Gut, heute wollen wir Oberflächeninhalt und Volumen vom Tetraeder berechnen. Wie immer gilt, ihr seid nicht zu hören im Stream, sondern ich wiederhole das, was ihr sagt. Ich skizzier vielleicht erstmal kurz einen Tetraeder an der Tafel, dass wir uns mal vorstellen können, dass wir so ein kleines Bild haben, wo wir auch bestimmte Strecken farbig markieren können,

damit wir wissen, über welche Strecken wir reden. So, wo kann ich das machen? Hier.

So, wir skizzieren mal einen Tetraeder.

So, Tetraeder. Besteht aus welchen Flächen?

Okay, vier gleichzeitig Dreiecken mit der Kantenlänge a. Wunderbar. Also alle Kanten hier sind a lang. a, a, a und so weiter. Okay, was machen wir zuerst?

Oberfläche oder Volumen? Was ist einfacher aus eurer Sicht? Warum ist der Oberflächeninhalt einfacher? Genau, genau.

Man kommt leichter auf die Höhe eines Dreiecks, auf die Dreieckshöhe einer der Dreiecksflächen, als auf die Höhe des Tetraeders. Okay, also. Grundsätzlich, Oberflächeninhalt vom Tetraeder besteht also aus

viermal dem Flächeninhalt von so einem Dreieck. Das heißt, wir brauchen den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks. Und vielleicht hilft es auch, wenn wir uns nochmal ein gleichseitiges Dreieck hier hinskizzieren.

Wir haben jetzt neue Zirkel bestellt. Das ist ja wirklich ein Krampf in diesen Plastikzirkeln hier. So schöne neue Osvols. Mal sehen, vielleicht habe ich die nächste Woche schon.

So, hier haben wir so eine Dreiecks-, so eine Tetraeder-Seite.

Mit einem gleichseitigen Dreieck. Flächeninhalt vom gleichseitigen Dreieck. Wie berechne ich das? Also was muss ich prinzipiell beim Dreieck machen?

Einhalb mal Grundseite mal Höhe, genau. Zeichnen wir mal schnell die Höhe ein. So, den nennen wir mal Höhe des Dreiecks. So, also. Flächeninhalt von einem solchen Dreieck ist

einhalb mal die Grundseite, die ist ja A, mal die Höhe des Dreiecks. Okay, wie geht's weiter? Online, ihr dürft auch gerne mitmachen. Wenn ihr den habt, einfach hier einen Chat reinschreiben.

Die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechnen, okay. Ja, also. Hier haben wir einen rechten Winkel, weil die Höhe hier im rechten Winkel auf der Grundseite steht.

Das heißt, Hypotenusenquadrat ist immer der Beiden Kathetenquadrate. Also HD² plus A halbe Quadrat ist gleich A². Also ist HD gleich A² minus A halbe zum Quadrat

und daraus die Wurzel, genau. Okay. Wie geht's weiter?

Das ist gleich die Wurzel aus A² minus A² viertel.

Was wird denn am Ende in der Wurzel stehen für einen Ausdruck? Oh, jetzt habe ich wieder den Fehler gemacht.

Ich habe so gemacht und dann fängt die Kamera an, mich zu verfolgen. Blöd. Das wollte ich nicht. Kamera, komm mal hier zu mir, wieder zurück. Rauszoomen.

Okay. So, jetzt bleiben wir so. Ich muss wirklich aufpassen, was ich mit meinen Händen mache, hier vorne. Ja, was steht da unten drunter? Jetzt haben wir alle genug Zeit gehabt. Was steht da unter der Wurzel?

Was ist ein ganzes A² minus ein Viertel A²?

Drei Viertel A², genau. Dem von A² ein Viertel weg. Dann habe ich Wurzel aus drei Viertel A². Und jetzt können wir vielleicht den Ausdruck total vereinfachen.

Wurzel 3, halbe A. Wurzel 3, halbe A.

Okay. Und jetzt können wir vielleicht die Oberfläche komplett berechnen, oder? Vier mal A D.

Hier mal der Flächenhalt eines einer Dreieckseite. Also vier mal ein Halb mal A und dann mal H D. Wurzel 3, halbe A. Was kommt da raus?

