Hier untersuche ich die Konvergenz dieser Reihe, d.h. wir nehmen irgendeine komplexe Zahl z und gleich 0 und betrachten n hoch l mal z hoch n und das summieren wir auf über alle n gleich 1 bis unendlich und dabei ist l eine ganze Zahl.

Ja, wenn wir das auf Konvergenz untersuchen wollen, dann werden wir schon mal annehmen, dass die irgendwie von z abhängt, aber als erstes will ich mal schauen, wie weit wir eigentlich da mit dem quotienten Kriterium kommen. Das heißt, wenn meine Reinglieder hier mal mit a n bezeichnet sind, also n hoch l mal z hoch n

gleich a n ist, dann kann ich mir mal den Betrag des Quotienten a n plus 1 durch a n anschauen. Ja, a n, das ist n hoch l mal z hoch n und das müssen wir im Betrag nehmen

und hier haben wir noch ein n plus 1 hoch l mal z hoch n plus 1 auch im Betrag. So, das können wir vereinfachen. Hier diese Terme sind positiv und haben den gleichen Exponenten. Das gibt einen Term n plus 1

durch n hoch l mal z Betrag hoch n plus 1 und dann habe ich noch dieses z hoch n im Betrag übrig. Das kann ich weiter vereinfachen. Hier schreibe ich das nur ein wenig anders als 1 plus 1 durch n hoch l und wenn ich diesen Bruch kürze, dann bleibt mir noch ein z Betrag übrig.

Ja, und jetzt sehen wir schon, wenn wir hier n gegen unendlich laufen lassen, dann geht 1 plus 1 durch n gegen 1, also auch die elte Potenz und das z Betrag, das bleibt da, wo es ist.

Ja, was heißt das nun? Wenn ich das Quotientenkriterium anwenden will, so bekomme ich für z Betrag kleiner als 1 den folgenden Limes dieses Quotienten, den wir gerade berechnet haben.

Das ist der z Betrag und das ist dann kleiner als 1. Das heißt, wenn wir die Limesfassung des Quotientenkriteriums anwenden, dann

ist das ein bitter Schlange hier, das echt kleiner ist als 1 und das heißt, die Reihe konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium. Ja, wenn nun aber z Betrag größer ist als 1, dann habe ich ja immer noch diesen

Limes hier bestimmt, der ist immer noch gleich dem Betrag von z, aber nun größer als 1.

Ja, und was heißt das? Wenn der Betrag von h n plus 1 durch den Betrag von h n größer ist als 1, dann heißt das, diese Folge kann keine Nullfolge sein und damit kann die Reihe nicht absolut konvergieren.

Und sie kann auch sonst nicht konvergieren, wenn die Reihenglieder keine Nullfolge bilden, also ist die Reihe wirklich divergent. Und wie sieht das für z Betrag gleich 1 aus?

Ja, da ist das nicht mehr so allgemein lösbar, aber was denke ich klar ist, ist, wenn L größer oder gleich

0 ist, dann ist der Betrag von a n einfach n hoch L und das ist dann größer oder gleich 1. Und das heißt, dass wiederum die Folge a n keine Nullfolge ist und macht den gleichen Argument wie eben und damit die Reihe selbst divergiert.

Und jetzt arbeiten wir uns einfach weiter vor. Für L gleich minus 1 und z Betrag gleich 1, was haben wir da

für eine Reihe? Jedenfalls die Reihe der Absolutbeträge n hoch L mal z Betrag hoch n für n gleich 1 bis unendlich. Das ist die Reihe der 1 durch n für n gleich 1 bis unendlich, also die

harmonische Reihe und die ist divergent und das heißt, dass die Reihe selbst nicht absolut konvergiert. Ja, sie kann aber sehr wohl bedingt konvergieren und zum Beispiel für z gleich minus

1 haben wir eine alternierende harmonische Reihe, jedenfalls bis aufs Vorzeichen, und die konvergiert bedingt. Und für L kleiner oder gleich minus 2 und z Betrag immer noch gleich 1, da möchte ich mich erst

mal dieses Vorzeichen von L entledigen, das heißt, ich setze j gleich minus L, das ist dann größer oder gleich 2. Und die Reihe der Absolutbeträge n hoch L mal z Betrag hoch n, das ist dann die Reihe über 1 durch n hoch j für n gleich 1 bis unendlich.

Und die Behauptung ist nun, für j größer oder gleich 2 ist die Reihe hier 1

durch n hoch j n gleich 1 bis unendlich absolut, na das absolut brauchen wir nicht mehr, das sind ja nur positive Zahlen, reicht das konvergent, das ist natürlich auch absolut konvergent.

Und damit ist die ursprüngliche Reihe dann eben absolut konvergent. Ja und diese Behauptung beweist man am besten in zwei Schritten.

