Jetzt haben wir viel über Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit geredet. Jetzt wollen wir das auch für eigentlich schon bekannte Funktionen mal alles ganz genau angucken. Ich fange an mit den Polynomfunktionen, also mit Polynomen. Wir haben schon welche gesehen, zum Beispiel quadratische Polynome und lineare Polynome

haben wir viel studiert, aber ganz allgemein ist ein Polynom Also für uns jetzt erstmal als Funktion von den reellen Zahlen wieder in die reellen Zahlen eine Funktion, die von der Form ist a n mal x hoch n plus a n minus 1 mal x hoch n minus 1

und so weiter bis a 1 x und plus a 0. Das heißt wir können das kurz auch schreiben als die Summe von k gleich 0 bis n a k x hoch k. Und da macht sich eben jetzt bezahlt, dass x hoch 0 als 1 definiert ist.

Auch wenn wir 0 einsetzen. So, ganz allgemein sind diese a j, also die Koeffizienten a 0 bis a n reelle Koeffizienten.

Natürlich können wir auch oder könnten wir auch komplexe Koeffizienten nehmen, sondern wäre das natürlich auch keine Funktion mehr von den reellen Zahlen wieder in die reellen Zahlen, sondern von C nach C. Noch kurz zum Namen Polynom.

Also ein Monom ist übrigens ein Termin der Form a k mal x hoch k. Und ja, addieren wir davon verschiedene auf, dann haben wir eben ein Polynom. Gut, was haben Polynome für Eigenschaften? Also erstmal sind die überall stetig auf ganz R.

Ist uns das klar? Ja, konstante Funktionen sind stetig und die Abbildung x geht nach x. Die Identität ist stetig. Und dann sind auch endliche Summen und Produkte stetig.

Genauso gilt das für die Differenzierbarkeit. Die konstante Funktion ist stetig und differenzierbar und beliebig oft. Das gleiche gilt für die Identität x geht nach x. Dann kriegen wir auch heraus, dass Summen und Produkte endlicher Art differenzierbar sind.

Und zwar auch beliebig oft. Und natürlich dann auch stetig differenzierbar, wenn es beliebig oft geht. Die Ableitung eines Polynoms ist gegeben als die Summe über die k mal a k x hoch k minus eins.

Ja, wir hatten gesehen, dass x hoch n Strich gleich n mal x hoch n minus eins ist. Und dann benutzen wir wieder die Linearität der Abbildung. Das heißt Vielfache und Summen vertauschen mit dem Differenzieren.

Genauso schön können wir eine Stammfunktion angeben. Also wenn wir schon wissen, dass x hoch n Strich gleich n mal x hoch n minus eins ist, dann ist eine Stammfunktion von x hoch n minus eins gegeben als eins durch n mal x hoch n.

Und das machen wir uns zunutze, indem wir hier eben diese Stammfunktion angeben können. Das heißt für jedes Monum finden wir die Stammfunktion ist der Koeffizient durch k plus eins.

Und das Ganze müssen wir mal x hoch k plus eins nehmen. Natürlich könnten wir zu einem ganzen Polynomen noch eine Konstante dazuzählen, dann hätten wir wieder eine andere Stammfunktion gefunden. Gut, es gibt Polynome, die monoton sind, wie lineare Polynome.

Also x geht noch a eins x plus a null. So was ist monoton. x geht nach x hoch drei ist auch monoton.

Aber im Allgemeinen ist das nicht richtig. Das heißt im Allgemeinen können wir keine Monotonieaussagen treffen. Auch für das Bild können wir nicht immer was aussagen. Wir können aber sagen, wenn n ungerade ist, also wenn der Grad des Polynomes, das ist hier der höchste Exponent in so einem Monom des Auftritt,

sodass der Koeffizient hier ungleich null ist. Also das hier wäre n der Grad. Ist der ungerade, dann ist das Bild von einem Polynomen ganz R.

Wenn das nicht stimmt, dann können wir keine allgemeine Aussage über das Bild richtig machen. Ok, vielleicht ganz kurz, warum ist das Bild hier ganz R? Nun, dann haben wir als führenden Term ja einen Term der Form a unten zwei n plus eins x hoch zwei n plus eins.

