So, für Folgen, da hatten wir ja gesehen, ja, wenn a n und b n konvergente Folgen waren,

dann war auch a n mal b n eine konvergente Folge und zwar mit limes a n mal b n gleich

limes a n mal limes b n. Ja, wie sieht das für Reihen aus? Was möchte ich überhaupt

verstehen unter einem Produkt aus zwei Reihen? Na gut, wenn die Grenzwerte existieren, dann weiß ich natürlich, das ist a mal b, aber gibt es eine Reihe, wie so wir da oben die Folge hatten,

sodass deren Grenzwert dann auch a mal b ist. Nun, das heißt, wir suchen eine Reihe c n,

Summe über die c n, mit Summe über die c n, die irgendwie sich aus diesen Koeffizienten ergeben müssen, hat den Grenzwert a mal b. Gut, ich müsste natürlich immer noch Grenzen schreiben, um das ordentlich zu machen. Dann machen wir das. Tja, also was wir auf alle

Fälle ausschließen können, ist, ist das nicht die Summe über die Produkte a n mal b n. Das

kann niemals das Produkt dieser beiden sein, das geht ja schon bei endlichen Summen schief.

So, und in diesem Abschnitt geht es eben um das Cauchy-Produkt von Reihen. Das Cauchy-Produkt,

das ist genau so ein Produkt, das das schafft, nachdem wir hier gesucht haben. Also, Definition. Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen, Summe über die a n und Summe über die b n, ist die Reihe über die c k, nenne ich es mal. Wobei die Glieder hier laufen, ja, erst

mal muss ich sehen, ich lasse hier schon mal am besten die Reihe gleich von n gleich 0 bis unendlich immer laufen. Dann finde ich als, ja, das Glied c k, die Summe

über die a j mal b k minus j, für j gleich 0 bis k. Also, was meine ich damit? Schauen wir uns das mal an. Für j gleich 0 bis 0, also für c 0, habe ich dann nur einen

Summanden, nämlich a j gleich 0, 0 und b 0 minus 0. Das heißt c 0 ist a n mal b 0. Bei c 1 habe ich schon zwei Summanden, j gleich 0 und j gleich 1. Für j gleich 0 habe ich a 0 mal b 1 minus 0, das ist a 0 b 1. Und für a 1 habe ich hier b 1 minus 1, also

b 0. Und c 2 noch, da habe ich drei Summanden, j gleich 0, 1 und 2. Für j gleich 0 habe ich hier 2 minus 0, also 2. Für j gleich 1 habe ich a 1 und b 2 minus 1, also a 1

b 1. Und für j gleich 2 habe ich hier hinten ein 2 minus 2 ein 0, also a 0 b 2 plus a 1 b 1 plus a 2 b 0. Das heißt, das K-Glied hier, das c k, das ist gegeben

als die Summe über die Produkte aus Koeffizienten hier a j mal b l, wobei die Indizes j und l immer erfüllen, dass j plus l gleich k ist. So, jetzt sagen sie aber im Moment,

viele Reihen haben wir ja gar nicht von 0 losindiziert, sondern höher, aber das macht nichts. Dann sind eben die Terme einfach 0, die rausfallen. Sie können den Nulten

zumanden ruhig dazu setzen, indem sie hier a 0 einfach gleich 0 setzen und b 0 gleich 0 setzen. Und dann fallen eben im Cauchy-Produkt weg alle Terme, in denen hier noch eine Null auftaucht. Oder wenn die Summen bei 5 losgehen, dann würden sich entsprechend

kleinere Terme, dann wäre ja, wenn n hier beide Male bei 5 losgeht, die kleinste Summe, die sie aus solchen Indizes bilden könnten hier überhaupt 10. Da wäre 10 0 bis 10 9 0 und erst bei 10 würde es anfangen. So, am besten, klar wird das aber immer

noch an einem Beispiel. Nehmen wir doch einfach mal die geometrische Reihe und nehmen sie mit sich selbst mal, bilden also das Cauchy-Produkt der Reihe q hoch j für j gleich 0 bis unendlich mit, damit wir es ein bisschen leichter haben, habe ich

