So, jetzt möchte ich einiges mit zwei Mengen machen. Ich denke, dass Ihnen allen diese Terminologie aus der Schule vertraut ist. Also gehen wir das einfach einmal durch. Ich nehme mir zwei Mengen m und n und dann heißt n eine Teilmenge von m, also n Teilmenge

n, wenn alle Elemente von n auch zu m gehören. In Quantorenschreibweise heißt das für alle x aus n gilt x ist in m. Ja und m nennt man dann die Obermenge von n und schreibt das

auch andersrum hin, also hier einen offenen Bogen zu m hin. Mengen visualisiert man sich gerne durch solche Kartoffeln. Also wenn ich es hier eine Menge habe, die habe ich mal so im Grenz, nenne das m, da sind ein paar Elemente drin, dann könnte ich zum Beispiel sagen das

hier ist n. Dann sehen wir, wir haben hier noch ein paar Elemente, die zu m gehören, aber nicht zu n. Das heißt n wäre eine Teilmenge von m. m und n heißen gleich, wenn m eine Teilmenge von

n ist und n eine Teilmenge von m. Also in dem Fall würden diese Punkte hier, diese Elemente nicht existieren. So den Durchschnitt aus zwei Mengen, bilde ich aus den Elementen, die zu Mengen gehören. Das heißt, das sind die x mit der Eigenschaft, dass x in m ist und x in n.

Das heißt, wenn wir uns wieder hier zwei Mengen malen, ich lasse mal die Pünktchen weg, die sind immer so ein bisschen annoying. Wenn das hier m ist und das n, dann wäre das hier in der Mitte der Durchschnitt. Ebenso definiert man die Vereinigung als die Menge der x, bei

dem x entweder ein Element von m ist, nicht entweder, sondern nur ein, bei dem x Element

m ist oder x Element n. Das heißt, die können auch sogar schon in beiden Mengen liegen. Also male ich hier dieses Kartoffelbild nochmal. Ich habe eine Menge m und eine Menge n. Und alles, was ich jetzt schraffiere, das ist die Vereinigung von m mit n. Und das ist hier

der Bereich, der dem entweder oder eben nicht genügt, sondern schon in beiden Mengen liegt. Das heißt, es ist der Durchschnitt. Also wir sehen, insbesondere ist der Durchschnitt von zwei Mengen natürlich immer eine Teilmenge der Vereinigung. Das können wir mal hinschreiben,

m geschnitten n ist Teilmenge von m vereinigt n. So, weiter gibt es die Differenz von

m und n. Das sind die Elemente, die in m sind, aber nicht in n. Also malen wir uns das wieder auf, wenn hier m ist und hier n. Dann wäre m ohne n die Mengendifferenz dieses hier.

Das ist die Differenz. Und jetzt kann ich mal eine andere Farbe nehmen. Hier, dann schraffiere ich hier mal diesen Bereich blau und sage, das hier ist n ohne m. Ja, das heißt, wir sehen,

dass m ohne n nicht dasselbe ist wie n ohne m. Bei den Differenzen kommt es auf die Reihenfolge

an. Hingegen kommt es bei der Vereinigung, m vereinigt n, nicht auf die Reihenfolge an. Wenn ich n mit m vereinige, dann bekomme ich dieselbe Menge raus. Das liegt daran, dass wir hier die Mengenvorschrift gegeben haben durch die Aussage x in m oder x in n. Da hatten

wir gesehen, es ist egal, warum ich das bilde. Diese Aussage bleibt die gleiche, die Oder-Aussage, wenn ich diese beiden Teilaussagen vertausche. Demnach müssen auch die Vereinigungen das Gleiche sein. Gleiches gilt für die Durchschnitte, m Durchschnitt n, das ist n Durchschnitt m.

Aus genau dem gleichen Grund, die Und-Vorschrift ist kommutativ. So, und dann haben wir hier noch einen letzten Punkt. Wann heißen m und n desjunkt? Na, die heißen desjunkt, wenn sie keine

gemeinsamen Elemente haben, wenn ihr Durchschnitt leer ist. Das heißt, im Kartoffelbild wäre das so. Wir haben hier m und hier n und dann sehen wir der Durchschnitt m geschnitten n, der ist

leer. Ja, jetzt haben wir Teilmengen und da gibt es noch eine ganze Besonderheit. Wir haben die leere Menge. Die leere Menge, das ist eine Teilmenge von jeder anderen Menge. Dafür nehme

ich am besten nochmal ein neues Blatt. Schreib das hin. Die leere Menge ist Teilmenge jeder

Menge m. Also die leere Menge ist Teilmenge von m. Woran liegt das? Naja, für alle Elemente der leeren Menge gilt x ist aus m. Wir hatten gesagt, dass so eine Aussage für alle x aus der

leeren Menge immer wahr ist. Einfach weil es gar keine Elemente in der leeren Menge gibt. Das heißt, diese Aussage ist eine leere Aussage und damit haben wir keine Probleme sie zu

erfüllen. Und weil das genau die Definition von einer Teilmenge ist, heißt es, die leere Menge ist Teilmenge von m.