Das heißt wir haben hier einen Exponenten, der ungerade ist und demnach geht für x gegen plus unendlich

auch x hoch zwei n plus eins gegen plus unendlich. Und für x gegen minus unendlich geht dieser ganze Term auch gegen minus unendlich. Und dann kann es noch zum Vorzeichenwechsel kommen, je nachdem ob der Koeffizient positiv ist oder negativ. Aber wir sehen, durch den führenden Term kriegen wir die Surjektivität des Polynoms geschenkt,

wenn der Exponent ungerade ist. Nullstellen. Polynome haben, wenn sie vom Grad n sind, höchstens n Nullstellen.

Und wenn n ungerade ist, dann gibt es mindestens eine reelle Nullstelle. Das liegt an der Argumentation, dass dieser höchste Term gegen plus und minus unendlich geht. Das heißt, wenn die Funktion für x gegen unendlich gegen plus minus unendlich geht

und für x gegen minus unendlich gegen minus plus unendlich geht, dann muss es dazwischen mal an der Null vorbeikommen. Also gibt es, wenn wir einen ungeraden Grad haben, mindestens eine reelle Nullstelle. Im Allgemeinen werden wir aber nicht empfinden. Das heißt, viele Nullstellen sind einfach komplex.

Also machen wir noch ein paar ganz einfache Beispiele, wenn der Grad von P gleich n ist. Also n gleich null ist, wollte ich sagen.

Wenn der Grad von P gleich null ist, dann heißt das, dass P von x konstantes, also identisch sozusagen a0. Dann haben wir schon Polynome vom Grad 1 hier hingeschrieben gehabt.

Die sind von der Form a1x plus a0. Das gibt dann also im Schaubild Geraden und wir hatten eigentlich auch schon sehr gut studiert. Polynome zweiten Grades, also quadratische Funktionen.

Da haben wir also a2x² plus a1x plus a0. Gut, noch mal ein bisschen zu den Nullstellen.

Also noch mal ganz exakt sagen, was ist eine Nullstelle? Nun, Nullstelle, das ist also eine Zahl x null aus R, sodass P von x null gleich null ist. Wenn wir so eine haben, dann können wir einen Linearfaktor abspalten. Das heißt, wir können ein anderes Polynom Q finden, das den Grad um eines weniger hat als P,

sodass wir P schreiben können als Produkt von Q mit dem Linearfaktor x minus x null. Für quadratische Polynome hatten wir das schon gemacht. Man kann das ganz praktisch machen durch Polynomdivision.

Für die Polynomdivision haben wir ein eigenes Video, denn die ist doch so wichtig, dass wir sie mal genau betrachten wollen. Gut, jetzt kann es sein, wenn wir da diesen einen Faktor abgespalten haben, einen Linearfaktor x minus x null, dass Q wiederum von x null annulliert wird.

Das heißt, wenn auch Q von x null gleich null ist, dann können wir wiederum von Q einen Linearfaktor abspalten. Das heißt, wir finden eine Funktion Q2, sodass Q von x gleich Q2 von x mal x minus x null ist.

Das können wir dann natürlich wiederum in P einsetzen und finden P gleich Q2 von x mal x minus x null zum Quadrat. Jetzt kann es ja vorkommen, dass x null wieder eine Nullstelle von Q2 ist.

Dann können wir es wiederum abspalten und das können wir immer so lange machen, bis wir eben irgendwann zu dem Punkt kommen, zum Beispiel nach K-Schritten, dass wir P von x schreiben können als ein Polynom QK von x mal x minus x null hoch K.

Wobei wir jetzt aber da angekommen sind, dass QK von x null nicht mehr null ist. Und in dem Fall, dass wir also genau K Linearfaktoren x minus x null aus dem P rausgezogen haben,

dann heißt x null eine K fache Nullstelle von P. Gut, wenn K gerade ist, dann ist x null eine lokale Extremstelle von P. Und das heißt auch, dass das Vorzeichen um dieses x null rum das Gleiche bleibt.

Also am besten hat man da immer die Normalparable im Kopf x Quadrat oder meinetwegen auch x hoch 4.

Ups, das sollte hier nicht so ein Schlenker machen. So, also das wäre hier x hoch 4 und das hier wäre x hoch x Quadrat.

