So, also, wir belegen uns jetzt mal gemeinsam, was ist ein Isomorphismus? Und da ist mir wichtig, dass ihr jetzt so langsam eine gute Vorstellung davon entwickelt, was ein Isomorphismus ist. Und deswegen überlegen wir uns jetzt nochmal im Detail.

Eine Funktion Phi ist ein Isomorphismus, wenn... was? Eine Funktion Phi ist ein Isomorphismus, wenn...

Also wenn Phi biektiv ist und ein Homomorphismus ist. Genau. Und wenn Phi ein Homomorphismus ist.

So, das sind ja sehr viele wirklich strange Fremdbegriffe. Und deswegen arbeiten wir uns jetzt Vorstellungen davon. Wir wollen wissen, was bedeutet das jetzt eigentlich. Was bedeutet Isomorphismus?

Okay. Phi muss zwei Bedingungen erfüllen. Biaktiv und Homomorphismus. Was ist eine biaktive Funktion? Eine biaktive Funktion ist eine Funktion, die welche Eigenschaften hat? Genau. Sie muss sojektiv und injektiv sein.

Deswegen habe ich hier schon in weiser Voraussicht Platz gelassen. Sojektiv und injektiv ist.

Okay. Wenn sie also biaktiv, gleich sojektiv und injektiv ist. Also eigentlich muss Phi drei Eigenschaften erfüllen. Sie muss sojektiv sein, injektiv und ein Homomorphismus. Mit die drei Sachen schauen wir uns jetzt mal im Detail an.

Wir beginnen mal mit sojektiv. Wir beginnen erst mal mit intuitiv. Was soll ich sagen? Sojektiv? Ja.

Dein Vorschlag ist, eine Funktion ist sojektiv, wenn jedem Element der Zielmenge, wenn höchstens ein Element der Urmenge, der Definitionsmenge zugewiesen wird. Das ist sojektiv. Höchstens einmal getroffen. Jedes Element der Bildmenge wird höchstens einmal getroffen. Allein verstanden?

Genau einmal. Gibt es noch alternative Vorschläge? Wir haben jetzt höchstens einmal. Wir haben genau einmal. Was ist richtig? Es darf kein Element übrig bleiben. Also jedes Element wird wie oft getroffen? Mindestens einmal. Mindestens einmal ist richtig.

Also, pass mal auf. Ich habe hier zwei Mengen hingemalt. Hier so eine Menge und da eine Menge.

Menge A, Menge B. Was bedeutet jetzt sojektiv, wenn wir diese hier betrachten? Wenn ich jetzt mal Pfeilchen, von A nach B, also ein Element aus A wird ein Element aus B zugewiesen. Also, die geht von A nach B.

Wie müssen die Pfeile sein bei sojektiv? Wie sie sind ist egal. Aber bei welche Bedingungen müsste sie hier erfüllt sein in dem Bild, damit die Funktion sojektiv ist?

Ja? Dass jedes A auf ein B trifft. Ich muss sowieso jedes A abbilden. Also, von jedem A geht sowieso ein Pfeil aus.

Von jedem A geht ein Pfeil aus. Also, zum Beispiel könnte das ja so sein. Ist das eine sojektive Funktion? Nein, warum nicht? Auf einen Punkt wird nicht abgebildet. Also, bei einer sojektiven

Funktion muss jedes B hier hinten, intuitiv gesprochen, von so einem Pfeil getroffen werden. Es darf kein Punkt, kein Element in B übrig bleiben, das nicht irgendwie ein Bild von A ist. Das ist nicht sojektiv.

Machen wir mal?

Okay, ich mache den Pfeil nochmal weg. Dann hätten wir ein Problem, weil wir in der Definitionsmenge ein Element haben, das nicht abgebildet wird. Ja, aber die Frage ist, haben wir da eine Funktion?

Also, die Definitionsmenge wird ja... hängt vielleicht von einer Art der Definition von Funktion, aber ich meine... So?

Dann wäre es keine Funktion. Weil f von x gibt immer einen Wert. Ich kann nicht ein Element auf zwei abbilden. Also, was bei einer Funktion der Fall ist, ist, von jedem Element hier geht genau ein Pfeil aus. Das kann gar nicht anders sein.