Ja, super, ne? Die 4 kürzt sich gegen die beiden Halben weg. Dann haben wir nur noch Wurzel 3, A². Ja. Das ist der Oberflächenhalt eines Tetraedas.

Wunderschön, oder? Habe ich dich nicht sauber hier in die Tafel geschrieben? Ich bin auch richtig begeistert. Das kann man super geil lesen. Okay, falls es Fragen gibt, gerne auch online. Einfach eure Fragen in den Chat schreiben und dann beantworten wir die.

Falls irgendwas unklar geblieben ist. Okay. Das war die Oberfläche. Der Oberflächeninhalt.

Jetzt das Volumen. Die Höhe, ich zeichne mal die Höhe ein. Vielleicht nehmen wir mal eine andere Farbe, nehmen wir mal grün.

Die Höhe des Tetraedas, ungefähr das hier. Also hier steht die Höhe auf der Bodenfläche. Senkrecht nach oben hier in dem Fall.

Und die Länge nennen wir mal, die Streckellänge war Ht. Höhe des Tetraedas. Damit wir nicht durcheinander kommen. Zwischen der Höhe einer Dreiecksfläche und der Höhe des Tetraedas. Okay. Wie ist denn allgemein das Volumen einer, ist das eine Pyramide?

Eine Pyramide mit Dreiecksgrundfläche. Das Volumen, das totale ist gleich ein Drittel mal. Sag mal. Nee, ganz allgemein, ich weiß nicht, was du gesagt hast.

Was? Die Grundfläche, genau. Mal die Höhe von unserem Tetraeda. So, okay. Grundfläche. Kennen wir die schon.

Genau. Also die Gesamtoberfläche ist ja das da.

Und das ist vier mal die Dreiecksfläche. Also ein Drittel mal die Grundfläche. Ja, ja. Nee, nee. Wie ein Drittel. Genau.

Ein Drittel mal. Und jetzt kommt Wurzel 3 viertel a². Na, alle kurz drüber nachdenken, wenn ich mich nicht vertue. Ein Viertel von der Gesamtoberfläche des Tetraedas. Man könnte auch hier schauen, dass die Dreiecksfläche ist ein halb.

Ein halb mal a mal Wurzel 3 halbe mal a. Und das war nur dieser Ausdruck hier, der hinter der hier steht. Und das ist Wurzel 3 viertel a². Okay. Mal. Ha. He.

Und schon wieder hat irgendwas die Kamera bewegt. Ich werde wahnsinnig. Folge mir. Ich muss mal diese Gestensteuerung ausstellen, glaube ich. Das ist ja richtig nervig.

So. Wo stelle ich diese blöde Gestensteuerung aus? Das kann ich jetzt gar nicht gebrauchen. Ah ja. Also da. Okay. Na super. Hier gibt es einen ganz einfachen Button.

Da kann ich das ausstellen. Danke Meister Typekit Kamera. Jaja. Okay. Ich weiß nicht, wann es jetzt umgeschwenkt ist. Also gucken wir nochmal. Hier, Volumen ist ein Drittel mal die Grundfläche. Und die Grundfläche ist eine Dreiecksfläche. Die haben wir ja oben ausgerechnet. Hier ist das Vierfache einer Dreiecksfläche.

Also müssen wir Wurzel 3 viertel a² nehmen. Mal die Höhe. Okay. So. Jetzt wird es knifflig. Jetzt kommt der schwierige Teil. Ja. Die Frage ist die Höhe von der Dreiecke. Und da können wir wieder ein Dreieck reingreifen.

Mit der Seitenrechung von der Dreiecke der Höhe. Und dann auf der Grundfläche nach hinten und von hinten. Du würdest es gerne nach hinten machen. Darf ich es nach vorne rechts machen? Ist egal, weil das Ding ist symmetrisch in alle möglichen Richtungen.

Na vielleicht machen wir es doch nach hinten. Wir brauchen dieses Dreieck hier.

Und das ist ein rechtwinkliges. Der rechte Winkel ist hier. Sieht nicht so aus. Liegt daran, weil das ganze perspektivisch verzerrt ist. In der Fronten-Show. Okay. Also hier ist der Winkel, der rechte Winkel.

Der rechte Winkel ist schon mal nicht schlecht. Wie groß ist die Höhe? Ich schreibe das nochmal in eine andere Stelle.

