Nun möchte ich auch noch zur Normalform einer Ebene im R hoch 3 kommen. Das Schöne ist nämlich bei Ebenen im R hoch 3 kann ich auch sagen, wann Vektoren auf dieser Ebene senkrecht stehen. Das heißt, wenn sie senkrecht stehen auf den Richtungsvektoren hier, wenn ich meine

Ebene in Parameterform gegeben habe. Das heißt, einen normalen Vektor nenne ich einen Vektor, der sowohl N,V gleich Null erfüllt, als auch N,V gleich Null, aber selbst ungleich Null ist.

So, der steht dann sogar senkrecht auf jedem Richtungsvektor der Ebene. Dann jeder Richtungsvektor der Ebene, das ist ja eine Linearkombination von V und V. Und dieses Skalarprodukt ist linear. Demnach wird dann auch das Skalarprodukt von N mit jeder Linearkombination Null sein.

Also schreiben wir das kurz auf. Dann folgt auch das N,lambda V plus mu W. Was ist das? Das ist lambda N,V plus mu N,W.

Das ist also Null plus Null gleich Null. So, für alle beliebigen Wahlen von lambda und mu.

Okay, das heißt, der steht wirklich senkrecht auf der Ebene. Und ja, dann kann ich wieder sagen, wann liegt ein Punkt x aus dem R hoch 3 auf der Ebene. Nun, das ist genauso wie für die Geraden im R2.

Nämlich, wenn x minus den Aufpunkt gerade von dieser Form ist. Das heißt, wenn x minus P Komma N gleich Null ist. Das heißt, unsere Ebene ist auch gegeben als die Menge der x im R hoch 3, sodass das erfüllt ist. Oder ich kann es hier wieder linear auseinander ziehen.

Ich kann sagen, wenn das Skalarprodukt von x mit dem normalen Vektor gleich D ist, wobei die Konstante D geschrieben ist als Skalarprodukt vom Aufpunkt mit dem normalen Vektor. So, und wieder gilt, wenn wir einen normalen Vektor erwischt haben, der die Länge 1 hat.

Dann nennen wir die Form, die da entsteht, hessische Normalform. Und wieder gilt, wenn ich dieses Skalarprodukt hier ausschreibe, also wenn ich x Komma N berechne als x1, x2, x3 im Skalarprodukt mit n1, n2, n3, weil das die Koordinaten von x und y sind,

dann ist das gleich x1 mal n1 plus x2 mal n2 plus x3 mal n3.

Und ja, wenn x also in der Ebene liegt, dann muss das gleich D sein. Das heißt, ich habe hier wieder eine Gleichung mit drei Unbekannten im R3, die mir eben eine Ebene festlegt.

So, das ist alles sehr schön, nur wie finde ich denn jetzt so einen normalen Vektor?

Ja, im A2 war das sehr einfach, im R3 ist es eben ein kleines bisschen komplizierter. Und dafür definiert man das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von zwei Vektoren V und W im R3. Dafür schreiben wir V Kreuz W, also dieses Kreuz hat nichts mit einem kathesischen Produkt zu tun,

das ist einfach eine Mehrfachbelegung von einem Malzeichen, also V Kreuz W. Das ist, wenn ich diese Vektoren als Koordinatenvektoren hier gegeben habe, einfach V2 W3 minus V3 W2.

Das heißt, ich mache das da mal das da minus das da mal dem da. Dann nehme ich V3 W1 minus V1 W3. Ich mache also das da mal dem da minus das da mal dem da. Und V1 W2 minus V2 W1, das wäre das da mal dem da minus das da mal dem da.

So, und da sieht man, warum man das auch Kreuzprodukt nennt, weil wir eben hier über Kreuz die Koordinaten miteinander multiplizieren. So, ich habe gesagt, das hat was damit zu tun, dass wir einen normalen Vektor finden können.

Denn für dieses Kreuzprodukt gilt nun, dass es senkrecht ist auf V und auf W. Das können wir ja mal kurz nachrechnen. Also berechnen wir V, ich möchte es mal in der Form machen, V, W, V Kreuz W, V.

Was ist das? Nun, das schreibe ich insgesamt ins Skalarprodukt. Das ist V2 W3 minus V3 W2, V3 W1 minus V1 W3 und V1 W2 minus V2 W1.

So, und da multipliziere ich im Skalarprodukt V1, V2, V3 dran.

