal y. Also machen wir ein

Beispiel, gehen wir in den R3. Das Skalarprodukt des Vektors 3, 1, 1 mit dem Vektor 1, minus 2, 1. Das ist 3 mal 1 plus 1 mal minus 2 plus 1 mal 1.

Das ist also 3 minus 2 plus 1, das ist 2. Skalarprodukte auf dem R hoch n

haben ganz bestechende Eigenschaften und ich zeige ihnen die hier für das Skalarprodukt. Zunächst mal gilt für alle Vektoren x und y, dass das Skalarprodukt von x und y gleich dem von y und x ist. Das heißt, das

Skalarprodukt ist symmetrisch in seinen Komponenten, vertausche ich sie, bleiben die Werte dieselben. Das können wir ganz einfach nachrechnen. Wir schreiben die Definition des Skalarproduktes von x und y aus, dass die Summe j gleich 1 bis n von x, j mal y, j. Jetzt benutzen wir, dass

diese x, j und y, j die Komponenten der Vektoren reelle Zahlen sind und die reellen Zahlen sind kommutativ. Das heißt, ich kann hier die Multiplikationsreihenfolge vertauschen. Das ist dasselbe, wie wenn

ich y, j mal x, j nehme. Und da sehen Sie, steht nichts anderes als die Definition des Skalarproduktes von y mit x. Weiter gilt jetzt nicht nur für x und y Vektoren, sondern ebenso z einem Vektor aus dem r hoch n.

Das folgende, das nennt sich dann die Linearität in der ersten Komponente des Skalarproduktes, nämlich dass das Skalarprodukt einer Summe x plus y mit z gleich der Summe der Skalarprodukte x mit z und y mit z ist. So wie wenn ich in der ersten Komponente mit einer Zahl

lambda multipliziere, dann ist das Skalarprodukt von lambda x mit y gleich lambda mal dem Skalarprodukt von x mit y. Auch das können wir beides leicht nachrechnen. Fangen wir mit der Summe im ersten Argument an.

Also betrachten wir das Skalarprodukt von x plus y mit z. Das ist nach Definition die Summe über x, j plus y, j mal z, j gleich 1 bis n. Und

hier benutze ich, dass ich das zum einen mal distributiv aus multiplizieren kann. Das heißt, hier steht x, j, z, j plus y, j, z, j. Also auch hier benutze ich wieder die Eigenschaften der reellen Zahlen und dass alle diese

Komponenten reelle Zahlen sind. Weiter gilt aber auch, dass die Addition assoziativ und kommutativ ist. Das heißt, ich kann diese Summen hier in Reihenfolge vertauschen. Hier steht einmal die Summe j gleich 1 bis n, x, j, z, j und dann

noch die Summe über die y, j, z, j, j gleich 1 bis n. Und wieder sehen sie, hier steht jetzt die Summe aus den gewünschten Skalarprodukten x mit z und y mit z. Nun wollen wir auch noch diese zweite Eigenschaft zeigen.

Wenn lambda eine Zahl ist und x und y Vektoren, dann ist das Skalarprodukt lambda x plus y, die Summe j gleich 1 bis n, lambda x, j mal y, j. Und die

Multiplikation auf den reellen Zahlen ist assoziativ. Das heißt, ich kann hier die Klammern gleich weglassen. Weiter ist Addition und Multiplikation durch

das Distributivgesetz verbunden und das heißt, ich kann hier aus all diesen Summanden den Faktor lambda ausklammern. Hier steht lambda mal die Summe über die x, j, y, j, j gleich 1 bis n. Und das ist wiederum nichts

anderes als lambda mal das Skalarprodukt von x und y. Somit haben wir auch die Linearität nachgerechnet und jetzt folgt noch die sogenannte positive Definite. Das heißt, dass das Skalarprodukt eines Vektors x mit sich selbst immer größer gleich Null ist und es ist genau dann gleich Null,

wenn auch x schon gleich Null ist. Berechnen wir also zunächst mal x, x. Das ist die Summe j gleich 1 bis n von x, j mal x, j. Das ist x, j Quadrat. Und diese

x, j Quadrat, die sind immer größer oder gleich Null. Quadrate können nie negativ sein. Und nun summiere ich n Zahlen auf, die alle größer gleich Null

sind und dann ist auch das Ergebnis größer gleich Null. Schauen wir uns jetzt den Fall an, dass wir hier genau Null haben, dass also Null gleich dem Skalarprodukt von x mit sich selbst ist. Das heißt Null ist gleich der

Summe j gleich 1 bis n über die x, j zum Quadrat. Wieder hier sind alle Summanden größer oder gleich Null. Und wann kann diese Summe überhaupt gleich Null werden? Nun, dann und nur dann, wenn alle Summanden gleich Null sind für j gleich 1 bis n. Das heißt alle x, j Quadrat sind gleich Null. Und das

heißt wiederum, dass alle x, j gleich Null sind für j gleich 1 bis n. Und das heißt, dass x der Nullvektor ist. Das sind die Eigenschaften des

Skalarproduktes. Ich möchte noch eine hinzufügen. Ich habe hier die Linearität erst mal nur in der ersten Komponente betrachtet. Aber zusammen mit der Symmetrie wissen wir auch, das Skalarprodukt ist auch linear in der zweiten Komponente. Das heißt, es gilt auch x, Lambda

y gleich Lambda x, y für alle x und y aus dem R hoch N und alle Zahlen Lambda aus R. Und es gilt auch x, y plus z gleich Skalarprodukt von x, y plus das Skalarprodukt von x, z für alle x, y und z aus dem R hoch N.

