Wir haben Matrizen interpretiert als lineare Abbildungen und Abbildungen von gleichen Definitions in den gleichen Zielbereich, die kann man addieren und mit Zahlen multiplizieren. Also machen wir mal ein Beispiel, auch nehmen wir einfach für A eine relativ kleine Matrix.

1, 2, 3, 4, 5, 6, das ist eine 3-Kreuz-2-Matrix. Dann ist 4a gegeben durch 4a von v gleich a mal v.

Und 4a geht also vom R hoch n in den R hoch m. Das ist unsere Abbildungsvorschrift. So, wenn wir nun, sagen wir mal, 2 mal phi a v betrachten wollen,

ja, das heißt 2a, 2 mal phi a, das ist wieder eine Abbildung von R hoch n in den R hoch m, die sagt, das ist 2 mal a mal v.

So, weil a eine Matrix ist und das also eine lineare Abbildung, kann ich das hier vorbeiziehen. Das ist a mal 2v. So, schreiben wir das mal aus. Das ist also a mal 2v, 1, 2, 3, 4, 5, 6 mal 2v1, 2v2.

Und das ist 2 mal v1 plus 2 mal 2v2. Und dann haben wir 3 mal 2, also 2 mal 3v1 plus 2 mal 4v2.

Und 2 mal 5v1 plus 2 mal 6v2. So, und jetzt schauen Sie sich an, was da ist.

Wir multiplizieren jeden einzelnen Koeffizienten hier mit 2. Das heißt, wenn wir das schreiben als 2 mal 1, 2 mal 2, 2 mal 3, 2 mal 4, 2 mal 5 und 2 mal 6,

diese Matrix, und multiplizieren da wieder v1, v2 ran, dann ist das das Gleiche. Das heißt, die Abbildung 2 phi a, die ist beschrieben durch diese Matrix hier,

in der wir alle Elemente, alle Einträge mit 2 multiplizieren. Also 2 mal phi a, das ist phi von 2a, wo 2 mal a eben 2 mal aj.

Wenn a die Matrix mit den Einträgen aj ist. Und das geht natürlich nicht nur für 2, sondern für jedes, ja für jede Zahl lambda. Genauso, wenn wir 2 Matrizen nehmen, a und b, nehmen wir also eine Matrix b noch dazu,

machen wir es uns einfach so was hier, 0, 0. Dann kriegen wir daraus, ja, die Summe der 2 Abbildungen phi a plus phi b.

Und die ist dadurch gegeben, dass phi a plus phi b einen Vektor v abbildet auf a mal v plus b mal v. Das heißt, a mal v plus b mal v, das ist, ja, wir haben v1 plus 2, v2, 3v1 plus 4v2, 5v1 plus 6v2,

und dazu addieren wir v1, v2, 0. Das ist v1, 2v1, also 1 plus 1 schreibe ich mal, 1 plus 1, v1 plus 2v2.

Dann haben wir 3v1 plus 4 plus 1, v2 und 5v1 plus 6v2. Und das ist das gleiche, als wenn ich die Matrix hier 1 plus 1, 2, 3, 4 plus 1, 5, 6 mit v multipliziere.

Das heißt, setze ich a plus b gleich die Summe komponentenweise aij plus bij über i und j.

Dann habe ich phi a plus phi b durch die Matrix a plus b ausgedrückt. Und deshalb definiert man die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl genauso, wie wir das gerade im Beispiel gesehen haben,

nämlich indem man jede Komponente von a mit dieser Zahl multipliziert. Und zwei Matrizen von denselben Ausmaßen addiert man, indem man eben alle ihre Komponenten jeweils addiert.

Und ich sage es nochmal dazu, Addition von Matrizen mit verschiedenen Abmessungen macht absolut keinen Sinn. Denken Sie immer dran, was ist das eigentlich? Unsere Matrizen stellen zum Beispiel lineare Abbildungen dar.

Ich kann keine linearen Abbildungen addieren, ich kann überhaupt keine Abbildungen addieren, bei denen nicht Definitions- und Zielbereich dieselben sind. Gut, das heißt, diese skalare Multiplikation und diese Addition von Matrizen, die ist eigentlich genau dieselbe,

wie wir sie für Spalten oder Zeilenvektoren kennengelernt haben. Auch da geht das komponentenweise. Und genauso wie da sieht man die Rechenregeln für die skalare Multiplikation und die Addition von Matrizen.

Das heißt, dies gilt jeweils für alle skalare Lambda und Mu und für alle m x n Matrizen a und b. Wir haben eine Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren und der Addition.

Die Addition ist kommutativ, die Addition ist auch assoziativ und wir haben sogar ein Null-Element. Wenn wir nämlich die Matrix nehmen, die überall nur den Eintrag Null hat und wir addieren die zu einer anderen Matrix a dazu, dann ändert das die Matrix gar nicht. Wir bekommen einfach wieder a heraus.

Genauso können wir die Matrix nehmen, wo wir einfach vor jedem Eintrag ein Vorzeichen schreiben. Das heißt, wir nehmen die Matrix mit minus eins mal und wenn wir dann a mit minus eins mal a addieren, dann kommt die Null-Matrix raus. Genauso wenn wir mit Skalaren multiplizieren, ist es egal,

ob wir erst ein Skalar nach dem anderen dran multiplizieren oder ob wir die Skalare erst zusammen multiplizieren und dann mit der Matrix. Dann gilt auch, wenn ich ein Skalar an eine Summe dran multipliziere,

dann kann ich die auch an die einzelnen Summen ran multiplizieren und die dann addieren. Oh, und hier kommt ein kleiner Tippfehler, Entschuldigung, das gleiche gilt auch für die Addition in den Skalaren. Wenn ich die an eine Matrix a dran multipliziere, dann kommt daraus Lambda a plus Mu mal a.

Also entschuldigen Sie diesen Kleintippfehler. Und wenn ich die Eins aus dem Grundkörper nehme und dann a dran multipliziere, dann ändere ich keine einzelnen Komponente und demnach ist 1 mal a gleich a. Was heißt das? Die m-Kreuz-n-Matrizen, die erfüllen alle Axiome, die ein Vektoraum erfüllen musste.

Das heißt, die m-Kreuz-n-Matrizen über R sind ein Vektoraum. Beziehungsweise natürlich genauso, wenn ich das über einem anderen Körper mache, ist das ein K-Vektoraum.

Ja, und das erklärt auch noch mal ein bisschen die Bezeichnung, die wir anfangs erwähnt haben. Man bezeichnet die m-Kreuz-n-Matrizen auch manchmal als R hoch m mal n.

Das heißt, man nimmt das m mal n fache kathesische Produkt von R mit sich selbst. Und das hat ja auch eine Vektoraumstruktur. Und das ist exakt genau die gleiche Vektoraumstruktur, die wir hier für die in einem Rechteck angeordneten Spaltenvektoren gefunden haben.