Der erste ist der, den ich gleich noch machen werde. Ich zeige, dass für j gleich 2, also 1 durch n Quadrat, für n gleich 1 bis unendlich, dass das hier konvergent ist.

Und im zweiten Schritt sehe ich dann nur noch ein, dass 1 durch n hoch j kleiner ist als 1 durch n Quadrat für alle anderen j oder kleine gleich, dann haben wir endlich eins auch mit abgemacht, für alle j größer oder gleich 2 und alle n in n.

Ja und was heißt das? Das heißt dann eben, dass die Reihe über 1 durch n Quadrat eine konvergente Majorante ist von 1 durch n hoch j für n gleich 1 bis unendlich.

Und demnach muss auch diese Reihe konvergieren und unsere Behauptung ist bewiesen. Und nun dafür zeige ich, dass diese Reihe 1 durch n Quadrat für n gleich 1 bis unendlich eine Majorante hat.

Ja welche? Ich möchte eigentlich hier die Reihe n gleich 1 bis unendlich von 1 durch n mal n minus 1 benutzen.

Aber da sehen Sie, das geht hier nicht für n gleich 1, das heißt ich schreibe n gleich 2 und der erste Term, der ist hier gleich 1 und nehme ich hier einfach eine 1 dazu. Das heißt, wir müssen schauen, dass das eine Majorante ist, im ersten Glied haben wir es gezeigt. Nun, es ist klar, dass für n größer oder gleich 2 1 durch n Quadrat kleiner ist als 1 durch n mal n minus 1 ist. Also ist das eine Majorante.

Das heißt, wir zeigen jetzt noch, dass die Reihe n gleich 2 bis unendlich 1 durch n mal n minus 1 konvergiert.

Dabei können wir so einiges anwenden, was wir bisher in dem Kurs schon besprochen haben. Auf alle Fälle werden wir nicht das Quotientenkriterium benutzen.

Also das hat alle spätestens an dieser Stelle wirklich ausgedient in diesem Fall. Was mache ich? Ich zerlege 1 durch n mal n minus 1 in einen Partialbruch. Das heißt, ich habe hier einmal irgendwas durch n plus irgendwas durch n minus 1.

Nun, wir können das lange ausrechnen, aber ich gebe es Ihnen hier einfach mal an. Ich habe hier eine 1 und hier eine minus 1 und dann können wir es einfach nachrechnen. Denn wenn wir das jetzt wieder auf einen gemeinsamen Bruch bringen, dann haben wir hier, das hier muss ich mit n minus 1 multiplizieren.

Das ist also minus n plus 1 und hier die 1 muss ich mit n multiplizieren. Und das hier ist dann wirklich 1 durch n mal n minus 1. Allgemein können Sie natürlich auch strikt die Partialbruchzerlegung hier in dem Fall durchführen und bekommen dieses Ergebnis.

So, das ist schon ganz gut. Und jetzt betrachte ich nicht die gesamte Reihe, sondern erstmal eine Partialsumme. Ja, und diese Partialsumme, das ist also dann n gleich 2 bis sagen wir eben von 1 durch n minus 1 minus 1 durch n.

Das ist ja hier einfach nur übertragen, die beiden Terme vertauscht. Da schreibe ich alle Summanden aus. Für n gleich 2 habe ich hier 1 durch 2 minus 1, das ist 1.

N gleich 2 gibt hier eineinhalb. Für n gleich 3 habe ich hier im Termen erstmal eineinhalb und der hintere Term ist minus ein Drittel. Für n gleich 4 habe ich hier plus ein Drittel minus ein Viertel.

Und immer so weiter bis ich im letzten Glied ein 1 durch m minus 1 habe und ein minus 1 durch m. Und da sehen wir, das ist eine sogenannte Teleskopsumme.

Da kann ich nämlich all diese Summanden hier zusammenschieben. Die hier sind immer gleich 0 in der Mitte und alles was übrig bleibt, ist einfach nur der erste Summand und der letzte. Ja, das heißt ich habe diese Partialsummen berechnet und damit ist der Limes,

die Partialsummen, also meine Reihe 1 durch n mal n minus 1, gleich dem Limes von m gegen unendlich von 1 minus 1 durch m.

Und das ist 1. So, was habe ich jetzt gewonnen? Ich habe diese Reihe berechnet, sie hat den Wert 1. Dann gibt es zusammen mit dem ersten Glied 1 eine konvagente Majorante der Reihe, deren Konvergenz ich zeigen wollte.

Und ich habe sogar noch ein kleines bisschen mehr gezeigt. Ich kann diese Reihe sogar nach oben abschätzen. Die Reihe n gleich 1 bis unendlich, die ist kleiner als 1 plus die Summe n gleich 2 bis unendlich 1 durch n mal n minus 1.

Also was ist das 1 plus 1? Das ist gleich 2. Diese Reihe hier ist kleiner als 2.