Wir wissen jetzt, wie wir quadratische Gleichungen lösen und eine quadratische Gleichung, die hatten wir als in Normalform gegeben, geschrieben als x² plus px plus q und das hatten wir gleich Null gesetzt. Diese Funktion x bildet x² auf px plus q ab, die nennt sich auch

ein quadratisches Polynom. Was meine ich damit? Ich meine damit, dass sie besteht aus Termen

irgendeine Konstante mal x hoch einen natürlichen Exponenten. Hier haben wir den Term x² und hier haben wir, das wäre also 1 mal x², hier haben wir p mal x hoch 1 und hier haben wir q mal x hoch 0. Eine Summe davon, das ist ein Polynom, weil der höchste Exponent,

das wäre dann der Grad, der Auftritt 2 ist, nennt sich das ein quadratisches Polynom. Und die Nullstellen des Polynoms sind die Lösungen der Gleichung x² plus px plus q

und die hatten wir, wie gesagt, schon gelöst. Das heißt, wenn wir annehmen, dass die Diskriminante, das ist p halbe zum Quadrat minus q, größer gleich Null ist, dann sind die Nullstellen

gegeben einmal als, ich nenne das hier x1, das ist minus p halbe plus die Wurzel aus der Diskriminante und die zweite Lösung ist x2, das ist minus p halbe minus die Wurzel aus der Diskriminante. Und wenn wir diese zwei Lösungen haben, dann können wir das quadratische Polynom

so schreiben. Wir können es schreiben als Produkt von zwei linearen Polynomen. Wieso heißen die denn jetzt linear? Nun, das liegt daran, dass hier der höchste Exponent 1 ist. Das heißt, das hier wäre eine lineare Funktion und das hier auch und deswegen sind

das hier lineare Faktoren oder auch Linearfaktoren. So und ich habe jetzt mal ganz dreist hin geschrieben, wenn wir diese zwei Nullstellen haben, dann können wir dieses Polynom so

faktorisieren. Das sollten wir natürlich zeigen. Das heißt, ich nehme jetzt hier diese rechte Seite und multipliziere sie mal aus. Also für alle x aus R forme ich x minus unsere erste

Nullstelle mal x minus unsere zweite Nullstelle um. So, gut, bevor wir uns in die Rechnung stürzen,

vielleicht noch eine kurze Bemerkung. Auf alle Fälle sehen wir, dass hier in diesem Produkt auch x1 und x2 Nullstellen sind. Das heißt, diese Funktion auf der rechten Seite ist Null für x gleich x1. Das heißt, wenn ich hier x1 einsetze für das x, dann steht hier x1 minus x1. Das

ist Null, mal irgendwas, das ist Null. Und genauso, wenn ich hier für x, x2 einsetze, dann steht x2 minus x2 da, also eine Null. Und ja, wenn ich die an x2 minus x1 multipliziere, kommt

auch Null aus. Das heißt, diese beiden Funktionen haben die gleichen Nullstellen. Das ist schon mal vielversprechend dafür, dass die gesamte Gleichung stimmt. So, jetzt aber zum Ausmultiplizieren. Ich multipliziere das einfach distributiv aus. Das heißt, ich

habe hier x mal x. Das ist x². Dann habe ich hier x mal minus x2. Das gibt minus x2 mal x. Gleich so rumgeschrieben. Dann habe ich hier ein minus x1 mal x. Und

noch minus x1 mal minus x2. Das gibt plus x1 mal x2. So, das heißt, wenn ich hier noch diese beiden Terme zusammenfasse, da kann ich das x ausklammern und das minus

x1 auch. Dann habe ich x² minus x1 plus x2 mal x plus x1 mal x2. Gut, das heißt,

wir müssen jetzt noch ausrechnen, was ist denn minus x1 plus x2. Das ist minus, jetzt

plus die Wurzeln aus der Diskriminante. Und x2, das ist minus p halbe minus die Wurzeln aus der Diskriminante. Da sehen wir die Wurzeln aus den Diskriminanten. Die heben

einander gegenseitig auf. Und ich habe hier ein minus p halbe und noch ein minus p halbe. Das gibt also minus minus 2 p halbe. Und da kürzt sich einmal die 2 weg und

dann habe ich hier minus mal minus. Das ist ein Plus. Also ist das ganze p. Das ist das, was wir haben wollen. Hier dieser Koeffizient vor dem x minus x1 plus x2 entspricht dem p. Und dann berechne ich noch x1 mal x2. Das ist also minus p halbe plus

Wurzel d mal minus p halbe minus Wurzel d. Und da finden wir ein Binom dafür. Das

ist minus p halbe zum Quadrat. Das ist p Quadrat Viertel. Minus Wurzel aus d Quadrat. Das ist also minus d. Und das ist minus p halbe zum Quadrat plus Q. Und da sehen

wir das p Quadrat Viertel hebt sich gegen dieses p Quadrat Viertel weg. Das heißt da kommt Q raus. Insofern kann ich hier noch mal weiterschreiben und sagen, das ist x Quadrat plus px plus Q. Und das war genau das, was ich rausbekommen wollte.

Meine Behauptung hier. Gut, das haben wir also nachgerechnet. Wenn wir die Nullstellen unseres quadratischen Polynoms gegeben haben, dann können wir das quadratische

Polynom schreiben als Produkt dieser zwei Linearfaktoren. Und ich möchte Sie noch mal auf diese eine schöne Form hinweisen, die wir gefunden haben. Wir haben nämlich auch gesagt, hier im Laufe unserer Rechnung, wenn wir diese beiden Nullstellen haben, dann ist das p

gegeben als minus x1 plus x2. Und das Q ist gegeben als x1 mal x2. Das hat schon ein alter Herr festgestellt, nämlich der Herr Vieta. Der hat das festgestellt. Das heißt das Geld

für die Nullstellen x1 und x2. Jetzt sollten wir aber schleunigst mal ein Beispiel machen.

Nehmen wir das Polynom x Quadrat plus 4x plus 1. Berechnen erst mal d. Das ist also 4 halbe zum Quadrat minus 1. Das ist 2 zum Quadrat, also 4 minus 1. Das ist 3. Das ist

echt größer als 0. Das heißt wir finden unsere erste Nullstelle als minus p halber, also minus 4 halbe. Das ist minus 2 plus die Wurzel aus der Diskriminante. Und die zweite

minus die Wurzel aus der Diskriminante. Dann rechnen wir x minus x1 plus x2. Das ist also minus minus 2 plus Wurzel 3 minus 2 minus Wurzel 3. Wieder erhebt sich das da gegenseitig

auf und wir haben ein minus minus 4. Das ist ein plus 4. Und dann haben wir noch x1 mal x2.

Das ist minus 2 plus Wurzel 3 minus 2 minus Wurzel 3. Und das ist nach der dritten Polynomischen Formel minus 2 zum Quadrat. Das ist 4 minus Wurzel aus minus 3 Quadrat. Das ist 3. Das ist 1. Gut, da sehen wir also wieder, wir haben hier wieder unsere

Koeffizienten zurück erhalten. Und wir können x Quadrat plus 4x plus 1 schreiben auch als Produkt von diesen linearen Termen. x minus x1 mal x minus x2. Und das ist ausgeschrieben

x minus minus 2 plus Wurzel 3 mal x minus minus 2 minus Wurzel 3. Und das ist noch

in Klammern vereinfacht x plus 2 minus Wurzel 3 mal x plus 2 plus Wurzel 3.