Von jedem Element geht genau ein Pfeil aus. Das heißt also, wir können hier schon mal nicht mehr Elemente haben als hier. Das kann da nicht sojektiv sein, die Funktion. Wir können aber hier mehr haben, und na gut, das mache ich halt so. Das heißt, hier haben wir jetzt fünf Elemente, da vier, ganz egal, weil hier diese beiden gehen auf eins gemeinsam.

Diese Funktion ist sojektiv, weil jedes Element hier hinten von einem Pfeil getroffen wird. Intuitiv gesprochen. Wir machen es gleich formal richtig. Das sagt auch der Checkung was. Funktion gleich eindeutige Zuordnung. Genau. Richtig. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

Das heißt, jedem Element aus A wird ein Element aus B zugewiesen. Also, was wir auf jeden Fall haben, ist, von links geht von jedem Element genau ein Pfeil weg. Indiaktiv und sojektiv beschränkt sich immer darauf, wie viele Pfeile erwischen, treffen rechts Elemente B. Ja? Genau.

So, also das ist jetzt sojektiv. Wenn ich es jetzt formal formulieren würde, ich schreibe mal die formale Bedingung für sojektiv auf. Bei alle Y aus B gilt, bei alle Y aus B gilt, es existiert ein A, es existiert ein X in A mit Pi von X gleich Y.

Bei alle Y hier existiert ein X dort, sodass Pi von X gleich Y ist. Jedes Element hier hinten ist ein Pi von X.

Wird von einem Pfeil getroffen. Von mindestens einem. Das Element hier wird von zwei Pfeilen getroffen. Okay, kein Problem. Mindestens einer.

Es gibt hier kein Element, das nicht, also sowas hier, das wäre jetzt, für das Element hier, würde es kein X in A geben, sodass Pi von X gleich Y ist. Dann wäre es nicht sojektiv. So ist es sojektiv, die Funktion. Ja?

Ah, wir können mal ein Beispiel überlegen, genau. Schauen wir mal. Du schreibst jetzt vor, irgendeine quadratische Funktion. F von X gleich, sagen wir mal, X². So, die Normalparabel. Also, der Graf davon ist die Normalparabel, wenn man es korrekt formulieren wollte.

Ist dies eine sojektive Funktion? F geht wovon? Von R nach R, in die reellen Zahlen. Dann nicht, weil, genau.

Minus eins ist in der Bildmenge drin, aber ist kein Funktionswert. Wenn wir aber den Bildbereich einschränken, das kann man natürlich immer machen.

Wenn ich eine Funktion habe, die nicht sojektiv ist, dann gibt es irgendwelche Elemente, die werden nicht erreicht. Also schränke ich den Bildbereich ein und nehme all diese Elemente aus der Bildmenge heraus und dann ist es sofort so, dass es sojektiv wird.

Wenn man sich so vorstellt, wenn man den Graf abhält, dann muss der Graf irgendwie komplett die Funktionen abschalten. Funktionen können reagieren, wenn sie zu wenig sein. Kommt drauf an. Also, wenn wir über reelle Funktionen sprechen, von R nach R, ist

natürlich die Intuition, genau, dass beim Koordinaten, wenn wir uns Koordinatenkreuzungs vorstellen und die Ebene usw. und den Graf zeichnen, dann müssen alle Y-Werte erreicht werden. Trotzdem kann die Funktion konvergieren. Sie kann ja aus...

Ah, nee, warte mal. Ja, ja, du hast recht. Ja, nee, genau. Ja, ja, genau, sie kann nicht konvergieren. Ich habe mir gerade überlegt, sie könnte ja aus plus und endlich kommen und dann konvergieren, aber dann würde ich ein paar negative Werte nicht erreichen. Ich kann ja abholen. Na nee, sie kann trotzdem konvergieren. Es gibt doch die Möglichkeit, dass ich irgendwo so eine Polstelle habe.

Die Funktion zischt dann nach plus und endlich ab und kommt auf der Seite aus minus und endlich und konvergiert dann. Dann habe ich eine sojektive Funktion.

XY-Achse. Folgende Funktion.

Hier habe ich eine Polstelle. So was. Alle Y-Werte werden erreicht. Ich habe hier natürlich eine Definitionslücke. Die muss ich aus der Definitionsmenge herausnehmen, damit es eine Funktion ist. Also ich habe jetzt hier R ohne halt diesen Wert als Definitionsbereich und ganz R als Wertebereich der Funktion.

