Wenn wir das machen, dann steht hier x1 mal x2 plus x2 mal minus x1. Und das ist offensichtlich gleich Null. Wenn das passiert, das geht natürlich auch im R hoch N. Das heißt, x und y heißen orthogonal, wir sagen auch x senkrecht auf y,

wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Also Beispiel, was wir schon gesehen hatten, ei steht orthogonal auf ej, wenn ei nicht j ist.

So, das kann man anwenden. Ich möchte mal im R2 bleiben

und diesen Vektor, den wir hier zu einem beliebigen Vektor x gefunden haben, als x senkrecht bezeichnen. Also zu x, das gegeben ist, durch x1, x2 sei x senkrecht,

diese Vektor, den wir da gefunden haben, x2 minus x1. Also wir haben gerade gesehen, dass x senkrecht auf x senkrecht steht.

Und jetzt berechnen wir die Norm von x. Nun, das ist die Wurzel aus x1 Quadrat plus x2 Quadrat. Das ist offensichtlich auch die Wurzel aus x2 Quadrat plus minus x1 Quadrat. Ich stelle das nur um. Und das ist die Norm von x senkrecht.

Die haben also dieselbe Länge. Außerdem sind das zwei Vektoren, die linear unabhängig sind.

Also falls natürlich x nicht der Null Vektor ist, dann bilden x und x senkrecht eine Basis vom R2.

Und das heißt, ist y irgendein Vektor aus dem R2, dann finden wir Skalare, Lambda und Mu so,

dass y gleich Lambda x plus Mu x senkrecht ist. Das ist eine Basis, dann können wir jedes Element vom R2 schreiben

als Linearkombination dieser Basis Vektoren. Okay, und damit können wir jetzt einfach mal rechnen. Wir wollen jetzt mal berechnen, was ist denn das Skalarprodukt von y mit x.

Ja, das schreiben wir hin. Das ist Lambda x plus Mu x senkrecht, x. So, jetzt nutze ich aus, dass das Skalarprodukt hier linear ist.

Das heißt, das hier ist gleich Lambda mal das Skalarprodukt von x mit x plus Mu mal das Skalarprodukt von x senkrecht mit x.

So, jetzt stehen aber x und x senkrecht senkrecht aufeinander. Das heißt, das hier ist Null. Und was mir übrig bleibt, ist Lambda mal x,x. Das kann ich auch schreiben, dieses x,x als die Norm von x zum Quadrat.

So, und das nehmen wir mal mit auf die neue Seite. Das wollen wir uns jetzt nämlich mal angucken. Also ich zeichne hier mal die Gerade an, die durch x geht.

Und hier irgendwie mein y. Dann habe ich hier noch x senkrecht, die gerade die senkrecht zu x geht. Also das hier, schwupp.

So, dann markiere ich hier y. Dann habe ich hier x. Oder sagen wir hier x.

Wenn ich das hier runterziehe, dann ist das hier ja die Komponente von, ja, das ist R mal x. Ich sollte das noch ordentlich hinschreiben. Das ist R mal x senkrecht.

So, und y drücke ich aus durch x und x senkrecht. Das hier ist Lambda mal x. Und das hier, das ist mu mal x senkrecht. So, das heißt aber auch, wenn ich mir angucke, ich habe ja hier einen rechten Winkel wiederum.

Ich habe hier ein rechtwinkeliges Dreieck. Das heißt, das Verhältnis zu dieser Länge, von dieser Länge zu dieser Länge, das ist der Kosinus dieses Winkels Alphas.

Das war die Definition des Kosinusses. Der Kosinus von Alpha, das ist gleich Lambda mal die Länge von demdings durch die Länge von y.

Und das ist gleichbedeutend dazu, wenn ich das umstelle, dass Lambda mal Länge von x gleich Kosinus Alpha mal die Länge von y ist.

So, das setze ich jetzt zusammen mit dem, was ich auf der letzten Seite ausgerechnet habe.

Bei Lambda habe ich nämlich gesagt, das Skalarprodukt von x und y, das ist Lambda mal die Norm von x zum Quadrat. Das heißt, wenn ich das hier einsetze, dann steht hier ein Lambda mal die Norm von x, benutze ich, um das zu ersetzen,

durch den Kosinus von Alpha mal die Norm von y und dann bleibt mir noch eine Norm von x übrig. So, und damit haben wir eine Bezeichnung für das Skalarprodukt gefunden von x und y oder eine Interpretation.

Das sagt uns nämlich, es ist im Prinzip der Kosinus von Alpha mit den entsprechenden Winkeln von x und y.

Also, als Beispiel können wir mal sagen, wenn y selbst schon Vielfaches von x ist. Also, ich sage mal, y soll erst mal ein positives Vielfaches sein.

Dann ist also dieser Winkel hier gleich 0 und der Kosinus von Alpha gleich 1, der Kosinus von 0 ist 1. Und dann steht da einfach nur, dass y,x gleich die Norm von x mal die Norm von y ist.

Und in dem Fall, dass y immer noch ein Vielfaches von x ist, aber jetzt ein negatives Vielfaches, dann ist Alpha ja gleich Pi und der Kosinus von Alpha gleich minus 1.

Und dann finden wir für das Skalarprodukt von y und x, dass das Minus Norm x mal Norm y ist.

Okay, das heißt, wir können nicht nur die Norm eines Vektors geometrisch interpretieren, sondern auch das Skalarprodukt von zwei Vektoren. So, das habe ich jetzt für den R2 gemacht. Das kann man auch ganz allgemein machen im R hoch n.

Aber da muss man dann sagen, was der Winkel Alpha sein soll. Nun, und dann nimmt man eben für x und y die von denen aufgespannte Ebene und sagt der Winkel Alpha, das sei dann der Winkel zwischen x und y in dieser von ihnen aufgespannten Ebene.