Diese Strecke hier ist die Höhe des Tetraedas. So, können wir noch andere Dreiecksseiten von der Länge her? Die Kante hinten hat die Länge A.

Genau, das ist ja eine Kantenlänge vom Tetraeder. Und jetzt?

Sehr schön. Also, das hier ist, dieser Punkt hier, ist beim gleichseitigen Dreieck. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Schnittpunkt der Höhen und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

Und bei den Seitenhalbierenden ist es so, die teilen sich im Dreieck im Behältnis 1 zu 2. Das würde ich gerne mit euch nochmal beweisen, bevor wir weitermachen. Das haben wir nämlich nicht gemacht.

Und zwar, in unserem Fall, wir beschränken uns aufs gleichseitige Dreieck. Wir gucken mal, was passiert im gleichseitigen Dreieck mit dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der Seitenhalbierenden, der Höhen, der Mittelsenkrechten, ganz egal. Und versuchen mal zu begründen, dass das tatsächlich

im Verhältnis 2 zu 1 geteilt wird. Oder im Verhältnis 2 Drittel zu 1 Drittel. Ich skizziere nochmal ein gleichseitiges Dreieck.

Also wir wissen, die Seitenlängen vom Dreieck haben die Länge a. Und das hier ist der Punkt, an dem die Höhe des Tetraeders ansetzt. Und wir wollen jetzt beweisen, dass diese Länge zu dieser hier

das Verhältnis 2 zu 1 hat. Oder 2 Drittel zu 1 Drittel. Tja, schauen wir mal gemeinsam drauf.

Vielleicht hilft es dabei, mal zu schauen, haben wir irgendwo rechte Winkel, welche Strecken können wir denn schon, welche Strecken kennen wir noch nicht, was sind unsere Zielstrecken, die wir gerne berechnen würden, welche Längen kennen wir, welche nicht.

Genau, rechte Winkel haben wir überall dort, wo die Höhen der Dreieckseiten aufsetzen.

Genau, die Höhe setzt immer in der Mitte der Seite an. Das heißt, das hier zum Beispiel, das ist a halbe.

Wir können den Satz Pythagoras anwenden, okay. Aber welche Seitenlänge wollen wir denn haben? Können wir uns vielleicht mal einigen, welche Seitenlänge wollen wir berechnen?

Genau, diese hier. Das ist jetzt unsere Zielstrecke. Wenn wir die berechnet haben, wir kennen ja die Länge dieser Strecke hier, das war h, h, wir haben es sogar nennt, hd, glaube ich.

Genau, also hd, ich schreibe es nochmal hin, das hatten wir vorhin ausgerechnet hier unten, das ist Wurzel 3 halbe a. Also wir wissen, die Länge dieser Strecke hier ist Wurzel 3 halbe a.

Wenn wir die Länge dieser Strecke hier haben, und die Länge dieser Strecke durch diese Strecke dividieren, müsste zwei Drittel rauskommen. Dann hätten wir gezeigt, dass diese Strecke zwei Drittel von der Gesamtstrecke ist, und diese Strecke ein Drittel von der Gesamtstrecke.

Wir müssen also nur die Länge dieser Strecke hier berechnen. Wenn ihr online Ideen habt, gerne auch äußern einfach. Wir können das hier alles reinholen. Ich sehe den Chat. Okay. Ja? Sehr gut, man kriegt nur die anderen...

Stopp, genau. Wir wissen, es ist ein gleichseitiges Dreieck. Das heißt, die Größe dieser Winkel hier sind jeweils 60 Grad. Wir wissen, diese Strecke, die wir hier eingezeichnet haben,

sind nicht nur die Höhen, sondern auch die Winkel halbierenden in diesem Fall. Das heißt, wir können hier 30 Grad, haben hier einen 30 Grad Winkel, da haben wir einen 30 Grad Winkel, da haben wir einen 30 Grad Winkel.

Ja, ich lasse es mal über diesen hier. Kennen wir noch andere Winkel?

3,62. Sehr schön. Innenwinkelsatz, also Summe, Innenwinkelsumme im Dreieck, genau, ist 180 Grad, minus 90 Grad, minus 30 Grad ist 60 Grad. Stopp.

