Okay, passt auf. Wir schauen uns mal den Reduktionssatz gemeinsam an und tragen mal alle Fälle zusammen, die ihr gefunden habt, in der Hoffnung, alle Fälle gefunden zu haben.

Okay, falls ihr jetzt so komische Bewegungen macht, das liegt daran, ich habe mir so eine neue Kamera gekauft, die mich jetzt verfolgt. Wenn ich jetzt hier lang laufe, verfolgt ihr mich. Ist voll cool. Hier lang. Jetzt kann ich die ein bisschen einstellen, so dass es auch wirklich passt. Und wenn ich dann noch machen kann, ich

kann die ranzoomen lassen. Zoom mache ich so, nehme ich so mache. Wenn ich jetzt nach oben gehe, dann zoomt die Kamera ran. Lustig, ne? Ein bisschen hier rüber. So, und jetzt soll sie aufhören. Perfekt. Ein bisschen ranzoomen könnte sie eigentlich noch.

Ah, jetzt hat sie wieder rausgezoomt. Warum das? Na, komm. Komm schon. Ich muss noch ein bisschen üben, ne? Okay. Ups. Ja, ich denke, so passt. Okay. Wir wollen den Reduktionssatz beweisen. Und zwar besagt er. Was besagt der Reduktionssatz?

Genau. Vier Achsenspiegelungen lassen sich auf zwei reduzieren. Und da haben wir schon gesagt, da

müssen wir unterschiedliche Fälle untersuchen. Fall eins. Das machen wir jetzt schön grafisch. Wie sieht

der Fall eins aus? Den haben wir glaube ich letzte Woche schon mal kurz angedeutet. Was wäre so ein möglicher einfacher erster Fall? Vier parallele Geraden. Genau. Das wäre ein sehr einfacher, aber auch ein sehr eingeschränkter

Fall. Man kann es noch ein bisschen allgemeiner machen, indem man sagt, die ersten drei Geraden sind parallel und die Viertel ist egal.

Die kann parallel sein, muss aber nicht. Das merkt man dann, wenn man es mal macht. Da spielt eigentlich keine Rolle, was mit der Viertel Geraden ist. Nur die ersten drei müssen parallel sein. Okay. Also drei Geraden sind parallel und die Vierte ist irgendwie. Das ist die Gerade A, B, C, D. Und genau in dieser Reihenfolge wird das auch miteinander verkettet.

Es gibt ein paar Regeln zu beachten. Es ist wichtig, dass die Reihenfolge niemals geändert wird von Achsenspiegelungen. Es gibt in bestimmten Fällen darf man es. In ganz bestimmten Fällen. Aber nicht im Allgemeinen.

Die Reihenfolge darf nicht geändert werden. Und ich muss beachten, ich kann, wenn ich zwei Geraden, die hintereinander ausgeführt werden, so verändern kann, dass sie übereinander liegen, dann fallen diese beiden weg.

Also wenn ich eine Gerade über eine andere rüberschiebe oder rüberdrehe. Ich habe zwei Geraden übereinander. Wenn ich dann an der einen Spiegel und an der anderen Spiegel direkt hintereinander, dann stelle ich hier wieder den Ursprungszustand her. Das heißt, diese beiden Achsenspiegelungen können dann wegfallen. Nicht nur eine von beiden, sondern beide

fallen weg. Wenn ich also hier bei den vier Geraden irgendwas weglöschen kann an Geraden. Welche Geraden sind das potenziell? In diesem Fall Parallele Geraden vielleicht. Aber ganz allgemein, wenn

ich jetzt nicht von dem Fall ausgehe, sondern von allen. Welche Geraden kann ich eliminieren? A und D oder B und D oder B und C oder A und C? Welche? Die direkt miteinander verkettet sind. Also direkt hintereinander kommen. Und in der Regel werden das welche sein?

