Ich erkläre hier die Normalform einer Geraden. Dabei heißt Normalform nicht, dass alle anderen Darstellungen von Geraden jetzt irgendwie nicht ganz normal seien. Nein, das bezieht sich auf einen normalen Vektor. Dabei beschränke ich mich zunächst auf Geraden im R2, also Geraden in der Ebene. Und ein normalen Vektor einer Geraden, das ist dann ein

Vektor, der hier senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht. Das heißt, dass das Euclidische Skalarprodukt des Richtungsvektors zusammen mit dem normalen Vektor gleich Null ist.

Machen wir das am besten mal an einem Beispiel. Nehmen wir die Gerade mit dem Aufpunkt 1, 2 und dem Richtungsvektor 3, 1. Dazu suche ich einen normalen Vektor, das ist in dem

Fall zum Beispiel 1, minus 3. Denn rechnen wir das nach. Was ist das Skalarprodukt hier aus dem Richtungsvektor und dem angegebenen N? Das ist 3 mal 1 plus 1 mal minus

3, also gleich Null. Das ist jetzt keine Hexerei gewesen, diesen normalen Vektor anzugeben. Wie macht man das allgemein? Wenn ich hier eine Richtung ins Skalarprodukt

reingebe und ich vertausche in diesem Vektor die beiden Komponenten und nehme in einer von den beiden Komponenten Vorzeichen auf, dann erhalte ich einen Vektor, der senkrecht

auf dieser Richtung steht. Denn das Skalarprodukt ist V1V2 plus V2 mal minus V1 und das ist Null. Also so kriegen wir ganz leicht einen normalen Vektor zu einem Richtungsvektor.

Was man hier aber auch sieht, ist, dass auch minus 3, 3 oder einhalb minus dreihalbe, das sind auch normalen Vektoren. Also das heißt, mit N ist auch jedes Vielfache

lambda n normalen Vektor. Deshalb normiert man diesen normalen Vektor häufig und das

ist dann ein Einheitsnormalen Vektor. Also wie bekomme ich aus N einen Vektor der Länge 1? Nun N, das normalen Vektor, der ist nicht Null. Das heißt, seine Norm

ist auch nicht Null. Und dieser Vektor, bei dem ich N durch seinen Norm teile, der hat Länge 1. Nun, das können wir nachrechnen. Was ist die Norm von N durch Norm N? Nun,

das ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt von N durch Norm N mit sich selbst. Und jetzt wissen wir, das Skalarprodukt ist linear. Das heißt, ich kann diese Zahl 1 durch Norm

aus dem ersten Term rausziehen und aus dem zweiten auch. Dann kriege ich da die Wurzel aus 1 durch Norm von N zum Quadrat mal N, N. Und dann kann ich wiederum diesen

Term ganz aus der Wurzel rausziehen. Dann steht da 1 durch Norm N mal Wurzel aus N, N. Das ist aber gerade wieder die Norm. Das ist also Norm N durch Norm N und das

ist 1. Dieser Vektor hat Länge 1. Das heißt, was wir hier nochmal nachgerechnet haben, das ist eine Eigenschaft der Norm. Wenn ich hier die Norm von Lambda mal X betrachte, wobei Lambda eine Zahl ist, dann ist das der Betrag von Lambda mal Norm X. Genauso

bewiesen, wie wir das hier im Spezialfall Lambda ist 1 durch Norm von N gemacht haben. Ja, auch der Einheitsnormalen Vektor ist noch nicht ganz eindeutig. Denn wenn

ich den nehme und sein Negatives, dann haben die ja gleiche Länge. Das ist nicht weiter schlimm. Man kann es zum Beispiel dazu benutzen, um zu sagen, was links und rechts von der Geraden liegt oder oben und unten. Jetzt aber zur Normalform einer Geraden im

R2. Ausgehend von einer Geraden in Parameterform kennen wir einen Richtungsvektor und können daraus einen normalen Vektor konstruieren. Das heißt, wir wissen Richtungs- und normalen Vektor, die stehen senkrecht aufeinander. Was heißt das nun aber für einen Punkt

X auf der Geraden? Ja, wenn wir von X P abziehen, wir haben X in der Form P plus Lambda V, wobei Lambda irgendeine reelle Zahl ist. Das heißt, X minus P ist Lambda

