Gut, jetzt habt ihr euch noch beim Ruhengehen, hab ich gehört, gewünscht, dass wir nochmal die Verkettung von Punkt-Spiegelungen anschauen. Was passiert, wenn ich zwei Punkt-Spiegelungen miteinander verkette? Okay, so, wir haben zwei Punkt-Spiegelungen, eigentlich haben wir es gerade geklärt.

Was passiert, wenn ich zwei Punkt-Spiegelungen miteinander verkette? Ich habe ja rechte Winkel hier bei den beiden Achsen, was passiert, wenn ich die miteinander verkette?

Ja, genau, also wenn wir A, B, C, D wieder, wir drehen B und C aufeinander, also A und B und C und D drehen wir so, dass B und C aufeinander liegen. Also jeweils durch den anderen Schnittpunkt durchgehen, dann verschwinden B- und C- und A- und D- sind parallel, das heißt, wir haben eine Verschiebung.

Okay, ja, check, okay. Jetzt kommt aber die entscheidende Aufgabe, was passiert, wenn ich drei Achsenspiegelungen, mache ich mal die dritte hier hin, drei Achsenspiegelungen miteinander, na, scheiße, drei Punkt-Spiegelungen, ja, es muss eine senkrechte Gerade sein, das wird doch nix.

Also manchmal denke ich, dass diese Kreidetafeln echt besser sind als dieses Zeug hier.

Kreidetafeln kann man schon mit Wasser wischen, dann macht man mit einem Wischer drüber und dann ist alles perfekt und hier, naja, C, so.

Okay, jetzt haben wir drei Punkt-Spiegelungen, wie können wir jetzt hier vorgehen, so, strategisch?

Also, du willst erst mal bei den ersten beiden B und C eliminieren, ne, dann machen wir das, vorsichtig, ich mach das jetzt mal in einer neuen Farbe, damit wir nicht Überblick verlieren. Also, wir gehen schrittweise vor, wir haben hier sechs Achs nach dem Reduktionssatz, müsste es insgesamt auf wie viel Achsen rauslaufen?

Können wir uns schon sagen, wie viel brauchen wir am Ende, haben wir, müssen wir am Ende noch haben, ja, zwei, genau, vier kann ich auf zwei reduzieren, ich habe sechs, also sechs kann ich erst mal auf vier reduzieren und die vier wieder auf zwei, also insgesamt auf zwei Achsen. Okay, ich skizziere das hier mal grob, das ist B-strich gleich C-strich, das fällt weg, dann habe ich hier A-strich und dazu parallel D-strich.

Okay, jetzt müssen wir uns vorstellen, dass wir nur diese beiden parallelen roten Geraden

haben, die ja eine Verschiebung sind, weil zwei Punkt-Spiegelungen miteinander verkettet eine Verschiebung gegeben. Das ist ein Spezialfall von, wir haben zwei Drehungen, deren Drehwinkel zusammen vielfach von 360 Grad sind,

die beiden müssen ja nicht beide rechte Winkel sein, bei der Punkt-Spiegelung ist es aber so. Also, wenn ich jetzt hier an C drehe, so das, E und D-strich müssen eigentlich aufeinander liegen, aber wenn

ich jetzt hier drehe, dann wird ja E-strich hier lang laufen, also, ne, warte mal, du willst aufeinander liegen, ne, wenn ich jetzt, dann müsste ich glaube ich so drehen, dass E so verläuft, aha, genau, also du drehst erst mal so, dass E, E-strich parallel zu D-strich verläuft, aus der Hüfte,

Okay, E-strich und C, ne, müssen wir schon ein bisschen sauberer machen, ich lasse das echt, furchtbar, C-strich und,

na, du hast vollkommen recht, dann ist das F-strich hier, ne, F-strich und das hier ist E-strich, so. Genau, vielleicht gucken wir uns erst mal die Situation an, A-strich, D-strich und E-strich sind parallele geraden, F-strich ist senkrecht auf

welchen geraden, genau, A-strich, D-strich und E-strich, ne, weil die drei alle parallel sind, also muss F-strich senkrecht auf allen dreien stehen.

Und jetzt verschieben wir A-strich und D-strich so, dass D-strich auf E-strich liegt, verlängern wir das hier mal, also jetzt liegt D-strich hier auf E-strich, D-2-strich ist es eigentlich, ne, und A

-strich habe ich natürlich jetzt um den gleichen Betrag nach rechts geschoben, also liegt es ungefähr hier, A-2-strich.

