In der Praxis verarbeitet eine Funktion Eingabedaten, d.h. wenn f von m nach n geht, dann würden

wir den Definitionsbereich auch mit den Eingabedaten darstellen und in unserem Zielbereich

n erwarten wir die Ausgabe und oft müssen solche Eingabedaten und die Ausgabedaten anschließend noch weiterverarbeitet werden, z.B. durch eine weitere Funktion.

Diese Funktion g muss dann natürlich jedenfalls die Ausgabe, also das Bild f von m, enthalten. Ich schreibe hier mal g von n nach, wenn nicht wegen, eine Menge Pi.

String mathematisch definieren wir das so. Es sei f von m nach n eine Funktion und auch g von n nach Pi. Dann nennen wir die Verkettung oder Komposition von f und g die Abbildung g nach f von m

nach p, also x schickt indem wir erst f auf x anwenden und danach noch g auf f von x. Ok, ich will dieses g nach f noch ganz kurz erläutern, denn das wird ja eigentlich Wir schreiben von links nach rechts, aber hier muss man das von rechts nach links lesen,

einfach weil wir unser Argument, das wir in die Funktion reinfüttern, hinschreiben und dann von links die Funktion drauf lassen. Deswegen wird hier g nach f ausgeführt, wie wir es hier auch noch mal sehen.

Sie haben wahrscheinlich schon hintereinander Ausführungen von Funktionen gesehen, ohne es zu bemerken. Ich gebe Ihnen mal ein Beispiel. Ich möchte eine Funktion f von r nach r betrachten, die dadurch gegeben ist, dass x geschickt wird auf x² plus 3.

So schauen wir uns kurz an, ist das wohl definiert? Ja, hier haben wir ganz r und wir quadrieren eine Zahl, dann ist sie nicht negativ.

Wenn wir noch 3 dazu addieren, sind wir auf alle Fälle im positiven Bereich, diese Wurzel ist wohl definiert. Gut, ich habe das jetzt schon fast angedeutet, wir nehmen eine reelle Zahl und quadrieren sie. Das heißt, wir fangen schon mal an, erst mit x zu quadrieren, dann addieren wir

3 dazu und dann ziehen wir noch eine Wurzel raus. Diese Funktion f ist also darstellbar als Verkettung von Funktionen.

Ich fange an mit g1 von r nach r größer gleich 0, die x schickt auf x².

Dann definiere ich g2, das soll von r größer gleich 0 nach r größer als 0 gehen, und wir schicken da x auf x plus 3 und anschließend noch g3 von r größer als 0 nach r, in dem

wir x schicken auf Wurzlex. Gut, natürlich habe ich hier nicht den maximal möglichen Definitionsbereich genommen, also ich kann bei g2 zum Beispiel auch ganz r nehmen und hier r größer

gleich 0, aber ich habe das gleich so gemacht, dass der Definitionsbereich von g2 dem Zielbereich von g1 entspricht und genauso für g3 zu g2.

So jetzt schauen wir uns mal an, was passiert, wenn ich g1, g2 und g3 verkette und schauen uns an, was passiert da mit x. Also zunächst schicken wir x durch g1 auf x².

So dieses x² ist jetzt unser neues x, das wir in g2 einsetzen, das heißt wir addieren g3 dazu und das wiederum setzen wir in g3 ein und g3 heißt wir ziehen aus einem Element

hier die Wurzel, Wurzel aus x² plus 3. Also heißt das f von x gleich g3 nach g2 nach g1 von x und das ist, ich schreibe

es nochmal ausführlich hin, g3 von g2 von g1 von x, 3, alle klammern wieder zu und das ist die Wurzel aus x² plus 3 und zwar gilt das für alle x aus unserem Definitionsbereich

von f. So wir können das noch ein kleines bisschen verallgemeinern, bisher haben wir gesagt, die Definitionsbereich der Funktion, die ich nach der ersten ausführe, muss gerade

der Zielbereich der ersten Funktion sein, aber das ist eigentlich mehr als wir brauchen, es reicht vollkommen aus, wenn das Bild der ersten Funktion in dem Definitionsbereich

der zweiten liegt. Also beachte, damit die Verkettung wohl definiert ist, ich nenne es hier mal wieder g nach f, wie wir es vorne hatten, das heißt wir haben f von

m nach n und sagen g geht nun von n Schlange nach p, so und damit das wohl definiert

ist, reicht es nun, dass das Bild von f enthalten ist im Definitionsbereich in Schlange von g.

Noch ein Beispiel dafür, eine kompliziertere Funktion als Verkettung von sehr einfachen Funktionen zu schreiben, wir betrachten die Funktion f, eine reelle Funktion, ich muss aber gleich den Definitionsbereich noch ein wenig einschränken, ich will nämlich x schicken auf 1 durch x² minus 1, damit das hier definiert ist, darf der

Nenner nicht Null werden, das heißt ich muss die Nullstellen von x² minus 1 ausschließen, sprich plus und minus 1 aus der Definitionsmenge entfernen, dann ist das hier eine wohl definierte Funktion, so was macht die mit dem x, nun x wird zunächst quadriert,

dann ziehe ich 1 davon ab und dann bilde ich davon den Kehrwert und das sind genau die Schritte in der Verkettung, schreiben wir sie auf, unsere erste Funktion g1, die soll also den gleichen Definitionsbereich haben wie f, ich schreibe das verkürzt als

r ohne plus und minus 1, Werte sind wieder reell und die soll eben x schicken auf x ², weil ich hier plus und minus 1 ausschließe, wird x² nicht 1, also kann ich meinen Zielbereich so einschränken, im nächsten Schritt möchte ich nun 1 abziehen, ich

nehme dazu wieder den gleichen Definitionsbereich, wie ich hier den Zielbereich hatte, das wird wieder eine reelle Funktion, x, 1 abgezogen, also x geht auf x minus 1,

x ist nicht 1, also ist x minus 1 nicht 0, und im letzten Schritt bilde ich den Kehrwert, meine Definitionsmenge ist jetzt genau die, die ich brauche, ich muss nämlich die 0 ausschließen, von der kann ich den Kehrwert nicht bilden, schickt also x auf 1 durch

x, und jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn ich die Verkettung g1, g2, g3, und g3 betrachte, also da wird x zunächst durch g1 abgebildet auf x², dieses x² wird

nun unter g2 weiter abgebildet auf x² minus 1, und schließlich wird davon unter g3 der Kehrwert genommen, insgesamt erhalte ich also x geht auf 1 durch x² minus

1 mit dem richtigen Definitionsbereich, das heisst f ist wirklich die Verkettung aus g3, g2 und g1.