So, nach quadratischen Gleichungen, nun auch quadratische Ungleichungen in einer Variablen, das heißt ich suche mal im ersten Schritt Lösungen, und zwar reelle Lösungen der

Ungleichung x² plus px plus q größer gleich 0, also für fest vorgegebene p und q aus R. Das heißt, ich mache es mir einfach, ich sage, ich habe hier schon die Normalform der

Parabel gegeben, das heißt unsere Parabel liegt hier irgendwie nach oben geöffnet. Und was heißt es dann anschaulich, dass wir Lösungen suchen, die größer gleich 0 sind, das heißt wir suchen

x, sodass diese Funktion hier, die quadratische Funktion, positive Werte annimmt. Nun positive

Werte werden hier in dem Bereich angenommen und in dem Bereich und wir haben gesagt, das kann mit dabei sein. So, das wären also die Bereiche positive Werte und das heißt nun, dass unsere Lösungen sich hier in diesem Bereich befinden. Gut, das heißt, ich möchte es mal

eins nennen, ich kann hier direkt unsere Lösungsmenge angeben. Ich habe gesehen,

dass die aus zwei Bereichen besteht, die markiert sind durch die Nullstellen. Das hier wären die zwei Nullstellen der Funktionen. Die Nullstellen, das sind die Lösungen der Gleichung, also minus p halbe minus Wurzeldiskriminante vereinigt mit der anderen

Nullstelle, der größeren, ab da ist alles dabei. Das ist plus d bis unendlich und dabei erinnere ich daran, dass d p halbe zum Quadrat minus q ist, unsere Diskriminante. So, das ist

also jetzt nur für den Fall hier, dass die Diskriminante größer ist als Null, denn dann habe ich zwei Nullstellen. Es könnte ja auch der Fall eintreten, dass die Parabel hier die

x-Achse nur touchiert oder dass sie sie gar nicht berührt. Das ist im Fall der Diskriminante gleich Null und das ist in dem Fall, dass die Diskriminante kleiner gleich Null ist. Immer weiß ich, meine Funktion nimmt keine negativen Werte an, erfüllt also diese Gleichung. Das heißt,

im Falle, dass d die Diskriminante kleiner gleich Null ist, ist jedes Element x aus R eine Lösung dieser Ungleichung. Und genauso können wir reelle Lösungen suchen für die Ungleichung x

Quadrat plus px plus q kleiner als Null. Nein, kleiner gleich Null. So, da wissen wir in diesem

Fall, dass die Diskriminante größer ist als Null. Da haben wir wirklich einen Bereich hier, wo negative Werte angenommen werden. In dem Fall, dass die Diskriminante echt kleiner ist als Null, dann nimmt die Parabel hier nur positive Werte an. Ich habe gar keine Lösung und in dem

Fall, dass die Diskriminante gleich Null ist, habe ich hier einen einzigen Punkt, nämlich den Scheitelpunkt der Parabel, wo die Parabel einen Wert kleiner gleich Null annimmt. Das heißt,

ich kriege hier die Lösungsmenge für d größer als Null, d gleich Null und d kleiner als Null unterschieden. Im Fall d größer als Null ist es dieses Intervall zwischen den beiden Nullstellen,

also minus p halbe minus d bis minus p, Wurzel d natürlich, minus p halbe Wurzel d, weil ich hier ein kleiner Gleich habe, sind die beiden Nullstellen auch noch Lösungen. Im Fall,

dass d gleich Null ist, schnurrt unser Intervall zu einem einzigen Punkt zusammen. Das ist minus p halbe, die einzige Nullstelle und in dem Fall, dass d kleiner ist als Null, finde ich gar

keine Lösung mehr. So, das habe ich nochmal schön aufgeschrieben. Also die reellen Lösungen der quadratischen Gleichung x² plus px plus q größer gleich Null mit Diskriminante p halbe

zum Quadrat minus q, die sind gegeben im Fall d größer als Null als die Vereinigung dieser zwei Intervalle, also alles was kleiner gleich der kleinere Nullstelle ist und alles was größer gleich der größere Nullstelle ist, beziehungsweise wenn die Diskriminante nicht positiv ist,

also kleiner gleich Null, dann lösen alle x aus R diese Ungleichung. Im Gegensatz dazu haben wir die Ungleichung mit dem kleiner Gleich gelöst für drei verschiedene Fälle, die zu

unterscheiden sind, nämlich im Fall einer positiven Diskriminante kriege ich ein abgeschlossenes Intervall, das im Fall der Diskriminante gleich Null zu einem einzigen Punkt sich zusammenzieht und im Falle, dass die Diskriminante echt kleiner ist als Null, kriege ich gar keine Lösung mehr.

Meine Funktion nimmt dann nur noch positive Werte an. So, aber was passiert denn jetzt mit den anderen Gleichungen? Also x² plus px plus q echt größer als Null. Na ja, schauen Sie mal

das ist genau der gegenteilige Fall von diesem zweiten Satz. Also wenn ich das hier wieder wie auf der ersten Seite L2 nenne und das hier L1, dann ist hier die Lösungsmenge, in dem Fall

das x² plus px plus q echt größer als Nulles, einfach gegeben als die Lösungsmenge der x² plus px plus q kleiner als Null, das ist die Verneinung von x² plus px plus q größer als Null.

Und auch den Fall x² plus px plus q echt kleiner als Null, den können wir dann genauso lösen,

indem wir sagen, x² plus px plus q kleiner als Null ist die Verneinung der Aussage, dass x² plus px plus q größer als Null ist. Das heißt, die Lösungsmenge hier,

das sind die reellen Zahlen ohne die Lösungsmenge 1. Machen wir ein paar Beispiele dazu, etwa x² plus 1 größer als Null, schauen uns an, 1 ist immer größer als Null, x² ist größer

als Null, das hat also immer, ja, jedes x aus R ist eine Lösung dieser Gleichung, die Lösungsmenge ist gleicher, dann schaue ich mal an, x² minus 1 kleiner als Null,

das heißt, schauen wir uns kurz an, wie die Parabel liegt, die hat die Nullstellen 1 und minus 1, liegt also so, da ist die Lösungsmenge alles, was sich hier, ja, für was die Parabel

hier unterhalb der x-Achse liegt, das ist das offene Interval von minus 1 bis 1. Im Gegensatz dazu ist x² minus 1 größer als Null, das sind die reellen Zahlen ohne,

ja, wenn ich hier noch ein kleiner Gleich dazu nehmen würde, würde ich das abgeschlossene Intervall kriegen, also minus 1 bis 1 ausgenommen und das ist die Vereinigung von zwei Intervallen,

nämlich minus unendlich bis minus 1, vereinigt mit 1 bis unendlich, wobei die Grenzen jeweils nicht dabei sind, denn die lassen wir hier ja weg. So, und vielleicht noch ein allerletztes Beispiel, minus x² kleiner als Null, ui, die ist jetzt nicht mehr in Normalform, deswegen form ich

das hier erstmal um, da kann ich für alle x aus R die Umformung machen, dass das heißt, x² ist größer als Null und für welche x ist das erfüllt, nun x² ist immer größer

als Null, aber es ist gleich Null, genau dann, wenn x gleich Null ist, das heißt, ich muss die Null hier herausnehmen.