In den letzten Videos hatten wir Funktionen der Form x geht nach a hoch x betrachtet, wo das Argument also hier in Exponenten sitzt. Jetzt mache ich das wieder umgekehrt. Ich möchte, dass das Argument meiner Funktion die Basis ist.

Während also das, was ich gerade weggewischt habe, Exponentialfunktionen sind, kriegen wir jetzt Potenzfunktionen heraus. Also eine Funktion der Form x geht nach x hoch a heißt Potenzfunktion. Da können wir jetzt den Exponenten beliebig in a, also a beliebig in r wählen.

Die meisten solchen Exponenten kommen Ihnen schon ziemlich bekannt vor. Also wenn wir als Exponent eine natürliche Zahl oder die Null wählen, dann steht da ein Polynomen. Also x geht nach x hoch n, das ist ein einfaches Monom oder Polynom.

Das kennen Sie schon. Das ist auf den gesamten reellen Zahlen definiert und bildet wieder in den reellen Zahlen ab. Für andere Exponenten können wir den Definitionsbereich nicht ganz so groß wählen.

Also nehmen wir als nächstes mal den Fall, dass a noch eine ganze Zahl ist, aber nicht mehr eine natürliche Zahl oder Null. Dann haben wir eine rationale Funktion. x geht nach 1 durch x hoch n. Wenn a aus z ohne n Null ist, dann ist a gleich minus n für ein n aus n.

Das heißt, wir können diese gebrochen rationale Funktion betrachten auf Ihrem maximalen Definitionsbereich.

Das sind die reellen Zahlen ohne die Nullstelle des Nenners, also ohne Null. So, auch kennen Sie schon Exponenten a, die rationale Zahlen sind.

Also p und q, na sagen wir p ist aus z und q ist eine natürliche Zahl. Solche Funktionen hatten wir auch schon studiert. Nämlich dann ist x hoch a, also x hoch p durch q, gleich die kute Wurzel aus x hoch p.

So, und damit ich das hier hinschreiben kann, muss natürlich diese Wurzel wohl definiert sein.

Tja, da muss man ganz gut aufpassen, wann ist diese Wurzel wohl definiert. Nun, auf alle Fälle mal für x größer als Null. Und wenn p größer ist als Null, dann kann ich sogar noch hier für x gleich Null,

diesem Term eine wirkliche Bedeutung zumessen. Und so ist das nicht nur für rationale Exponenten, sondern für beliebige reelle Exponenten, die keine ganzen Zahlen mehr sind.

Da machen wir einen kleinen Kunstgriff, um sagen zu können, was ist denn x hoch a. Nun, wir nehmen einfach erstmal an, das wäre für x größer als Null einfach die Funktion, die a abbildet auf x hoch a, also eine Exponentialfunktion.

Dann können wir schreiben, x hoch a gleich e hoch a ln x. So, und genauso definieren wir die Potenzfunktion auf den positiven reellen Zahlen.

Und dann gilt wieder, wenn a größer als Null ist, dann setzen wir noch 0 hoch a gleich Null. Das heißt, für a größer als Null gilt, x geht nach x hoch a, hat den Definitionsbereich R größer gleich Null

und den Zielbereich auf alle Fälle ein R. Und wenn a kleiner als Null ist, dann definieren wir, x geht nach x hoch a nur für positive reelle Zahlen.

Eben dadurch, dass wir sagen, das identifizieren wir mit e hoch a ln x.

Gut, dann können wir uns die Eigenschaften von Potenzfunktionen angucken. Also für eine ganze Menge von solchen Funktionen haben wir sie schon betrachtet. Wir denken also bei Potenzfunktionen insbesondere immer an Wurzelfunktionen. Also wenn p durch q gleich 1 durch q ist, dann haben wir als Exponent a gleich 1 durch q eine Wurzelfunktion.

So, diese Potenzfunktionen sind überall stetig auf ihrem Definitionsbereich und sie sind auch differenzierbar.

Ja, wenn wir eine rationale Funktion haben, also unser Exponent eine ganze Zahl ist, dann überall auf d und beliebig oft. Wenn a aus R ohne z ist, dann nur auf den positiven reellen Zahlen.

Das heißt, im Fall, dass a größer als Null ist, ist diese Funktion nicht in Null differenzierbar, aber in allen anderen Punkten des Definitionsbereiches. Die Ableitung ist dann f' von x, das ist a mal x hoch a minus 1.

Oh, wie sehen wir das? Nun, ich möchte berechnen die Ableitung von x hoch a. Das schreibe ich mit Hilfe der e-Funktion wieder als e hoch a mal ln x und will das ableiten.

Und das Schöne ist nun, hier kennen wir alle Ableitungen. Wir kennen die Ableitung der e-Funktion und der Logarithmusfunktion. Das heißt, benutzen wir die Kettenregel, so können wir dieses ganze Ding ableiten.

Die Kettenregel besagt, was ist hier die äußere Funktion, das ist die Exponentialfunktion, die muss ich ableiten und an dieser Stelle auswerten. Die Ableitung der e-Funktion ist sie selbst, also steht hier wieder e hoch a mal ln x.

So, und dann muss ich das Ganze noch multiplizieren mit der Ableitung der inneren Funktion. Und die Ableitung der inneren Funktion, ja, da können wir das a einfach stehen lassen. Und die Ableitung vom ln, das war 1 durch x.

Das heißt, hier steht das a, ziehe ich mal ganz nach vorne, dann steht hier wieder e hoch a ln x, das ist einfach nur x hoch a, geteilt durch x. Und das ist a mal x hoch a minus 1.

So, das heißt, das gilt hier für x größer als 0. Damit habe ich also alle Fälle abgedeckt bis auf den Fall, wo a eine ganze Zahl ist und x kleiner als 0.

Wenn a aus z ist und x kleiner als 0, dann haben wir das schon berechnet. Also wir hatten bereits gesehen, dass die Ableitung von einem Polynom x hoch a gleich a mal x hoch a minus 1 ist.

Und das hatten wir auch gesehen für 1 durch x hoch n, dass die Ableitung dann minus n mal x hoch minus n minus 1 ist.

Also ist diese Ableitungsformel wirklich immer gültig. x hoch a abgeleitet ist a mal x hoch a minus 1. Einfach ist nun die Stammfunktion, denn das habe ich als Behauptung hingeschrieben.

Wir können das also einfach wieder überprüfen. Nun die Ableitung vom ln, die hatten wir gefunden als 1 durch x. Das ist also für den Fall a gleich minus 1. ln Strich von x ist 1 durch x. Das ist x hoch minus 1.

Und in allen anderen Fällen habe ich diese Ableitung angegeben. Das macht dann Sinn. Dann leiten wir das einfach mal ab. Wenn a ungleich minus 1 ist, was ist die Ableitung von x hoch a plus 1 durch a plus 1? Nun, die hatten wir gerade berechnet. Das ist nun eine Konstante.

Das ist also a plus 1 durch a plus 1 mal x hoch a plus 1 minus 1. Und dann sehen wir das hier. Das ist 1. Und hier x hoch a plus 1 minus 1.

Das ist einfach x hoch a. Und dann werfen wir noch einen Blick auf die Nullstellen. Wann ist so ein Term x hoch a gleich 0? Nun, das kann nur passieren, wenn a größer als 0 ist.

Und dann ist x gleich 0 eine Nullstelle. Und ansonsten ist x hoch a immer ungleich 0. Also wenn das der Fall ist, dann ist a größer als 0 und x gleich 0.

Gut, damit haben wir die Eigenschaften von Potenzfunktionen eigentlich ganz gut erfasst.