B und C. Ich könnte in diesem Fall auch A löschen. Aber ich habe sozusagen hier mal zwei Geraden, hier mal zwei Geraden. Und wenn ich es schaffe, B und C übereinander zu bringen, die sich aufheben, bleiben noch A und D übrig. So das ist sozusagen jetzt nochmal das Grundziel. Gut, was kann ich hier machen in diesem

Fall? Du hast schon angedeutet, die Parallelen, das ist sehr praktisch, dass ich da Parallele habe. Was bedeutet das nämlich, wenn ich zwei Parallele Geraden habe? Genau, die kann ich verschieben. A und B sind eine Verschiebung, weil zwei Parallele Geraden sind.

Das heißt, ich kann sie entlang der Verschiebungsrichtung verschieben mit konstantem Abstand. Das ändert nichts. Das haben wir in GOG auch mal ausprobiert. Am Endprodukt ändert das nichts. Das heißt, ich kann B und C so verschieben, dass B auf C liegt. Vielleicht mache ich

die mal rot, weil ich die verschoben habe. Also hier so. Dann habe ich jetzt hier A. B ist gleich A. B ist gleich C. Und hier habe ich D. Und wenn ich jetzt A

mit B mit C mit D verkette, ich spiegele also erst an A, dann an B, dann an C. An B und C zu spiegeln, hebt sich gegenseitig auf. Das heißt, die beiden fallen weg. D bleibt übrig. Am Ende habe ich nur noch A und D übrig.

Gibt es ähnliche Fälle wie diesen hier? Also hier sind die ersten drei parallel. Welchen kann man noch mit abhaken vielleicht? Die ersten drei schneiden sich in einem Punkt. Genau. Also ich mache das hier

mal nebendran. Der selbe Fall ist, die ersten drei schneiden sich in einem Punkt. A, B, C. Und hier ist irgendwo D. Keine Ahnung. Was passiert dann? Wie kann ich da Achsen wegbringen?

Ich drehe A und B so, dass B auf C liegt. Genau. Also B- auf C. Die fallen dann weg. Und A und D bleiben übrig. Das heißt, der Fall ist eigentlich, die ersten drei Achsen liegen im Büschel. Und

wir wissen ja, wenn Achsen im Büschel liegen, also entweder parallelen Büschel oder kopunktales Büschel, drei Achsen im Büschel kann ich immer auf eine reduzieren. Das haben wir mal separat angeschaut. Letzte oder vorletzte Woche. Also wenn die ersten drei Achsen im Büschel liegen, dann kann ich auf zwei Achsen die

vier reduzieren. Und ich vervollständige es mal, auch wenn die letzten drei Achsen im Büschel liegen. Also bei der Situation hier, ich habe irgendwo A und B, C und D sind parallel. Oder ich habe hier irgendwo A und B, C und D sind kopunktal.

Das ist nicht mehr auf dem Video drauf. Letzte Fall A liegt irgendwo und B, C und D sind parallel. Sind kopunktal.

Moment. Ich meine, da kann ich natürlich C und D verschieben, sodass C auf B liegt. Und hier kann ich C und D drehen, sodass B auf C liegt.

Also die ersten drei oder die letzten drei Achsen sind im Büschel, ist ein Fall. Und wir wissen, drei Achsen im Büschel kann ich auf eine reduzieren, also die vier auf zwei. Fertig. Welche Fälle gibt es noch? Ein Karo, genau. In dem Fall leben wir uns mal bis zum Schluss

auf. A und B und C und D schneiden sich. Okay. Na gut, dann machen wir erst mal das.

Also A und B schneiden sich. So. Und C und D. So. Was können wir da machen? Also zwei kopunktale Paare sozusagen. Was können wir da machen?

Kann ich jetzt hier C und D so drehen, sodass C auf B liegt? Ich kann C und

D drehen. Ist klar, ist eine Drehung. Ich kann die beiden mit konstantem Winkel hier um diesen Schnittpunkt drehen. Aber kriege ich hin, dass dann C auf B liegt? B geht ja so, ne? So. Und C kann ich drehen, aber C wird glaube ich nie auf B liegen. Ich weiß, was du machst, du musst aber noch was anderes machen.

