Wir können die Analogie zwischen Matrix-Produkt und linearen Abbildungen noch ein bisschen weiter treiben, nämlich aus den Eigenschaften der Verkettung von Funktionen. Daraus kriege ich diese Eigenschaften.

Also wenn ich, ich habe jetzt nicht genau hingeschrieben, was a, b, c und d für Matrizen sind, das können Sie sich jetzt selbst dazu nennen, also

wenn ich diese Matrizen multiplizieren kann, dann ist es egal, ob ich b mal c zu ersten mache und dann noch von links a dran multipliziere oder ob ich erst hier a mal b mache und dann noch c dran multipliziere. Denn es ist für Funktionen egal, ob ich zunächst hier diese verkette und dann noch diese ran

oder erst diese verkette und dann noch diese ran. Genauso ist es egal, ob ich zwei Funktionen erst addiere und dann mit einer anderen verkette oder ob ich die einzeln verkette und dann addiere. Und auch die Multiplikation

mit einer Zahl ist, ich multipliziere ja nur Funktionswerte damit und hier brauche ich zum ersten Mal auch die Linearität der Abbildungen, das heißt, ich weiß lambda mal a, da kann ich das lambda auch direkt vors Argument schreiben, das heißt lambda a mal b, das ist lambda a mal b oder gleich

auch a mal lambda b. Also das sind alles gute Eigenschaften und hier nun mal eine dicke Warnung, Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt a mal b ist im allgemeinen Ungleich b mal a. Also

damit ich überhaupt beide Produkte a mal b und b mal a bilden kann, müssen die Matrizen quadratisch sein und selbst dann gilt das längst nicht immer, dass ich die zwei wirklich vertauschen kann. Also machen wir das mal in einem Beispiel. Ich nehme mal als a die Matrix 1, 1 0 1 und für b die Matrix 2 0 3 1.

So und dann multipliziere ich die beiden Matrizen zusammen a mal b, das geht, denn

die hier ist eine Zweikreuz-zwei-Matrix und das hier ist auch eine Zweikreuz-zwei-Matrix. Das ist also, ich nehme diese Spalte und lege sie auf diese Zeile, bilde die entsprechenden Produkte und summiere auf, das ist also 1 mal 2 plus 1 mal 3, dann diese Spalte darauf, das ist 0 mal 2 plus 1

mal 3, dann das gleiche Spiel mit der zweiten Spalte, das ist 0 mal 1 plus 1 mal 1 und 0 mal 0 plus 1 mal 1. Das ist also die Matrix 5 0, nein 5 1, 5

1, 3, 1. So in dem Fall ist aber auch b mal a wohl definiert, denn das sind ja

alles zwei Kreuz-zwei-Matrizen, also das ist 2, 0, 3, 1 mal 1, 1, 0, 1 und das ist, ich nehme diese Spalte, lege sie da drauf, 2 mal 1 plus 0 mal 0, das ist 2 plus 0, dann habe ich diese Spalte auf die zweite Zeile, 3 mal 1 plus 1

mal 0, also 3 plus 0 und in der zweiten Spalte finde ich 2 mal 1 plus 0 mal 1, das ist 2 plus 0 und 3 mal 1 plus 1 mal 1, das ist 3 plus 1, das

ist die Matrix 2, 2, 3, 4. Und das ist ungleich 5, 1, 3, 1 und demnach ist a mal b

nicht dasselbe wie b mal a, selbst für quadratische Matrizen. Nun es gibt aber auch ein paar schöne einfache Fälle, wo das ein bisschen besser ist, ich nehme mal für a die Matrix 1, 0, 0, 1 und für b, lassen sie mich eine allgemeine

2 Kreuz-zwei-Matrix schreiben. So und dann berechnen wir hieraus mal das Produkt a mal b, also 1, 0, 0, 1 mal a, b, c, d. Also ich nehme die erste Spalte,

lege sie hier drauf, dann habe ich 1 mal a plus 0 mal c, das ist a plus 0, dann habe ich hier 0 mal a plus 1 mal c, das ist 0 plus c und dann habe ich in

der zweiten Spalte 1 mal b plus 0 mal d, das ist b plus 0 und b mal 0 plus a, ja 1 mal d, das ist 0 plus d. Das ist also a, b, c, d und das ist b. Also diese

Matrix mal irgendeiner anderen Matrix genommen gibt wieder diese Matrix b. Machen wir das

andersrum, das geht hier, das sind quadratische Matrizen, a, b, c, d mal 1, 0, 0, 1. Was kommt da heraus? Ok, diese Spalte darauf, a mal 1 plus b mal 0, das ist a plus 0, dann c mal 1 plus d mal 0, c plus 0. Dann habe ich 0, 0, 1 hier drauf, a mal

0 plus b mal 1, das ist 0 plus b und c mal 0 plus d mal 1, das ist 0 plus d. Das ist also wiederum a, b, c, d, das ist wieder b, für beliebige bs. Und deswegen kriegt

a einen Namen, das a macht nämlich nichts anderes als die Matrix mit 1 zu multiplizieren. Man nennt a Einheitsmatrix. So, und die kriegt noch eine extra Bezeichnung. Ich nehme

hier mal ein fettes 1 und schreibe hier 2 dazu als Bezeichnung der Ausmaße. Oder

was sie oft auch finden, das wäre E2 Einheitsmatrix im Zweikreuz 2. Oder allgemein ist also die N-Kreuz-N-Einheitsmatrix 1, N gegeben als die Matrix, die Einser auf der Diagonal

hat und überall außen sonst Nuller. Und immer gilt dann auch 1n mal irgendein b ist gleich b mal 1, n ist gleich b für alle b aus M, N, N, R. Das heißt, die Einheitsmatrix

ist sowas wie das neutrale Element der Multiplikation. Und machen wir noch ein

Beispiel, was auch passieren kann, wenn wir für a wieder eine Zweikreuz-Zwei-Matrix nehmen, die nur hier unten einen Eintrag 1 und gleich Null hat. Und wir nehmen für b eine Matrix, die nur oben einen Eintrag und gleich Null hat. Und dann schauen wir uns mal an,

was ist a mal b? Also Null Null Null eins mal eins Null Null Null. So, das ist gleich diese Spalte darauf, da habe ich Null mal eins plus Null mal Null, also Null. Diese Spalte darauf, da habe ich Null mal eins plus ein mal Null, das ist Null plus Null, also Null. Dann habe

hier Null mal Null plus Null mal Null ist Null. Und hier Null mal Null plus ein mal Null ist auch Null. Das heißt, in dem Fall ist a mal b die Nullmatrix. Bezeichnen wir dann auch als

Null zwei zwei. Das heißt, die Matrix, die nur Nuller als Einträge hat. Und das ist doch interessant, wenn wir zwei Matrizen multiplizieren, die nicht beide gleich Null sind, dann kann es trotzdem passieren, dass ihr Produkt gleich Null ist. Das heißt, die Matrizenmultiplikation,

die ist auf alle Fälle nicht nullteilerfrei. Also etwas, was wir aus einem Körper wie R oder den komplexen Zahlen oder den rationalen Zahlen ja gewohnt sind.