in der nicht alle diese Koeffizienten Lambda 1 bis Lambda r gleich Null sind. Eine solche Darstellung, das hatte ich gerade schon gesagt, der Null, heißt dann nicht trivial. Und wenn wir keine solche Lösung finden können, dann heißen die Vektoren linear unabhängig.

In unserem Beispiel würde das heißen, dass diese vier Vektoren 70 pi e 1 1 und 5 minus 1 linear abhängig sind.

Wir sehen hier aber auch, wir haben eigentlich nur hier drei Vektoren und hier drei Vektoren gebraucht,

also sind auch nur 70 pi e und 5 minus 1 linear abhängig voneinander und auch 11 5 minus 1 und 70 sind voneinander linear abhängig.

Das wohl wichtigste Beispiel für linear unabhängige Vektoren, das sind die Einheitsvektoren. Ich möchte das hier mal nur für zwei zeigen, also wir nehmen 1 0 und 0 1,

diese Vektoren sind linear unabhängig, denn, ja schauen wir uns einfach an, jede Linearkombination, die wir hinschreiben können aus 1 0 und 0 1, die ist von dieser Form.

So, und wenn die 0 sein soll, dann ist das nichts anderes als ein lineares Gleichungssystem in Lambda 1 und Lambda 2. Und wenn wir die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems bestimmen, dann wissen wir, gibt es nur die triviale Lösung, also nur 0 0 oder gibt es auch noch andere Lösungen.

Solche anderen Lösungen würden dann zu einer nicht trivialen Linearkombination führen und wir zeigen jetzt, dass eben nur Lambda 1 Lambda 2 gleich 0 hier das richtige Ergebnis liefert.

Also wir schreiben mal die beiden Gleichungen einzeln, das heißt ja nichts anderes als Lambda 1 plus 0 mal Lambda 2 gleich 0 und 0 mal Lambda 1 plus Lambda 2 gleich 0. Ja, und das steht also schon da, das ist gleichbedeutend dazu, dass Lambda 1 und Lambda 2 gleich 0 sind.

Also das heißt, dieses lineare Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung, Lambda 1 Lambda 2 gleich 0 0.

Also müssen die beiden Vektoren linear unabhängig sein.

Machen wir noch ein paar einfache Beispiele. Diese Definition von lineare Abhängigkeit, die impliziert, dass der Nullvektor selbst von sich linear abhängig ist.

Ja, denn wir wissen ja Null ist gleich Lambda mal Null für alle skalare Lambda.

Also ist zum Beispiel 1 mal Null eine nicht triviale Darstellung von Null.

Ja, und demnach haben wir eine nicht triviale Linearkombination gefunden und sehen Null ist von sich selbst linear abhängig. Jetzt wollen wir noch untersuchen, wann zwei Vektoren, die wir jetzt mal ungleich Null wählen, linear abhängig voneinander sind.

Ja, erstmal beantworten wir das nur, indem wir die Definition hinschreiben, nämlich sie sind dann linear abhängig, wenn es, sagen wir, Lambda und Mu in R gibt, sodass Lambda v plus Mu w gleich Null ist, aber Lambda und Mu nicht beide Null.

Ja, und jetzt machen wir einfach eine kleine Fallunterscheidung. Falls wir also so eine Lösung haben, in der nicht beide gleich Null sind und wir gehen mal davon aus, Lambda ist ungleich Null,

dann können wir diese Gleichung nach V auflösen, dann ist V gleich Mu durch Lambda mal w. Und im anderen Fall, wenn Mu ungleich Null ist, also natürlich kann auch beides erfüllt sein, dann finden wir w als Minus Lambda durch Mu mal v.

Das heißt, V ist Vielfaches von w oder umgekehrt.