Okay. Also ihr dreht C und D so, dass C durch den Schnittpunkt von A und B geht. Dann geht

C-strich hier durch. Und D, naja, weiß ich nicht so genau. B-strich, C-strich. So, was mache ich dann? Jetzt drehe ich A und B so, dass B durch den Schnittpunkt von C-strich und D-strich

geht. Denn dann liegt B auf C. Okay? Was habe ich jetzt hier? B-strich gleich C-strich. Jetzt muss ich ein bisschen denken. Dann ist A so, A-strich und D-strich so. Okay. Und jetzt

fallen B-strich und C-strich weg. Was meinst du damit? Ist es egal, wie C durch den Punkt geht? Hier, ja. Es gibt nur zwei Möglichkeiten. Wenn ich hier drehe, C und D, stell

dir vor, du drehst C so lange rum, irgendwann geht es durch den Schnittpunkt hier. Ich kann es noch weiter drehen, sodass es hier hinten durch den Schnittpunkt geht. Aber, ja, es gibt sozusagen nur, ich muss so lange drehen, bis C da reinklackt.

Und dann drehe ich die so, sodass B durch den Schnittpunkt geht. Dann sind B und C aufeinander. Dann fallen sie weg. Und dann bleiben A und D übrig. Okay. Jetzt nehmen wir die Karo-Situation, die du vorhin genannt hast. Ja? Bitte?

Ja, genau. Das ist sie eigentlich. Ich mache sie trotzdem mal, du meinst die, ne?

Ja, ja, es ist die, ne? Du kannst ja das jetzt so drehen, dass C... Ah, nee, das ist nicht die gleiche, weil A und B sind parallel erst mal. Du kannst jetzt nicht C so drehen, dass sie durch den Schnittpunkt von A und B geht. Das ist nicht exakt die gleiche.

Aber, Tipp, können wir vielleicht... B und C kommen hier hintereinander. Und B und C schneiden sich. Vielleicht können wir B und C so verändern, dass wir die Situation da herstellen.

Momentan schneiden sich A und B nicht und C und D schneiden sich auch nicht. Die sind hier parallel. Aber kann ich vielleicht die Situation hier verändern in einem Schritt, sodass B da oben hergestellt wird. Und dann ist alles so wieder oben. Ja? Ja, genau. Das ist super, genau. Wir können B und C,

weil sie sich ja schneiden, ne? Es ist dummerweise noch ein rechter Winkel, das muss gar nicht sein, ne?

Ja, genau. Also du kannst B und C so drehen, dass B-Strich auf dem ursprünglichen Platz von C liegt. Ja? Moment, hier ist A und D bleiben gleich. Und B, das ist dann B-Strich.

Und das ist dann B-Strich. Ich habe jetzt einfach um 90 Grad nach links gedreht, ne? Warte, das ist nicht um 90 Grad, aber ich habe so lange nach links gedreht bis B-Strich auf C-Strich liegt, auf dem alten C liegt.

So, und jetzt ist es so. A und B schneiden sich. C und D schneiden sich. Und wir haben genau die Situation, die hier oben ist. Fun fact. Ihr braucht nicht zu drehen bis B-Strich auf C liegt.

Dreht es ein Mini-Stückchen, dann werden sich A und B schneiden und C und D schneiden. Es geht

ja nur darum, dass die beiden sich schneiden, ne? Jetzt sind sie parallel, A und B und C und D. Ihr müsst nur ein Minimal drehen, sodass B und C nicht mehr jeweils parallel zu A und D sind. Schon schneiden die sich und schon habt ihr die Situation hier oben. Ich sehe rauchende Köpfe.

Doch. Wir haben es jetzt hingekriegt, dass A und B sich schneiden und C und D sich schneiden. Also

A und B schneiden sich und C und D schneiden sich. Und dann machst du einfach das nacheinander fertig. Also vielleicht könnte man hinschreiben, das ist Fall 2. Wir haben Fall 3 durch einen Schritt in Fall 2 überführt und damit ist die Sache erledigt. Sie hat trotzdem noch rauchende Köpfe.