hier mal einen anderen Index benannt, l gleich 0 bis unendlich q hoch l. Ja, wir müssen die Partialsumme, also wir müssen bilden die Koeffizienten c 0. C 0, das

ist ja, hier den a 0 und hier auch b 0, das ist also q hoch 0 mal q hoch 0, das

ist 1. C 1, das ist, ja da brauche ich hier eine erste Potenz, das nette ist, hier

sind die Exponenten gleich den Indizes, das macht es mir hier leichter. Also, musste ich hier nur schauen, wie oft kann ich q hoch 1 aus solchen Dingen hier kombinieren. Nun, das ist q hoch 0 mal q hoch 1 plus q hoch 1 mal q hoch 0. Das sind 2q. Bei c

2, q², wie kann ich das zusammenkriegen? Also ich kann q² mal q hoch 0, das wäre dann j gleich 2 und hier l gleich 0 plus j gleich 1 und l gleich 1 und dann noch

j gleich 0 und l gleich 2. So, das sind immer q² und davon 3 Stück. Also versuchen

wir uns mal an der allgemeinen Summe, vielleicht kriegen wir es ja hin, c k, das ist die Summe j gleich 0 bis k über, allgemein steht da ja a j b k minus j, das ist in

j mal q hoch k minus j. Das ist also die Summe j gleich 0 bis und, hoppla, bis k,

entschuldigen Sie, q hoch k. So, da sehen wir, das ist eine Konstante in j, das heißt, das kann ich vor die Wurzel ziehen und dann muss ich noch gucken, wie viele

Summanden habe ich hier, das sind k plus 1 Stück. So, das kriegen wir raus und das deckt sich auch mit dem, was wir da haben, c 0 wäre dann q hoch 0 mal 1, c 1 wäre q mal 2, c 3 wäre q² mal 3 und so weiter. Das heißt, das Cauchy-Produkt von q

hoch j von j gleich 0 bis unendlich mit q hoch l, l gleich 0 bis unendlich, das ist

gleich die Reihe über k plus 1 mal q hoch k für k gleich 0 bis unendlich. So, und

jetzt, wie versprochen, das Cauchy-Produkt, das realisiert ein gewisses Produkt über die Reihen, also wenn ich zwei Reihen nehme, Summe über die a k mit Grenzwert a und

Summe über die b k mit Grenzwert b, dann seien das zwei absolut konvergente Reihen und dann ist auch ihr Cauchy-Produkt absolut konvergent und das gilt für dieses Cauchy-Produkt,

Summe über die c k hat den Grenzwert a mal b. Ja, also hier nochmal eine dicke Warnung, das muss man eigentlich gleich unter den Satz dazuschreiben, wenn die beiden Reihen nur bedingt konvergent sind oder auch wenn nur eine von ihnen bedingt konvergent

ist, dann können wir zwar das Cauchy-Produkt hinschreiben, wir können die Reihe hinschreiben, die genau die so definierten Koeffizienten hat, aber diese Reihe kann divergent sein. Es kann auch passieren, dass die Reihe wieder konvergiert, aber dass der Grenzwert nicht a mal b ist, sondern ein anderer. Gut, aber für absolut konvergente Reihen

können wir das Cauchy-Produkt bilden. So, und jetzt sagen Sie im Moment, warum haben wir nicht eigentlich für das Cauchy-Produkt die Partialsummen folgen genommen und

haben die miteinander multipliziert? Sag ich ja, das haben wir nicht, es ist wirklich was anderes, was wir hier machen. Also wenn wir die enden Partialsummen der einen Reihe und der anderen zusammen multiplizieren, dann, das sind hier endliche Summen, die

können wir also wunderbar vertauschen, dann wäre das die Summe j gleich 0 bis n und l gleich 0 bis n a j mal b l. Also da kommen wirklich alle Kombinationen vor, von 0 bis n hier. Wenn wir uns angucken, was ist die ende Partialsumme des Cauchy-Produktes?

