Monotone Konvergenz II
This is a modal window.
The media could not be loaded, either because the server or network failed or because the format is not supported.
Formal Metadata
Title |
| |
Subtitle |
| |
Title of Series | ||
Part Number | 23 | |
Number of Parts | 36 | |
Author | ||
License | CC Attribution - NonCommercial - NoDerivatives 3.0 Germany: You are free to use, copy, distribute and transmit the work or content in unchanged form for any legal and non-commercial purpose as long as the work is attributed to the author in the manner specified by the author or licensor. | |
Identifiers | 10.5446/67828 (DOI) | |
Publisher | ||
Release Date | ||
Language |
Content Metadata
Subject Area | |
Genre |
HM4mint Sondervideos23 / 36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
34
35
36
00:00
ZahlExponentiationInequality (mathematics)Limit of a functionAbel's theoremEquationMultiplication signNumerical analysisInfinitySequenceNichtlineares GleichungssystemPower (physics)Limit of a sequenceLimit (category theory)ExistencePrice indexShift operatorComputer animation
03:27
SequenceRootInfinityExistenceGreatest elementLimit setLimit of a sequenceNumerical analysisMultiplication signAbel's theoremComputer animation
Transcript: German(auto-generated)
00:01
Machen wir ein erstes Beispiel dazu. Wir zeigen für eine Zahl Q zwischen 0 und 1, dass die Folge der Potenzen Q hoch M für M gegen und endlich gegen 0 geht. Wir müssen die Voraussetzungen prüfen. Also schauen wir uns an, ist diese Folge hier beschränkt?
00:26
Weil Q größer als 0 ist, gilt das auch für alle seine Potenzen. Also sie ist durch 0 nach unten beschränkt. Und weil Q kleiner als 1 ist, aber immer noch größer als 0, sind auch alle seine Potenzen kleiner als 1.
00:47
Das heißt, die Folge ist durch 1 nach oben beschränkt. Und wie sieht es mit der Monotonie aus?
01:02
Ja, da bemerken wir als erstes, wir wissen 1 ist größer als Q. Und weil Q größer als 0 ist, kann ich da auf jeder Seite einfach Q dran multiplizieren und erhalte wieder eine richtige Ungleichung. Also ist Q größer als Q².
01:24
Da kann ich wieder auf beiden Seiten dran multiplizieren. Dann kann ich diese Ungleichung weiterführen. Das ist Q² größer als Q³. Wenn ich das nochmal mache, erhalte ich Q³ größer als Q⁴ und so weiter. Das heißt, die Folge ist monoton fallend.
01:46
Der Satz garantiert mir dann die Existenz des Grenzwertes. Und dem möchte ich mal einen Namen geben A.
02:02
Ja, wenn jetzt Q³m konvergiert, dann konvergiert hier auch die Folge Q³m plus 1. Also wenn ich einfach hier nur einen Index-Shift in meiner Folge mache. Für Limes M ging unendlich gegen denselben Grenzwert.
02:23
Ja, und diese Folge hat nun einen kleinen Vorteil. Ich kann das hier auseinanderziehen. Das ist Q mal Q³m. Und kann dann durch die Grenzwertsätze sagen, das ist gleich dem Limes von der Folge Q.
02:41
Also Q mal dem Limes M ging unendlich von Q³m. Also gleich Q mal A. Jetzt habe ich die Gleichung A gleich Q mal A für eine Zahl Q zwischen 0 und 1.
03:02
Und das ist nur möglich, wenn A gleich 0 ist. Also haben wir damit gezeigt, der Limes M ging unendlich von Q³m, der existiert und ist gleich 0.
03:25
Machen wir noch ein Beispiel. Sagen wir diesmal M ist beliebig aber fest. Und wir betrachten die Folge der mten Wurzeln aus N, wobei wir N hier laufen lassen. Nun, diese Folge ist nach unten beschränkt.
03:42
0 ist kleiner als 1 durch mte Wurzel aus N. So, und weil die mte Wurzel ja monoton wachsend ist,
04:17
also das heißt, die mte Wurzel aus N ist kleiner als die mte Wurzel aus N plus 1,
04:29
ist, naja, 1 durch die mte Wurzel aus N plus 1 kleiner als 1 durch die mte Wurzel aus N.
04:41
Also fällt die Folge monoton. Wir haben also eine monoton fallende Folge, die nach unten beschränkt ist.
05:01
Sie ist natürlich auch nach oben beschränkt, durch ihr erstes Folgeglied. Also wir haben eine monoton fallende beschränkte Folge, die muss konvergieren. Das heißt, der Limes von 1 durch mte Wurzel N für N ging unendlich, nennen wir ihn ruhig wieder A, der existiert.
05:26
So, und jetzt machen wir den gleichen Trick wie vorhin, oder einen ganz ähnlichen. Nämlich, jetzt wollen wir es irgendwie schaffen, diesen Grenzwert auszutricksen, um ihn doch noch zu bestimmen.
05:41
Wir haben ja momentan, naja, vielleicht eine Idee, was es sein könnte, aber noch nicht so richtig. Also, dieses A existiert. Dann kann ich dieses A auch hoch m nehmen. m ist eine feste Zahl, das heißt, ich nehme A nur m mal mit sich selbst.
06:04
Und das heißt, ich nehme diesen Grenzwert hoch m. So, jetzt weiß ich, dieser Grenzwert hier existiert, ja. Und dann kann ich die Grenzwertsätze anwenden und dieses hoch m reinziehen.
06:24
Und dann steht hier einfach nur noch Limes, hoppla, n gegen unendlich habe ich hier jeweils stehen. 1 durch n, 1 durch mte Wurzel von n hoch m. Das ist der Limes von n gegen unendlich 1 durch n, das ist die harmonische Folge.
06:42
Die konvergiert gegen 0. Also, weil A hoch m gleich 0 ist, gilt A gleich 0. Und wir haben unseren Grenzwert bestimmt.