Nehmen wir den mal. Ihr merkt, ich mache das schon intentional, damit wir was sehen. Wir sind an einem Verhältnis interessiert. Und wir haben ja neulich ganz intensiv über Verhältnisse gesprochen.

In welchem Kontext, welches Themas? Ja? Ähnlichkeit, okay. Kriegen wir irgendwo ähnliche Dreiecke hin? Wo?

Du meinst dieses Dreieck hier? Und eine Drehung gleichzeitig, ne? Können wir das hier nehmen,

weil da habe ich gerade die Winkel schon schön rein, genau. Also wir haben dieses Dreieck hier. Ja, dieses hier.

Und dieses hier. Die beiden Dreiecke sind ähnlich. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in ihren Winkeln übereinstimmen, ne? Ist das so? Stimmen die in den Winkeln überein?

Also das Orange hat hier einen rechten Winkel, 60 Grad, 30 Grad. Und das Grüne hat hier einen rechten Winkel, 60 Grad, 30 Grad. Ein bisschen knifflig ist, dass die auch noch gespiegelt wurden. Also ich kann es jetzt nicht, ich muss es spiegeln und drehen, um das eine und das andere zu überführen und strecken, natürlich.

Wie groß ist der Faktor? Wir sind immer noch an dieser Strecke hier interessiert. Diese Strecke hier ist in dem orangenen Dreieck was? Im orangenen rechtwinkligen Dreieck?

Hier die Hypotenuse, genau. Und die entspricht diesem Dreieck hier, dieser Seite hier, im großen Dreieck. Also diese entspricht dieser. Diese hier. Entspricht welcher Seite?

Diese orange hier entspricht welcher grünen Seite? Der Höhen. Genau. Wir kennen die Länge dieses, wir kennen die Länge dieser Strecke und wir kennen die Länge dieser grünen Strecke. Die sind bei den ähnlichen Dreiecken die jeweils

analogen Strecken. Also im orangenen Dreieck diese Strecke ist ja die längere der beiden Katheten und im grünen Dreieck ist das hier die längere der beiden Katheten. Die beiden Dreiecke sind ähnlich, das heißt, wenn ich diese Streckenlänge durch diese Streckenlänge dividiere, bekomme ich den Streckfaktor raus.

Dann machen wir das mal. Also unser Streckfaktor k ist, jetzt können wir natürlich entscheiden, machen wir klein durch groß oder groß durch klein. Du sagst, es ist wurscht, hast du recht. Ja, genau.

Also sagen wir mal klein durch groß. Okay, da haben wir keinen Streckfaktor, sondern Stauchfaktor oder einen Streckfaktor mit einer Zahl, die kleiner ist als eins. Okay, also k ist a halbe durch das da, die Höhe ist was?

hd, genau, Wurzel 3 halbe a.

Was kommt da raus? a halbe durch Wurzel 3 halbe a. 1 durch Wurzel 3, genau,

beziehungsweise, das mag man nicht so, Wurzel 3 drittel. Ja, Wurzel 3 drittel. Das ist der Streckfaktor. Also jede beliebige Länge in dem großen grünen Dreieck,

wenn ich das mit Wurzel 3 drittel multipliziere, komme ich auf die Längen des orangenen Dreiecks. An welcher Länge sind wir interessiert? An der da. Welche Länge im grünen Dreieck muss ich mit Wurzel 3 drittel multiplizieren

um auf die Länge des orangen Dreiecks zu kommen? Ja, genau, die hier, die Hypotenuse.

Also vielleicht geben wir da mal einen Namen hier. x, okay? Ominöse Strecke x. x ist gleich, okay. Was soll ich da machen? Wir wissen, die grüne Streckenlänge entspricht der orangenen.

Und wir kennen den Faktor, mit dem wir multiplizieren müssen. Also a mal Wurzel 3 drittel. Das ist die Länge dieser Strecke hier.

Jetzt wollen wir aber darauf, dass die Länge der orangenen Strecke durch die Länge der Gesamtstrecke das Verhältnis 2 drittel ist. Also was müssen wir jetzt noch mal machen? Also genau, x durch hd ist gleich.

Also diese orangen Strecke a mal Wurzel 3 drittel durch Wurzel 3 halbe a, oder?