Also da ist Null doppelte beziehungsweise vierfache Nullstelle. Und wenn die Vielfachheit der Nullstelle ungerade ist, dann haben wir höchstens einen Sattelpunkt vorliegen, auf alle Fälle kein Extremum. Also wir haben zum Beispiel x hoch 3 oder x hoch 5 an der Stelle x gleich 0.

So, ja da hätten wir hier x hoch 3 und das hier wäre x hoch 5. Also Sie sehen, das Polynom wird hier immer flacher, je höher die Nullstelle ist. Aber wir haben eben einen Vorzeichenwechsel an der Stelle.

So kennt man also nun die Nullstellen und ihre Vielfachheit. Dann kann man das immer so aus P ausklammern, jeden Linearfaktor für jede Nullstelle.

Und dann hat das Polynom irgendwann so eine Form. Also wir haben alle Nullstellen mit ihren Vielfachheiten. Und wir haben hier vorne unseren führenden Koeffizienten. Und hier haben wir noch ein Polynom Q von x. Und es kann wirklich sein, dass dieses Polynom Q von x keine Nullstelle mehr hat in R,

sondern dass das halt der Teil von dem Polynom ist, in dem die Nullstellen komplex sind. Und wenn man ein Polynom so geschrieben hat, dann kann man es in etwa auch skizzieren. Das heißt, wenn man die Nullstellen kennt und den führenden Term, dann wird das schon hinten hauen.

Also nehmen wir ein Beispiel. Wir haben P von x gleich x plus 1 mal x minus 2 mal x minus 4.

Das heißt, das ist ein Polynom vom Grad 3. Wir haben drei Linearfaktoren. Wenn ich die ausmultipliziere, kriege ich als höchsten Term ein x hoch 3. Und dann schauen wir mal, ob wir das mit dem Skizzieren so hinkriegen.

Also 1, 2, 3, 4. Eine Nullstelle ist bei 4. Eine Nullstelle ist bei 2. Und eine Nullstelle ist bei minus 1. So, was ist der führende Koeffizient? Ja, wenn wir das ausmultiplizieren, da ist dann vor dem x hoch 3 nur ein 1.

Das heißt, A3 ist 1. Und das hat für uns jetzt vor allen Dingen die Bedeutung, dass wir sagen können, wenn x gegen plus unendlich geht, dann geht P von x auch gegen plus unendlich. Das heißt, wir wissen nach unserer Nullstelle, hier geht es nur noch steil bergauf.

So, und hier haben wir eine Nullstelle. Da müssen wir hier aber irgendwie bei der 2 wieder bei 0 sein. Und hier haben wir die minus 1. Da haben wir es auch irgendwie so. Und für x gegen minus unendlich geht auch x hoch 3 gegen minus unendlich.

Das heißt, es haut wieder gegen minus unendlich ab. Machen wir noch ein zweites Beispiel. Jetzt nennen wir es doch mal g von x, das Polynom. Das sei minus x plus 1 zum Quadrat mal x minus 2.

Auch das Polynom ist vom Grad 3. Ja, denn ich habe hier 3 Linearfaktoren. Das gibt mir im höchsten Termin x hoch 3. Und unser höchster Koeffizient, der ist jetzt, also der Koeffizient vom x hoch 3, der kriege ich hier aus dem hinteren Produkt einen plus 1.

Aber ich habe hier ein minus davor stellen. Also ist das minus 1. Das heißt, ich weiß, für x gegen plus unendlich wird unsere Funktion gegen minus unendlich gehen.

So, Nullstellen habe ich wiederum bei minus 1. Und zwar diesmal eine doppelte. Und ich habe eine einfache Nullstelle bei x gleich 2. So, das heißt, ich weiß, um minus 1 habe ich keinen Vorzeichenwechsel.

Ich komme von minus unendlich bei 2, dann geht es hier irgendwie hoch. Das heißt, ich bin hier auf alle Fälle im positiven Bereich. So, und um x gleich minus 1, da sieht es ungefähr so aus.

So, jetzt könnte ich ja auch noch berechnen, wo der Hochpunkt ist. Das muss eine Nullstelle der Ableitung sein. Und dann geht das hier irgendwie sehr schnell eigentlich. Vielleicht ein bisschen schneller, als ich es eingezeichnet habe, gegen minus unendlich.

So, so sieht das Polynomen etwa aus.