Nun, das ist die Summe k gleich 0 bis n über die ck und jetzt setzen wir die Definition für die ck hier ein, kriegen wir die Summe k gleich 0 bis n abgeschrieben, dann

die Summe j gleich 0 bis k a j mal b k minus j. So, da kriegen wir zwar auch solche Produkte a j mal b l, aber eben nicht alle, denn wir hatten gesagt, j plus l, das muss

immer gleich k sein. Das heißt, wenn wir hier auch noch k gleich 0 bis n laufen wird j plus l immer kleiner gleich n sein und natürlich großer gleich 0. Das heißt, hier ist die Summe, diese beiden Indizes durch n beschränkt, hier kriegen wir in

jedem Index die Möglichkeit, dass er bis n läuft. Das heißt, das ist wirklich nicht das gleiche. Aber wenn wir jetzt im LiMES n gegen unendlich das Ganze betrachten,

dann kriegen wir hier ja sowohl alle solchen Produkte geschenkt, genau wie wir hier alle Produkte geschenkt kriegen. Wir kriegen auch keins doppelt. Das heißt, der LiMES

dieses Produktes, der beiden Partialsummen und der LiMES, des Koshi-Produktes, die stimmen überein, weil bei beiden Produkten dieselben Summanden addiert werden, nämlich alle a j b l und jetzt kommt, es stimmt doch nicht so ganz überein, nämlich nur

bis auf die Reihenfolge. Hier kommt die in einer ganz anderen Reihenfolge als hier. Und wenn wir jetzt aber absolut konvergente Reihen reinstecken, dann können wir die

Reihen hier beliebig umordnen, hatten wir gesehen. Und weil wir die Reihen, wenn sie absolut konvergent sind, umordnen können, ohne den Grenzwert zu ändern, werden wir im LiMES diese beiden Grenzwerte auch übereinstimmen. Deshalb stimmt der Satz

über das Koshi-Produkt. Konvergente, nicht nur konvergente, ich habe das Wichtigste

Koshi-Produkt, möchte ich Ihnen das Koshi-Produkt von zwei Exponentialreihen ausrechnen. Und zwar einmal von der Exponentialreihe in z und einmal von der in w miteinander. Also schreiben wir nochmal hin, was ck allgemein ist, das ist die Summe über

die aj bk minus j für j gleich 0 bis k. Und dann haben wir hier, ist dann ck gleich, Summe j gleich 0 bis k. Und dann haben wir hier das aj, das wäre hier der j-Koeffizient,

also ein z hoch j durch j-Fakultät, mal bk minus j, das ist der k minus j-Koeffizient hier, also ein w hoch k minus j durch k minus j-Fakultät. So, irgendwie, Sie

sehen ja schon, was rauskommen soll, wir wollen die Funktionalgleichung jetzt zeigen. Das heißt, wir müssen hier irgendwie noch was zusammenfassen. Ja, und jetzt haben

wir schon ein j-Fakultät und ein k minus j-Fakultät und das riecht schon ein kleines bisschen nach einem Binomialkoeffizienten. Schreibt mal ab, was wir haben, die haben

wir noch die Summe j gleich 0 bis k. Und wenn ich hier mit einem k-Fakultät eine weitere, das muss ich natürlich wieder gut machen, hier draußen, dann steht hier gerade k über j, ein Binomialkoeffizient. Und so ist das Ganze dann 1 durch k-Fakultät

mal die Summe j gleich 0 bis k, k über j, z hoch j, w hoch k minus j. Und da haben

wir unseren binomischen Leersatz, das ist gleich, das 1 durch k-Fakultät schreiben wir ab, z plus w hoch k. Also unser k-Fakultät-Koeffizient ist das hier, das heißt, x von z mal Exponenzialreihe

von w ist gleich die Summe k gleich 0 bis unendlich, z plus w hoch k, z plus w

durch k-Fakultät. So und jetzt schauen Sie sich an, wie die Exponenzialreihe definiert war, ob wir jetzt über n oder k indizieren, ist völlig egal. Hier steht wirklich die Exponenzialreihe in z plus w. Gut, das heißt, wir haben auch gleich mit den ersten

Schritt geschafft. Ich hatte Ihnen schon mal erzählt, dass die Exponenzialreihe auch wirklich die Exponenzialfunktion darstellt und dann musste ich ja die Funktionalgleichung der E-Funktion erfüllen und sehe da, sie tut es.