V, ein Vielfaches von V und das steht damit senkrecht auf dem normalen Vektor. Und das hier, das ist eine Gleichung für X, eine lineare Gleichung und so schreiben wir G in Normalform, eben dadurch, dass wir sagen, das ist die Lösungsmenge dieser

linearen Gleichung. Wir können die ein bisschen umformen. X minus P, Skalar multipliziert mit N, das ist, weil das Skalarprodukt linear in der ersten Komponente ist, gleich

dem Skalarprodukt von X mit N, weniger dem Skalarprodukt von P mit N. Ja, und das unabhängig von X, der gibt man oft den Namen D und dann heißt das, X liegt

auf G genau dann, wenn das Skalarprodukt von X mit dem normalen Vektor gleich D ist. Das ist auch eine Art von normalen Formen. Natürlich ist diese Normalform

abhängig vom gewählten normalen Vektor und wenn man eben mit einem Einheitsnormalen Vektor arbeitet, dann hat man eine hessische Normalform. Das ist vielleicht nicht genau die Darstellung dieser linearen Gleichung, die Sie kennen, aber zu der gelangen wir

ganz einfach dadurch zurück, dass wir dieses Skalarprodukt ausschreiben. Also wenn wir für X und für N Komponentenvektoren einsetzen, also X1, X2 und N1, N2 und

das Skalarprodukt berechnen, dann ist das hier X1 mal N1 plus X2 mal N2 und demnach ist diese Menge hier, diese Menge der X, gleich diese Menge. Und hier sehen Sie eine geraden Gleichung in einer Ihnen bekannten Form. Lassen Sie uns die Gerade aus dem

Anfangsbeispiel in Normalform schreiben. Wir hatten schon gesehen, senkrecht auf dem Richtungsvektor 3, 1 steht zum Beispiel 1 minus 3, um die zu N gehörige Normalform

anzugeben, muss ich also noch das Skalarprodukt, dieses Aufpunkt des P hier mit N bestimmen. Das ist das Skalarprodukt von 1, 2 mit 1 minus 3 und das ist 1 mal 1 plus 2 mal

minus 3, also 1 minus 6, das ist minus 5. Demnach ist G gegeben als die Menge der X aus dem R2, so dass das Skalarprodukt von X mit dem normalen Vektor 1 minus 3, gleich

minus 5 ist. Beziehungsweise wenn ich eben hier die Gleichung ausschreibe, das ist X1 mal 1 plus X2 mal minus 3, das ist ein Minus 5. Und wenn ich hier die Gleichung

ausschreibe, das ist 5. Das hier sind Normalformen. Das ist nicht eine hessische Normalform

und das liegt daran, dass der normalen Vektor hier nicht normiert ist. Was hat er für einen Norm? Nun, da muss ich die Komponenten quadrieren, addieren und die

Quadrat, das ist die Würzel aus 10 und das ist ungleich 1. Also das ist nicht die hessische Normalform. Dazu müsste ich also diesen Vektor hier normieren, sprich die

gesamte Gleichung dann mit 1 durch Würzel 10 mal nehmen. Und ich glaube Sie geben mir recht, in dem Fall sind ganze Zahlen da einfach schöner. Warum habe ich mich bei der Angabe einer Normalform für eine Gerade auf Geraden im R2 beschränkt? Nun,

eine Gerade ist ja auch im R hoch N gegeben in Parameterform zum Beispiel, also mit Aufpunkt und Lambda mal Richtungs Vektor und Lambda läuft dabei durch R. Aber wir finden für eine Gerade im R hoch M, wenn M größer gleich 3 ist, eben keine

eindeutig bestimmte Richtung mehr. Bisher war unsere Richtung im R2 jedenfalls bis auf Länge eindeutig bestimmt. Im R3 steht auf so einer Gerade schon eine ganze Ebene senkrecht und im R hoch M dann eben ein M minus 1 dimensionaler Vektoraum. Und

das heißt, ich müsste eine Basis dieses Vektoraumes angeben, also das sind dann M minus 1, solche normalen Vektoren in 1 bis M minus 1, linear unabhängig angeben

und dann könnte ich sagen, x minus p muss auf allen diesen senkrecht stehen. Dann habe ich auch die Gerade eindeutig beschrieben. Wir können das mal in einem Beispiel machen. Wir können sagen, g sei mal irgendein Punkt plus Lambda mal, jetzt nehmen wir

den ersten Standardbasis Vektor, also das hier eine Gerade im R hoch M. Wie finden wir dann den Vektoraum, der auf diesem Richtungs Vektor senkrecht steht, der muss

die Dimension M minus 1 haben. Nun, das ist einfach nur der Vektoraum W, nennen wir ihn mal, der von den übrigen Standardbasis Vektoren erzeugt wird. Und der steht senkrecht auf g. Und dann können wir also sagen, g, das sind die

x aus dem R hoch M, sodass x minus p senkrecht steht auf W oder das ist das gleiche zu

sagen, dass die x sind mit der Eigenschaft, dass für alle W aus W gilt, x minus p,w

ist gleich 0. Und wieder reicht es, das eigentlich für eine Basis zu machen, das heißt, das sind die x aus dem R hoch M, sodass für j gleich 2 bis M gilt,

x minus p,e j, gleich 0.