Konvergiert, ist aber sojektiv. Injektivität schauen wir uns jetzt an.

Was bedeutet Injektivität?

Was bedeutet Injektivität?

Dass jedes Element in B eine Abbildung in A hat, dass also mindestens ein Pfeil da drauf geht, das war schon sojektiv. Ne, wir bilden nicht andersrum ab. Wir bilden immer von A nach B ab. Maximal, genau, maximal ein Pfeil geht hier hinten drauf.

Das heißt, wenn ich das jetzt hier so mache, dürfte ich nicht von diesem hier ein Pfeil zum selben Element machen. Dann würden hier zwei unterschiedliche Elemente auf ein und dasselbe Element in B abgebildet werden. Das darf nicht sein bei Injektivität. Das heißt, ich kann jetzt das hier folgendes machen. So, da wird das hier vielleicht hier hin abgebildet.

Das da hin. Da muss nichts. Genau, ist okay. Genau. Höchstens ein Pfeil erreicht, jedes Element hier hinten. Eins kann übrig bleiben. Ist ja nicht sojektiv.

Also, was ist die Bedingung? Für alle, du bist schon bei Bjektiv. Aufgepasst. Kommt gleich.

Wie kann man das formal fassen? Hat jemand eine Idee?

Okay, eine Minute Zeit. Knobelt man ein bisschen.

Wie kann man das knobeln oder googeln von mir aus? Na, ihr wollt knobeln, ne? Okay.

Ja, aber ich habe das Problem, ich kann keine Funktion machen, weil es davon keinen...

Ja, ja, okay. Das Problem ist nur, du kannst keine Funktion nehmen, weil ich muss kurz mal wieder hier...

Ja, ja, es muss jedes Element hier abgebildet werden können. Hat jemand von euch eine gute Idee? Also, man kommt wahrscheinlich von der Bedeutung. Da kommt wahrscheinlich nicht so ohne weiteres drauf, weil es ein bisschen eine strange Bedingung ist. Also, pass mal auf. Wir nehmen hier vorne zwei verschiedene x.

Okay? Für alle x1, x2 aus a gilt, wenn f von x1... Entschuldigung, phi haben wir jetzt immer gesagt, ne? Wenn phi von x1 gleich phi von x2 ist, dann folgt daraus x1 gleich x2.

Wenn zwei Funktionswerte gleich sind, also wenn zwei Pfeile auf dasselbe Element weisen, dann müssen sie schon vom selben Ursprungselement ausgegangen sein. Ja?

Nee, wieso? Wir machen ja für alle x aus a gilt. Wenn deren Funktionswerte dasselbe b hier hinten sind, dann muss das Element in a schon gleich gewesen sein.

Das wird halt nie getroffen von der Bedingung, macht ja nix. Nee, nee. So, und jetzt, ja? Nee.

Bei der Funktion geht von jedem Element in a genau ein Pfeil aus. Und jetzt kommt das Entscheidende. Sojektiv bedeutet, jedes Element in B wird mindestens einmal getroffen.

Injektiv bedeutet, jedes Element in B wird höchstens einmal getroffen. Bijektiv bedeutet, mindestens eins und höchstens eins ergibt genau eins. Das heißt also, wenn ich eine bijektive Abbildung habe, wird jedes Element in B genau einmal getroffen.

Das ist eine bijektive Abbildung. Und das wiederum bedeutet, wenn von jedem Element, jedem Element geht genau ein Pfeil aus, und in B wird jedes Element genau einmal getroffen. Ich habe also eine 1 zu 1 Zuordnung und kann jetzt auch eine Umkehrabbildung machen,

weil ich einfach nur die Pfeilspitzen rumdrehen muss. Das konnte ich vorher nicht. Hier konnte ich keine Umkehrabbildung machen, weil von dem gar kein Pfeil ausgeht. Und hier konnte ich keine Umkehrabbildung machen, weil ich von dem nicht genau wüsste, welches man den anderen beiden nicht abbilden muss. Aber hier habe ich eine schöne 1 zu 1 Zuordnung.

Ein netter Nebeneffekt ist, dass diese beiden Mengen gleichmächtig sein müssen. Es geht nicht, dass einer irgendwie mehr Element hat als der andere.