Welche geraden sind übrig geblieben? F-strich und A-2-strich, diese und diese, B-strich und C-strich haben sie eliminiert, E-strich und

D-2-strich haben sie eliminiert, also bleiben nur A-2-strich übrig und F-strich, was ist das für eine Ablehnung, ja, eine Punkt -Spiegelung um den Punkt D, genau, eine Punkt-Spiegelung um den Punkt D, wo liegt der Punkt D, wenn ihr euch das mal genau anschaut?

Wir haben die drei Punkt-Spiegelungen vorher hier mit A, B und C gehabt, wo liegt D, der resultierende Punkt, der resultierende Punkt-Spiegelung?

Genau, A, B, der Abstand zwischen A und B ist ja gleich dem Abstand zwischen D und C, weil wir diese beiden Geraden hier entsprechend einfach rüber geschoben haben, mit konstantem Abstand.

Genauso ist der Abstand von B, also dieser Abstand, oder der Abstand von B und C ist der gleiche von A und D, d.h. wir haben hier ein Parallelogramm eigentlich, ich zeichne das jetzt nicht ein, sonst wird es kompliziert, also A, B, C, D ist ein Parallelogramm, d.h. wenn ihr drei Punkt-Spiegelungen habt

miteinander verkettet, kommt eine Punkt-Spiegelung raus, und zwar liegt die einfach am vierten Parallelogrammpunkt, 8% Akku habe ich noch.

Gut, also wir wissen jetzt, zwei Punkt-Spiegelungen miteinander verkettet, gibt eine Verschiebung. Jetzt fliegen da Luftballons, was habe ich denn gerade gemacht? Das war irgendeine Geste, da ist ein Luftballons hochgeflogen, sehr cool. Ja, das war einfach, wahrscheinlich hat er gemerkt, das ist jetzt wirklich wichtig, was ich sage.

Ach, der wollte den Wideboard-Modus starten, das will ich natürlich gar nicht, ja genau, okay. Also, zwei Punkt-Spiegelungen verkettet miteinander gibt eine Verschiebung, drei Punkt-Spiegelungen ergeben eine Punkt-Spiegelung, vier Punkt-Spiegelungen, Verschiebung, zwei ergeben eine Verschiebung, die beieinander

auch eine Verschiebung, Verschiebung, Verschiebung, gibt Verschiebung, fünf Punkt-Spiegelungen, Punkt-Spiegelungen usw. Eine Verkettung einer geraden Anzahl von Punkt-Spiegelungen gibt eine Verschiebung und gerade Anzahl eine Punkt-Spiegelung. Die

Menge aller Punkt-Spiegelungen und Verschiebungen in einer Menge mit der Verkettung als Verknüpfung, Gruppe oder keine Gruppe?

Richtig, Gruppe, warum? Es ist abgeschlossen. Es kommen immer Punkt-Spiegelungen und Verschiebungen raus, in dem Fall könnte man nochmal die einzelnen Fälle aufzählen und sagen, warum das so ist. Das Assoziativ, genau, da können wir mal einen Check dran machen. Identität nämlich. Verschiebung um null

Zentimeter oder sowas. Verschiebung um null ist das neutrale Element und gibt es immer ein inverses Element?

Zu jeder Abbildung nämlich. Bei der Verschiebung ist es die ungetrete Verschiebung bei der Punkt-Spiegelung. Was ist das inverse Element an der Punkt-Spiegelung? Genau, das ist die Selbstinverse, die Punkt-Spiegelung.

Die selbe Punkt-Spiegelung ist ihr eigenes inverses. Wenn wir Punkt-Spiegelung wieder zurückspiegeln, dann ist alles so wie vorher. Und wie nennen wir die Menge der Verschiebungen mit der Punkt-Spiegelung zusammen?

Dilatation, genau. Streng genommen sind das nicht alle Dilatationen. Welche fehlen noch? Die Menge der Punkt-Spiegelung mit der Verschiebung. Das sind alles Dilatationen, aber nicht alle Dilatationen sind da drin. Es gibt noch weitere, die keine Konkurrenzerbildung sind.

Die zentrischen Streckungen sind auch Dilatationen, genau. Wir hatten noch mal gesagt, zentrische Streckungen sind

zentrische Streckungen und Verschiebungen. Und in den zentrischen Streckungen steckt ja auch die Punkt-Spiegelung drin. Wenn ich sozusagen die Dilatationen auf die Konkurrenz-Abbildungen einschränke, dann sind es die Punkt-Spiegelungen und die Verschiebungen.