Genau, 2 drittel.

Wir haben beim letzten Mal, habe ich euch gesagt, die Strecken teilen sich im Verhältnis 2 drittel zu 1 drittel. Und ihr habt es mir geglaubt. Das war natürlich ein fataler Fehler von euch. Weil ihr müsst natürlich sagen, ja Moment mal, ist das denn überhaupt so? Und jetzt haben wir es nochmal gezeigt, okay? Also tatsächlich, die teilen sich im Verhältnis 2 drittel.

Und die Seiten halbieren dann nebenbei, machen das bei jedem Dreieck. Nicht nur beim gleichseitigen. Man könnte jetzt nochmal allgemein beweisen, wie jedes Dreieck und so weiter. Aber in diesem Fall hat es uns nicht interessiert. Wir wollten es fürs gleichseitige Dreieck haben.

Okay, gut. Aber nebenbei haben wir die Länge der Strecke x rausgekriegt. Das ist ja die, die wir eigentlich haben wollten. Hier, die ist a mal Wurzel 3 drittel.

So, also jetzt gehen wir nochmal zurück. Höhe des Tetraeders. Wir wollen die Höhe des Tetraeders haben. Was müssen wir rechnen? Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck.

Wir kennen die anderen beiden Dreieckseiten. Hier sieht die Formel aus. Die Höhe des Tetraeders. Ja, sag nochmal, also jetzt ganz allgemein, Satz des Pythagoras mit a, h, t und x.

Ne, mach nochmal einfach. Wir nehmen erstmal nur die Formelzeichen hier. Genau, die Wurzel aus a² minus unseren ominösen x².

Jetzt. Wurzel aus a² ist... Ne, Moment. Ach so, ja doch. Du willst einfach nur sagen, wo ist r. Ich dachte du wolltest die Wurzel aus a² ziehen. Nein, natürlich nicht.

Okay. Und x war? Wurzel aus 3⁄3a.

Machen wir weiter. Oder jemand anders.

Wer kann helfen? Ja, du bist ein, zwei Schritte zu schnell. Also was ist denn Wurzel 3⁄3a²?

3⁄9a², also 1⁄3a². a² minus 1⁄3a² ist gleich. 2⁄3a², sehr schön. Und die Wurzel aus 2⁄3a² ist gleich Wurzel 2⁄3a.

Okay. Jetzt haben wir es. Wurzel 2⁄3a ist die Höhe des Tetraeders. Und jetzt wollen wir das Volumen haben. Das setzen wir jetzt einfach da oben ein. 1⁄3 mal Wurzel 3⁄4a²

mal Wurzel 2⁄3a. Ich quäle euch mit Wurzelausdrücken.

Oh Mann. Wurzel 2⁄12.

Also Wurzel 3 kürzlich weg. 3 mal 4 ist 12. Oben bleibt die Wurzel 2 mal a². Mal auch 3. Muss ja auch 3 sein, weil wir Volumen berechnen. Fertig. That's it. Das ist das Volumen des Tetraeders.

Macht die Tafel mal kurz runter. Ihr wisst, ihr könnt das jederzeit nochmal aus dem Video abpinseln.

Gibt es Fragen dazu? Gerne auch online Fragen, wenn ihr wollt. Was willst du?

Das dauert Gott sei Dank viel zu lang für eine mündliche Prüfung. Ich habe nur 20 Minuten. Ich habe nicht 20 Minuten. Wir haben ja 2⁄3 im Verhältnis 2 zu 1. Ist das nicht wunderschön? Das gleiche Verhältnis wie hier beim Dreieck die Seiten haben.

Im Verhältnis 2 zu 1 teilen wir die Prüfungszeit auf. Das heißt 20 Minuten mal 2⁄3. Das ist mir zu ungenau. Knapp 14 Minuten haben wir.

Wir haben jetzt gebraucht für diese beiden Geschichten hier eine Stunde. Wir waren aber auch langsam und haben uns Zeit gelassen usw. Wenn man das geübt hat, kriegt man das ganz schnell hin. Man könnte vielleicht trotzdem zu aufwendig sein für eine mündliche Prüfung.

Okay. Zumal das ehrlich gesagt Sekundarstoff und Einstoff ist. Was? Oh Gott. Naja.

Okay.