Was erhalte ich dann? Dann erhalte ich V2 W3 minus V3 W2 mal V1 plus V3 W. Ups, das hier ist ein W. W1 minus V1 W3 mal V2 plus V1 W2 minus V2 W1 mal V3.

So, und jetzt schauen wir mal, ob wir da was vereinfachen können. Hier habe ich V1 mal V2 mal W3 und das habe ich hier auch nochmal. Also das hier hebt sich gegen das hier weg, weil hier ein Minus steht. Dann habe ich V1 V3 mal W2. Da habe ich also das hier und das hier.

Und dann bleibt mir noch V2 V3 W1. Das habe ich hier V2 V3 W1. So, das heißt, diese Terme heben sich alle gegenseitig weg. Das ist Null.

Also weiß ich, V steht senkrecht auf dem Vektorprodukt von V mit W. Das ganze Spiel kann ich jetzt mit hier W statt V auch machen. Ich kann aber noch was bemerken und es mir dadurch ein bisschen einfacher machen.

Also wenn wir uns das hier angucken, hier ich ziehe von V2 W3 V3 W2 ab. Das heißt, ganz offensichtlich gilt, wenn ich die Reihenfolge von V und W vertausche, dann kriege ich das Negative des Kreuzproduktes raus.

Und das heißt, wenn ich hier die Rollen von V und W vertausche, das hier umkehre und hier ein W hinschreibe, dann ist es bis auf das Vorzeichen das gleiche wie W, V Kreuz W. Und das ist dann auch gleich Null, wenn ich eben die Rollen von V und W vertausche.

Das heißt, an dieser Stelle bin ich fertig. So, und das ist wunderbar. Das heißt, auch immer drei haben wir in einfacher Art und Weise gefunden, einen Vektor zu konstruieren, der senkrecht auf zwei gegebenen anderen steht.

Das heißt, wenn ich für eine Ebene, die mir in Parameterform gegeben ist, eben die Richtungsvektoren V und W rauslese, dann bilde ich hier Kreuzprodukt und habe einen normalen Vektor gefunden. Berechnen wir also folgendes Beispiel. Wir haben hier eine Ebene in Parameterform gegeben.

Das heißt, hier, das sei der Aufpunkt, hier habe ich einen Richtungsvektor und hier habe ich noch einen anderen Richtungsvektor. Ich brauche einen normalen Vektor und den kriege ich dadurch, dass ich das Vektorprodukt von V mit W berechne.

Also, dann schauen wir mal, was wir hier kriegen. Also, in der ersten Komponente nehme ich 0 mal 4 minus 2 mal 2. In der zweiten Komponente nehme ich hier 2 mal 2 minus 1 mal 4.

Und die letzte Komponente, da nehme ich 1 mal 2 minus 0 mal 2. So, und das ist minus 4, 4 minus 4 ist 0 und da habe ich nur noch 2.

Gut, das ist unser normalen Vektor n. So, damit ich nun die Normalform der Ebene aufstellen kann, muss ich also noch berechnen, was ist denn das Skalarprodukt von P mit N.

Das ist das Skalarprodukt von 1, 0, 1 mit minus 4, 0, 2.

Das ist 1 mal minus 4, also minus 4, 0 mal 0 plus 1 mal 2. Das ist also minus 2. Und dann kann ich die Normalform der Ebene aufschreiben.

Das sind jetzt die X aus dem R hoch 3, sodass N, das ist minus 4, 0, 2 gepaart mit X gleich minus 2 ist.

Ja, oder ich kann das auch schreiben durch eine Gleichung, indem ich dieses Skalarprodukt ausmultipliziere. Da habe ich minus 4, X1 plus 2, X3 gleich minus 2.

Ja, und dann könnten wir noch weiter umspielen, also wir könnten hier noch durch 2 teilen. Aber das ist wunderbar, das ist eine Normalform. Das heißt, Normalformen von Ebenen sind wie auch Normalformen von Geraden nie eindeutig bestimmt.

Hier habe ich jetzt also eine Gleichung für die drei Komponenten von so einem Vektor. Jedes Vielfache dieser Gleichung ist auch eine Gleichung für E. Also jedes von 0 verschiedene Vielfache.

Gut, das Schöne ist, dass ich aus so einer Gleichung den normalen Vektor auch gleich wieder ablesen kann, nämlich als Koeffizienten Vektor dieser Gleichung. Und Normalform heißt diese Form eben, weil ich sie aus dem normalen Vektor bestimmen kann.