Wir neigen ja dazu, gerne in rechtwinkeligen Koordinaten zu denken, das heißt, irgendwie ist es für uns einfach, für unser Gehirn verständlich, wenn wir rechte Winkel haben, dann ist alles in Ordnung. Das heißt, oft möchte man auf Teufel komm raus, irgendeinen Vektoraum mit einer Basis versehen, nennen wir die Basis V1 bis Vm, so dass diese Basisvektoren

paarweise senkrecht aufeinander stehen. Das heißt, Vi senkrecht auf Vj für i und gleich j, für i und j von 1 bis m. Aber was heißt denn senkrecht? Also was heißt zum Beispiel

für den Vektoraum pn, der Polynome, vom Grad kleiner gleich n, was heißt da senkrecht?

Und auch so, im R hoch n gibt es da nicht vielleicht verschiedene Arten, wie Vektoren aufeinander senkrecht stehen können? Die Antwort ist ja. Und was Mathematiker macht, um sich daraus zu retten, das ist zu sagen, was ein Skalarprodukt ist. Wir haben schon

ein Skalarprodukt kennengelernt, als wir das Euclidische Skalarprodukt gemacht haben. Also, als Beispiel hatten wir Euclidisches Skalarprodukt, da war V,w ausgedrückt in

euklidischen Koordinaten, also bezüglich der Standardbasis V transponiert mal w. So, aber das können wir viel allgemeiner halten. Eine Abbildung von zwei Kopien von

V runter nach R, und jetzt brauchen wir wirklich R, wir brauchen einen reellen Vektoraum, die nennen wir Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften hat. Die erste ist die Symmetrie, das heißt, wenn ich die Argumente vertausche, V,w und w,v und

w vergleiche, dann muss es für alle V und w dasselbe sein, symmetrisch. Dann soll V,w linear sein in der zweiten Komponente, sagen wir mal, also V,u plus w ist V,u

plus V,w, das wäre die Additivität, dann müssen wir noch Konstanten rausziehen, also Skalare rausziehen, lambda mal V,w ist lambda V,w. Und zusammen gibt es nicht nur die Linearität in einer Komponente, sondern auch in der anderen. Das heißt,

wir haben da Bilinearität durch Symmetrie. So, und dann soll das Skalarprodukt noch eine ganz wichtige Eigenschaft erfüllen, es soll nämlich positiv definit sein. Das

heißt, wenn wir einen Vektor V mit sich selbst paaren, dann kommt immer etwas aus, was größer oder gleich Null ist. Und wir wissen, dass das Ganze dann auch nur Null sein kann, wenn V gleich Null sein kann. So, also eine Abbildung, die all das erfüllt, heißt Skalarprodukt. Und dann haben wir einen Begriff von Orthogonalität,

so wie wir es auch fürs Euklidisches Skalarprodukt heißen, das heißt, zwei Vektoren heißen orthogonal oder senkrecht, wenn sie ins Skalarprodukt geschmissen Null ergeben. Und andersherum, wenn wir ein Skalarprodukt haben, dann können wir die

Länge von V definieren als die Würzel aus dem Skalarprodukt von V mit sich selbst. Das sind also Verallgemeinerungen des Euklidischen Skalarproduktes. So, es gibt einen Vektor, der immer senkrecht auf jedem anderen Vektor steht. Es ist Null.

Der Null Vektor hier steht senkrecht auf jedem anderen. Null Komma V ist gleich Null. So,

und das ist eine Eigenschaft der Linearität, die muss Null auf Null schicken und nirgends von sonst hin.