Und diese Linearität, die wir nun in beiden Komponenten haben, das nennt dann Bilinearität. Die Eigenschaft der positiven Definitheit, die benutzt man,

um die euklidische Norm zu definieren. Also wir schreiben die hier mit Doppelstrichen links und rechts von dem Vektor, dessen Norm wir betrachten wollen. Denn diese Norm definieren wir jetzt einfach nur als Wurzel aus dem Skalarprodukt von x mit sich selbst. Und da x, x immer größer oder gleich null

ist, ist diese Wurzel wohl definiert. Und ja, diese euklidische Norm, das nennt man auch die euklidische Länge eines Vektors. Machen wir ein paar

erste Beispiele. Ich möchte erinnern an die Standardbasis Vektoren, die Einheitsvektoren im R hoch N. Das sind also die, die nur an der hier unten im Index angegebenen Komponente eine 1 haben und nuller sonst. Stecken wir die

in Standard Skalarprodukt. Dann gilt das Skalarprodukt von ei mit ej. Das ist 0, wenn ei nicht gleich j und es ist 1 ansonsten. Dafür hat man einen schönen Ausdruck. Dazu sagt man, das ist gleich delta ij. Das ist das

sogenannte Kroneckerdelta. Das heißt es ist 1, wenn ei gleich j ist und 0 sonst. Ja, wie kommt das zustande? Die Komponenten, wie gesagt von ei, die sind alle 0 bis auf die i, die Komponenten von ej sind alle 0 bis

auf die j. Das heißt, in dem Produkt der Komponenten, in den Produkten der Komponenten sind alle Komponenten 0, außer vielleicht hier der i von ei und der j von ej. Aber damit auch das die Produkte von den beiden wirklich nicht

0 sind, müssen sie aufeinandertreffen. Das heißt, hier muss ei gleich j sein. Wenn wir das Skalarprodukt hier von 0, 0, 1, 0 nehmen und hier haben wir die i-te Komponente und wir nehmen das hier mal der j, das hier die j ist,

dann treffen hier immer nuller aufeinander bis auf höchstens hier eine 1, die kann hier auf die 0 treffen, wenn ei nicht gleich j ist und sie trifft

auf die 1, genau dann, wenn ei gleich j ist. Das heißt, insbesondere haben unsere Einheitsvektoren auch Norm 1. Machen wir noch ein anderes Beispiel,

was ist denn die Norm des Vektors 3, 1? Minus 2, das ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Das heißt, das ist die Wurzel

aus 3 mal 3, das ist 9 plus 1 mal 1 plus minus 2 mal minus 2. Das ist also die Wurzel aus 9 plus 1 plus 4, das ist Wurzel 14. Dieser Vektor

hat also die Norm 14 und das ist wirklich eine reelle Zahl größer oder Wir haben also den R hoch N versehen mit der euklidischen Norm und so eine Norm,

die eben aus diesem Skalarprodukt kommt, die macht den R hoch N dann zum euklidischen Vektoraum. Nun hatte ich anfangs davon gesprochen, dass

euklidische Vektorräume unsere natürliche Anschauung weiterführen. Wir sollten sie also auch wieder daraus zurück gewinnen können. Gehen wir demnach zurück, mal auf den R2. Das heißt, so ein Vektor x, der hat jetzt nur zwei Komponenten x1 und x2 und die Norm von x ist demnach gegeben

als Wurzel aus dem Skalarprodukt von x mit sich selbst, also als Wurzel aus x1 Quadrat plus x2 Quadrat. Und die Bedeutung davon, die können wir uns

noch mal anschauen. Wenn ich hier einen Vektor x einzeichne, dann hat der hier die Komponente x1 und hier die Komponente x2. Ich habe hier ein kathesisches Koordinatensystem gewählt, also ein rechtwinkliges. Demnach

haben wir hier auch wieder einen rechten Winkel und die Bedeutung von x1 und x2 in diesem Dreieck ist, dass jedenfalls ihre Beträge, wenn ich den Vektor hier unten eingezeichnet hätte, dann wäre x2 ja negativ, also die

Beträge von x1 und x2, die sind genau die Längen dieser Katheten. Demnach ist x1 Quadrat plus x2 Quadrat der Länge nach Pythagoras. Gerade die

Länge der Hypotenuse, ich nenne mal diese Länge c zum Quadrat und das heißt, wenn unsere Länge c eben größer oder gleich Null ist, c ist die

Wurzel aus, die Betragsstriche kann ich weglassen, wenn ich quadriere, x1 Quadrat plus x2 Quadrat. Das heißt unsere euklidische Norm entspricht genau der Länge der Dreieckseite, also der Länge auch

dieses Vektors nach der Pythagoreischen Geometrie.