Sie kennen nun bereits die Objekte der Aussagenlogik, d.h. Variablen, Wahrheitswerte und die Junkturen nicht und und oder. Und sie wissen um die Definition einer Aussage. Die wiederholen wir nochmal kurz. Eine mathematische Aussage ist eine bewertete Aussageform oder eine

bewertete Formel. D.h. wenn wir irgendeine Formel mit Objekten der Aussagelogik hingeschrieben haben und die Variablen darin bewertet haben, den Wahrheitswerten zugeordnet haben, dann nennen wir das eine Aussage. Und da steckt schon drin, dass auch diese Aussage dann

bewertet ist, d.h. dass wir der dann auch einen Wahrheitswert zuweisen können. Und wie das genau geht, das steckt in dieser Definition. Also, da steckt drin so eine Variablen

a oder der Aussage a, da weisen wir einen Wahrheitswert zu, d.h. die Aussage a bekommt den Wahrheitswert, den wir eben der Variablen a zuweisen wollen, wahr oder falsch. Dann bekommt nicht a den gegenteiligen Wahrheitswert. D.h. nicht a ist wahr, wenn a falsch ist und

nicht a ist falsch, wenn a wahr ist. Dann den Wahrheitswert von a und b bestimmen wir so, dass wir sagen a und b ist genau dann wahr, wenn a und b wahr sind. Und

der Wahrheitswert von a oder b, den bestimmen wir dadurch, dass wir sagen, der ist genau dann wahr, wenn a oder b wahr sind. Das meint, a oder b ist wahr oder beide wahr.

D.h. dieses logische Oder hier, das ist ein einschließendes Oder. D.h. der Fall, in dem beide wahr sind, ist explizit zugelassen. Das ist ein Unterschied zwischen dem Umgangssprache in entweder oder, von dem wir normalerweise im Leben ausgehen. Das ist eben ein ausschließendes

Oder. Entweder es ist rot oder es ist grün. Also das ist hier nicht der Fall. Bei dem Oder ist beides möglich. So und am besten anschaulich werden diese Definitionen, wenn man Wahrheitstafeln benutzt. Ich schreibe Ihnen mal hin, wie die Wahrheitstafel in dem zweiten

Teil der Definition aussieht. Dann werden Sie am schnellsten begreifen, was das ist. Also ich schreibe eine kleine Tabelle, einmal a und für a weiß ich, das kann zwei Wahrheitswerte

annehmen, nämlich wahr oder falsch. Und ausgehend von diesen Belegungen schreibe ich dann auf die rechte Seite von diesem Doppelstrich die Wahrheitswerte von nicht a hin. So, wir hatten gesagt, nicht a bekommt genau den gegenteiligen Wahrheitswert von

a. Das heißt, wenn a wahr ist, dann ist nicht a falsch und wenn a falsch ist, dann ist nicht a wahr. Gut, das heißt, so eine Wahrheitstafel besteht darin, dass ich alle Variablen hier auf eine Seite schreibe, dann alle ihre Wahrheitswerte durchdekliniere

und auf der rechten Seite von diesen Doppelstrichen dann die Aussagen hinschreibe, die ich betrachten möchte und schlussfolgere, welche Wahrheitswerte die dann annehmen. Für den dritten Teil unserer Definition sieht das dann so aus. Wir haben hier zwei Variablen, nämlich a

und b und wir wollen die Aussage oder Formel a und b bewerten. So, das wird ein Doppelstrich. Hier, damit wir das trennen können, machen wir noch einen zwischen a und b. So, a kann zwei Wahrheitswerte annehmen, nämlich wahr und falsch, ebenso b. Das

heißt, wir haben zwei mal zwei mögliche Belegungen, das sind vier Stück, also war war, war oder falsch, falsch war oder einfach beide falsch. So, und unsere Definition

3 sagt nun a und b ist genau dann wahr, wenn a und b wahr sind. a und b sind wahr hier in dieser ersten Zeile, das heißt, hier bekommen wir ein wahr hin. Sobald eins

von beiden falsch ist, sind nicht mehr beide wahr und demnach ist dann a und b falsch, das heißt in allen anderen Fällen bekommen wir falsch. Und das gleiche Spiel machen

wir für den Fall a oder b. Auch hier müssen wir die vier Fälle durchdeklinieren, war

war, war falsch, falsch war oder falsch falsch. So, die Definition sagt uns a oder b ist wenn a oder b oder beide wahr sind. Also hier sind beide wahr, also ist auch a oder b wahr.

In dem Fall ist a immer noch wahr, also ist auch a oder b wahr. In dem Fall ist noch b wahr, also ist a oder b auch wahr. Und hier im letzten Fall sind a und b beide falsch,

dann ist a oder b nicht mehr richtig, also falsch. Gut, dann schauen wir uns das mal an einem weiteren Beispiel an, das ein bisschen komplizierter wird. Denn wenn die Formeln länger werden,

dann sind meistens die Wahrheitswerte nicht mehr ganz so offensichtlich erkennbar. Und dann kann man so eine Wahrheitstafel einfach auch schrittweise aufbauen. Nehmen wir mal als Beispiel die Bestimmung der verschiedenen Wahrheitswerte der Formel nicht a oder b.

Okay, dann machen wir wieder eine Tabelle. Wir haben zwei Variablen, für die wir wieder alle möglichen Wahrheitswerte durchgehen müssen. Und diesen möchten wir bestimmen. Da es ein

bisschen länger ist, fangen wir mal an, indem wir erst mal noch nicht a noch einmal hinschreiben. Und wenn wir das haben, dann können wir das, was wir gerade gemacht haben, nämlich nicht a oder b ganz gut ausnützen. Das heißt, im letzten Schritt können wir dann

nicht a oder b bestimmen. Also die vier Fälle sind wahr-wahr, wahr-falsch, falsch-wahr oder

falsch-falsch. Nicht a ist, wenn a wahr ist, falsch. Das heißt, in diesen zwei Fällen kriegen wir falsch. Und wenn a wahr ist, dann ist nicht a. Wenn a falsch ist, ist nicht a wahr. So,

jetzt haben wir hier also nicht a stehen und hier haben wir b stehen und wir machen diese Aussage oder diese. Bei dem oder hatten wir in der Definition gesagt, dieser Ausdruck ist

genau dann wahr, wenn einer von beiden oder alle beide wahr sind. Das heißt, hier in diesem Fall ist zwar nicht a falsch, aber b wahr. Demnach ist die oder Verbindung insgesamt wahr. In diesem Fall ist nicht a falsch und b falsch. Dann ist auch nicht a oder b falsch.

Jetzt sind wir in dem Fall, wo nicht a und b wahr ist, dann ist auch die oder Verknüpfung wahr. Und hier im letzten Fall ist zwar b falsch, aber nicht a wahr und demnach ist das auch wahr.