Wenn ihr Fragen habt, stellt sie. Ja? Ne, wir haben B und C so gedreht. Nicht, dass A parallel zu C ist. Lass mich die Grafik nochmal neu machen.

Die ist verwirrend, weil ich dummerweise einen rechten Winkel hier reingebracht habe, den ich gar nicht drin haben wollte. Das mag verwirren.

Also definitiv ist es so, dass A und B parallel sind. Aber C und D sind parallel und können so liegen. Okay? So. Das ist der Fall Allgemeiner. Die sind nicht rechtwinklig oder so.

Das Problem ist, A und B sind parallel, C und D sind parallel. Das ist nicht der Fall hier oben. Weil A und B schneiden sich und C und D schneiden sich. Ich mache jetzt also folgendes. Ich drehe jetzt B und C an diesem Winkel hier so, dass B auf dem ursprünglichen C liegt.

Oder das muss ich eigentlich gar nicht. Ich muss gar nicht so weit drehen, aber ich kann es ja mal machen, weil es vorhin vorgeschlagen wurde. Also A bleibt gleich. D bleibt gleich. Und jetzt drehe ich B so, dass es irgendwie auf dem alten C-Strich landet.

Dann ist das hier B-Strich. Muss ich überlegen. Und das hier in etwa müsste dann C-Strich sein.

Nee, ich habe mich geirrt. Das ist nicht exakt die Zeichnung. Vielleicht ein bisschen aufpassen. Im Kopf drehen ist nicht so easy.

Das ist B-Strich. Und wenn ich das jetzt so gedreht habe, dann müsste das eigentlich in etwa so aussehen. Das ist C-Strich. Ich habe also B und C so gedreht, dass B-Strich hier drauf liegt und C-Strich so. Und jetzt schneiden sich A und B und C und D.

Jetzt habe ich genau den Fall hier oben. So fühlt man sich wohler. Nicht einfach rechte Winkel irgendwo rein. Zeichne, wo keine rechten Winkel reingehören. Gut. Haben wir alle Fälle? Gesundheit. Haben wir alle Fälle? Nein, natürlich nicht.

Welchen Fall haben wir nicht? Einer fehlt noch. Wir haben drei parallele Achsen oder drei kopunktale jeweils vorne und hinten.

Wir haben zweimal kopunktale, wir haben zweimal parallele. Da fehlt noch was. Jetzt erfolgt mich die Kamera wieder.

Ich muss echt aufpassen mit diesen Handgesten, weil wenn man die Handgeste macht, dann, also das bedeutet verfolge mich, verfolge mich nicht mehr.

Welcher Fall fehlt noch? Wer sieht es? Wenn A und B senkrecht und C und D senkrecht aufeinander stehen, sind es ja auch zwei sich schneidende Paare.

Zwei kopunktale Paare. Wir haben drei parallel links rechts, drei kopunktale links rechts. Wir haben zweimal sich schneidende Paare und zweimal parallele Paare.

Es fehlt noch ein Fall. Perfekt. Richtig. Genau. Ein paralleles Paar und ein kopunktales Paar. Und zwar so rum oder so rum.

Wie willst du es haben? Die linken schneiden sich, die rechten parallel oder umgedreht? Die schneiden sich zuerst. Fall vier. A und B schneiden sich und C und D sind parallel. So, genau. Den Fall haben wir noch nicht.

Was machen wir mit dem Fall? Probier es. Perfekt. Sehr gut. Genau.

Wir drehen A und B so, dass B parallel zu C liegt. Und dann haben wir Fall eins. Super.

Hätten wir noch was anderes machen können? Also, wir haben jetzt A und B so gedreht, dass B parallel zu C ist. Dann haben wir drei kopunktale Achsen. Das ist der Fall. Fall eins. Drei parallele Achsen. Entschuldigung.

