Wenn wir also Reelle p und q wählen und unsere Diskriminante auch gleich nochmal definieren, d also p halbe zum Quadrat minus q ist, dann hat die quadratische Gleichung x Quadrat plus p x plus q über der Grundmenge der reellen Zahlen die folgende Lösungsmenge.

So im Fall, dass d größer als Null ist, haben wir diese zwei Lösungen, mit denen wir gerade gerechnet haben, nämlich minus p halbe plus Wurzel aus der Diskriminante und minus p halbe minus der Wurzel aus der Diskriminante. So im Fall, dass d gleich

Null ist, das sind diese beiden Lösungen dergleich. Wurzel d ist dann Null. Deswegen ist die Lösung in dem Fall nur einelementig und wir haben minus p halbe. Und in dem Fall, dass die Diskriminante kleiner ist als Null, dann können wir diese Wurzel nicht ziehen

und demnach finden wir gar keine Lösung. Also machen wir dazu noch ein Beispiel. Wir gehen aus von der Gleichung 2x Quadrat plus 5x plus 7 gleich Null. Das ist äquivalent,

ich schreibe hier ruhig hin für alle x aus R, ist es äquivalent, dass diese Gleichung gilt dazu, dass die Gleichung x Quadrat plus 5 halbe x plus 7 halbe gleich Null ist.

So das hier ist in Normalform, sie ist normiert und p ist gleich 5 halbe und q ist gleich 7 halbe.

Was ist dann die Diskriminante? Die ist p halbe zum Quadrat, also 5 halbe durch 2 zum Quadrat minus q, das ist minus 7 halbe. Das sind 25 Sechzehntel minus 7 halbe und ich

muss hier entscheiden, ob das größer als Null ist, gleich Null ist oder kleiner als Null.

Das heißt ich bringe das auf den Hauptnummer, damit ich die beiden Brüche ordentlich substrahieren kann. Der Hauptnummer ist offensichtlich, oder ein Hauptnummer ist offensichtlich 16, das heißt ich habe hier oben 25 minus 7, mit was muss ich 7 halbe erweitern? Näher mit 8, minus 8.

Das sind 25 minus 56, das sind minus 31 Sechzehntel und das ist kleiner als Null. Die Diskriminante ist also kleiner als Null und daraus folgt, die Lösungsmenge ist leer. Es gibt keine

Gleichung. Das kann man sich auch sehr gut an der zugehörigen Parabel, also am Schaubild der zugehörigen Funktion angucken. Wir betrachten also die Funktion f von r nach r. Die x schickt auf x Quadrat plus px plus q und haben den Grafen, um das nochmal strikt

hinzuschreiben. Das sind die Tupel x, x Quadrat plus px plus q mit x in r. Das

ist also eine Teilmenge vom r Quadrat, das ist echt und das ist im allgemeinen erstmal eine Parabel. Wenn wir nun die Lösungsmenge der Gleichung x Quadrat plus px plus q gleich

Null haben wollen, dann heißt das, wir suchen Nullstellen der Parabel. Ist die Lösungsmenge

die, die aus zwei Elementen besteht, also gegeben als minus p halbe plus Wurzel d und minus p halbe minus Wurzel d, dann heißt das, dass unsere Parabel auch wirklich

so liegen muss. Wir haben zwei Nullstellen, das heißt unsere Parabel muss die x-Achse zweimal schneiden. Dann wäre das hier x1 und das hier x2 und das wäre hier x1, das ist nämlich die

größere von beiden und hier hätten wir x2, die kleine ab, von der wir also, das ziehen wir von minus p halbe noch die Wurzel von d ab. Jetzt der Fall, wo die Lösungsmenge ein elementig

ist, also das war hier der Fall, wo die Diskriminante größer als Null ist. Der Fall, wo die Lösungsmenge ein elementig ist, ist der Fall, in dem die Diskriminante gleich Null ist.

Auch das können wir am Grafen ganz gut ablesen. Also da hat die Parabel nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Wir haben nur eine Nullstelle und das kann nur dann der Fall sein, wenn dieser Scheitelpunkt der Parabel diese Nullstelle ist. Das heißt, dann ist unsere

Parabel von dieser Form und das hier ist minus p halbe. Und schließlich der Fall,

in dem die Lösungsmenge leer ist, also der Fall einer negativen Diskriminante. Wie sieht unsere Parabel dann aus? Na ja, dann schneidet die Parabel die x-Achse nicht. Es gibt keine Nullstellen und das heißt, sie liegt irgendwo hier oberhalb der x-Achse. Und noch einmal

eine Erinnerung. Dadurch, dass wir die Parabel hier normiert haben, wissen wir, sie ist nach oben geöffnet. Das heißt, das sind die drei Fälle, die so vorkommen können. Jetzt können Sie sagen, ja, aber irgendwie ist es ein bisschen unbefriedigend. Ich möchte

wenigstens, wenn ich das hier einzeichne, noch wissen, wo liegt denn der Scheitelpunkt. Dann bestimmen wir noch kurz den Scheitelpunkt der Parabel. Dazu formen wir ein bisschen um. Ich

mache das einfach vor x² plus px plus q. Das schreibe ich um in x plus p halbe zum

Quadrat plus q. Das heißt, ich möchte mich dieses Terms px entledigen. Da habe ich natürlich ein wenig zu viel dazu gemacht. Wenn ich das hier ausmultipliziere, dann kriege ich

x² plus px plus p² viertel. Das heißt, das p² viertel ist zu viel. Das muss ich wieder abziehen. Und dann habe ich wirklich eine Gleichung. Und da erkennen wir hier,

wir ziehen hier die Diskriminante ab. Das ist x plus p halbe zum Quadrat minus die Diskriminante. So, das, was ich gerade gemacht habe, also so zu schreiben, dass ich nur noch ein Quadrat

dastehen habe, minus eine Zahl, das nennt sich quadratische Ergänzung. So, und was habe ich dadurch gewonnen? Na, dadurch kann ich sehr einfach einen Punkt ablesen,

der auf der Parabel liegt. Nämlich den Punkt minus p halbe und minus d. Der liegt auf der Parabel. Also das heißt, f von minus p halbe ist gleich minus d. f war die

auf x² plus px plus q. Wenn ich da minus p halbe reinsetze, dann sehen wir sofort

minus p halbe plus p halbe ist Null. Also es steht hier Null Quadrat minus d. Das ist minus d, so wie es hier steht. Und das ist der Scheitelpunkt, der gewünschte.

So, und nun nochmal, um uns davon zu überzeugen, dass das stimmt, schauen wir nochmal unser

altes Schaubild an. Hier im zweiten Fall, wenn die Diskriminante als Null ist, dann heißt es, minus p halbe Komma Null liegt auf der Parabel und tatsächlich, da liegt er und es ist der Scheitelpunkt. Der Scheitelpunkt ist in dem Fall unsere Nullstelle. Gut.