Genauso wie der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist, also der Exponentialfunktion e hoch x mit Basis Euler'scher Zahl, so können wir auch die Umkehrfunktion von a hoch x bilden. Zu jeder Basis a größer als 0, wenn wir a gleich 1 ausschließen.

Warum schließen wir a gleich 1 aus? Nun betrachten wir kurz die Exponentialfunktion zur Basis 1, also 1 hoch x, das ist wieder 1 und zwar für alle x aus R. Das heißt für die Basis 1 ist die Funktion nicht injektiv und

ganz bestimmt nicht umkehrbar. Ist die Basis aber von 1 verschieden, dann haben wir eine Umkehrfunktion und die nennen wir dann den Logarithmus zur Basis a. Das ist eine Funktion auf den positiven reellen Zahlen mit Werten in

R. Weil der Logarithmus zur Basis a die Umkehrfunktion von a hoch x ist, gelten dann die folgenden Identitäten a hoch Logarithmus zur Basis a von ist wieder x für alle positiven reellen Zahlen x und der Logarithmus zur Basis a

von a hoch x ist wieder x, sogar für alle reellen Zahlen x. Die gebräuchlichsten Basen sind a gleich 2, dann kriegen wir den binären Logarithmus Lb, a gleich e, das ist dann der natürliche Logarithmus Ln

oder a gleich 10, dann kriegen wir den 10er Logarithmus Lg. Weil x und Ln Umkehrfunktionen voneinander sind, gilt für alle a größer als 0, dass a

gleich x nach Ln von a ist oder kurz geschrieben a gleich e hoch Ln a. Damit kann ich a hoch x anders schreiben als e hoch Ln von a hoch x und ja jetzt wollen wir die Klammer auflösen, dazu brauchen wir ein Potenzgesetz.

Das ist gleich e hoch Ln a mal x beziehungsweise umgestellt e hoch x mal Ln a. Das heißt wir können die Potenz a hoch x auch schreiben als Potenz zur

Basis e, eben als e hoch x mal Ln a. Wir können noch weitere solche Rechnungen machen, also gehen wir davon aus, dass was wir gerade gesehen haben

für alle a größer 0 und alle reellen Zahlen gilt a hoch x gleich e hoch x Ln a. Darauf lasse ich den Logarithmus los. Dann steht dort Ln von a hoch x gleich

Ln von e hoch x Ln a und ja jetzt Ln und e sind Umkehrfunktionen voneinander,

das heißt das ist einfach nur x mal Ln a. Ln von a hoch x gleich x mal Ln a. Speziell wenn wir darin setzen, x gleich minus 1, dann erhalten wir Ln von 1 durch a,

x gleich minus 1 ist gleich x, also minus Ln von a. Auch das gilt wieder für alle a größer als 0.

Das nächste was wir rechnen wollen ist, ja sagen wir a und b sind größer als 0 beliebig, e hoch Ln a mal b. Das ist, weil e und Ln Umkehrfunktionen sind, wiederum gleich a mal b.

Und das schreibe ich nun wieder kompliziert, indem ich ein e hoch Ln vor jeden Faktor setze, also hier wiederum Umkehrfunktionen. Das ist auch gleich e hoch Ln a mal e hoch Ln b. Und

hier benutze ich die Funktionalgleichung der E-Funktion, dann steht dort also e hoch Ln a plus Ln b auf.

Diese zwei Enden dieser Gleichung wende ich nun wieder den Logarithmus an. Dann steht dort Ln von e hoch Ln a b, das ist also Ln von a mal b. Und auf der rechten Seite steht Ln von e hoch,

auch das kürze ich weg, das ist Ln von a plus Ln von b. Das ist die sogenannte Funktionalgleichung

der Logarithmusfunktion. Und schließlich will ich mich daran erinnern, dass für a größer als 0 und

ungleich 1 x geht nach a hoch x, bjektiv ist von r nach r größer als 0. Das heißt, wenn ich

ein beliebiges y größer als 0 nehme, dann existiert genau ein x, eine reelle Zahl, sodass y gleich a hoch x ist. Mit diesem y rechnen wir ein wenig weiter. Das heißt, y gleich a hoch x, das ist

auch, wie wir gerade schon benutzt haben, e hoch x mal Ln von a. Und auf diese Gleichung wende ich wiederum den Ln an und erhalte Ln von y gleich Ln von a hoch x gleich das hier x mal Ln von a.

So, das wiederum kann ich nach x auflösen, weil a ungleich 1 ist, ist Ln von a ungleich 0,

dadurch kann ich teilen und erhalte x ist gleich Ln von a hoch x durch Ln von a bzw Ln

von y durch Ln von a. Ja, dieses x hier, das war das eindeutig bestimmte x, sodass y gleich a hoch x ist. Also das heißt, x ist auch gleich der Logarithmus von y zur Basis a. Ja, und

Logarithmus von y zur Basis a ist gleich den Ln von y durch den Ln von a. Was ich hier

gerade gezeigt habe, das sind die Logarithmusgesetze. Die fassen wir nochmal in einem Satz zusammen. Es gilt nämlich für alle a ungleich 1 a größer als 0 und alle positiven reellen Zahlen x und y

größer als 0. Der Logarithmus von y zur Basis a ist gleich den Ln von y durch den Ln von a. Der Logarithmus von x mal y zur Basis a ist gleich dem Logarithmus von x zur Basis a plus dem Logarithmus von

y zur Basis a. Und der Logarithmus von x durch y zur Basis a ist gleich dem Logarithmus von x zur Basis a

streng genommen haben wir diese letzte Zeile noch nicht gezeigt aber wir wissen

ja Ln von x mal Ln, also Ln von x mal y ist Ln x plus Ln y. Das zusammengenommen mit dieser Identität liefert erstmal die zweite

Zeile. Wir wissen aber auch, dass der Ln von 1 durch y gleich minus dem Ln von y ist. Das hatten wir gerade nachgerechnet. Wenn wir das beides zusammennehmen, dann sehen wir der Logarithmus von x durch y, das ist

gleich. Ein bisschen anders geschrieben, dem Ln von x mal 1 durch y, also der Ln von x plus der Ln von 1 durch y, was ist der Ln x minus der Ln von y.

Jetzt habe ich diese letzte Zeile wiederum für den natürlichen Logarithmus gezeigt und mit der ersten Zeile folgte dann auch für beliebige Logarithmen.