Hätten wir noch was anderes machen können? Wer sieht es? Ja? Sehr gut. Genau. Wir hätten C und D verschieben können, sodass C durch den Schnittpunkt von A und B geht.

Wir hätten drei kopunktale Achsen gehabt. Auch Fall eins. Und es ist auch klar, es ist vollkommen wurscht, ob A und B sich schneiden und C und D parallel sind oder umgedreht. Jetzt müssten wir eigentlich, wenn ich mich nicht irre, alle Fälle haben.

Überleg nur mal, ob ihr auch der Meinung seid, dass wir alle Fälle haben.

Okay. So, jetzt überlegen wir uns noch mal die Konsequenzen aus dem Reduktionssatz.

Wir können immer vier Achsenspiegelungen auf zwei reduzieren. Das heißt, wir können fünf Achsenspiegelungen auf drei reduzieren.

Das heißt, wir können sechs Achsenspiegelungen auf vier reduzieren und die vier auf zwei. Wir können sieben Achsenspiegelungen, dann nehme ich die ersten vier oder so, auf fünf Achsenspiegelungen reduzieren.

Sieben auf fünf, zwei fallen weg. Ich kann vier auf zwei reduzieren. Ich nehme die ersten vier, die reduziere ich auf zwei, dann kann ich sieben auf fünf reduzieren insgesamt. Von den fünf kann ich wiederum die ersten vier auf zwei reduzieren. Also fünf kann ich auf drei reduzieren.

Ich kann bei jeder Anzahl ab vier immer das Ding so verändern, dass in jedem Schritt zwei Achsen wegfallen, weil ich immer vier zusammen begreifen kann, als Einheit begreifen kann und die auf zwei reduziere, also zwei fallen weg. Ich kann sieben reduzieren auf fünf, auf drei.

Das ist jetzt die Frage, kann ich die drei nochmal auf eine reduzieren? In bestimmten Fällen, nämlich in welchen? Also bei drei Achsen habe ich entweder, ja, wenn die drei parallel zueinander liegen, kann ich es auf eine Achsenspiegelung reduzieren

oder wenn sie einen Punkt gemeinsam haben auf einer Achsenspiegelung reduzieren. Ansonsten habe ich welchen Fall? Eine Schubspiegelung, genau. Beziehungsweise ich habe halt drei Achsen, die sich irgendwie schneiden. Die kann ich so verändern, dass zwei davon parallel sind und die dritte senkrecht und dann habe ich eine Schubspiegelung oder Kleidspiegelung.

Genau. Das heißt also, der Reduktionssatz besagt letzten Endes, jede Konkurrenzabbildung kann ich aus höchstens drei Achsenspiegelungen darstellen.

Jede Konkurrenzabbildung lässt sich durch höchstens drei Achsenspiegelungen darstellen. Ich brauche nicht vier, fünf oder sechs. Weil wenn ich vier, fünf oder sechs habe, lässt sich es reduzieren auf maximal drei. Das heißt also, jede Konkurrenzabbildung lässt sich mit maximal drei Achsenspiegelungen darstellen.

Es kann also nur, welche Konkurrenzabbildungen geben überhaupt. Die mit einer Achsenspiegelung, also die Achsenspiegelung. Die mit zwei Achsenspiegelungen sind, was so welche?

Drehung und Verschiebung und die mit drei Achsenspiegelungen Schubspiegelung. Genau. Es gibt nur diese Konkurrenzabbildung. Achsenspiegelung, Verschiebung, Drehung und Schubspiegelung. Die Punktspiegelung ist eine Drehung. Okay, ist einfach ein Spezialfall, den muss man nicht separat aufführen.

Und ich merke, das begeistert euch so sehr, dass ihr gar nicht an euch halten könnt.

Okay, so viel zum Reduktionssatz. Mit dem Reduktionssatz beschließen wir die Inhalte dieses Semesters. Habt ihr noch Fragen dazu?