Okay, das muss erfüllt sein und das muss erfüllt sein. Ihr müsst die beiden Bedingungen erfüllen. Wenn ihr zeigen wollt, dass eine Funktion bijektiv ist, müsst ihr erstens zeigen, sie ist indirektiv und zweitens zeigen, sie ist indirektiv.

Manche finden so ein Existiert mit einem Ausrufezeichen drüber oder so.

Aussagen logisch oder Praktikaten logisch muss man sagen, Existiert bedeutet immer mindestens eins. Und deswegen muss man sozusagen die beiden Aussagen nebeneinander stellen und beide beweisen. So, jetzt ist eine bijektive Funktion. Wir sind noch nicht beim Isomorphismus.

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit es ein Homomorphismus ist?

Ja, genau, jetzt brauche ich eine Verknüpfung. Die hatte ich ja noch gar nicht. Ich brauche irgendeine Operation. Also hier x1 verknüpft mit x2 ist das gleiche wie pi von x1 verknüpft mit pi von x2 in der Zielmenge.

In beiden Mengen habe ich noch zusätzliche Operation, eine algebraische Struktur. Und Homomorphismus bedeutet entweder, ich habe jetzt diese beiden Elemente hier, x1 und x2

und ich weiß, das hier ist phi von x1 und das da ist phi von x2.

Dann ist es egal, ob ich diese Elemente erst miteinander verknüpfe. Dann kommt vielleicht das hier raus, x1 verknüpft mit x2. Und dann abbilde auf phi von x1 verknüpft mit x2.

Oder ob ich erst abbilde in die andere Menge und dann mit der Operation dort verknüpfe. Das ist ein Homomorphismus.

Zwei Strukturen sind also dann Isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen den beiden gibt. Das heißt, erstmal die beiden Trägermengen der beiden Strukturen sind gleichmächtig. Es gibt eine biaktive Abbildung dazwischen. Und es ist wurscht, ob ich in der einen rechne oder in der anderen rechne.

Abbildungsmäßig kommt immer das Gleiche raus. Nein, sonst ist da keine biaktive Abbildung. Also bei dem Homomorphismus, wenn ich das da weglasse und nur das hier betrachte,

dann weiß ich ja gar nichts. Dann könnte es auch sein, dass es hier drüben doch Elemente gibt, die gar nicht erreicht werden. Nein, es gibt keinen Isomorphismus, der nicht homomorph ist.

Weil bei Isomorphismus noch die Zusatzbedingung Biaktivität dazukommt. Gucken wir mal, gibt es hier online irgendwelche Fragen?

Gut, ok. So, das ist ein Isomorphismus. Jetzt möchte ich die Tafel erwischen.

Wenn ich die Tafel wische, labere ich ein bisschen, damit es nicht langweilig wird. Jetzt haben wir erstmal nur definiert, was ein Isomorphismus ist. Das heißt, Isomorphismus ist eine Funktion von einer Struktur in die andere.

Ich brauche also jeweils zwei Mengen und zwei Operationen. Und ein Isomorphismus ist eine Funktion, die biaktiv ist. Das heißt, die beiden Trägermengen sind auf jeden Fall schon mal gleichmächtig. Und es gibt eine biaktive Abbildung zwischen den beiden.

Und bezüglich der Operation ist es egal, ob ich erst in der einen Struktur verknüpfe und das Ergebnis abbilde, oder ob ich erst die beiden Ausgangselemente rüber abbilde und dann in der Zielstruktur verknüpfe.

Ok. Jetzt kann man sich ja vorstellen, es gibt zwischen zwei Mengen immer mehr als eine Abbildung. Also in der Regel, außer ich habe jetzt wirklich den trivialen Fall zwei ein-elementige Mengen oder so. Dann gibt es natürlich nur eine Abbildung. Aber wenn ich jetzt mehr Elemente habe, dann gibt es immer mehrere Abbildungen.

Und manche Abbildungen davon sind biaktiv, manche sind nicht biaktiv, manche sind homomorph, manche nicht. Und zwei Strukturen sind dann isomorph, wenn es einen Isomorphismus gibt zwischen den beiden.

Das heißt, ich muss mir eigentlich alle möglichen Abbildungen zwischen den beiden Strukturen anschauen. Wenn eine davon ein Isomorphismus ist, dann sind die Strukturen isomorph. Ich kann natürlich auch eine blöde Funktion erwischen, die jetzt kein Isomorphismus ist.

Dann weiß ich aber immer noch nicht, ob die beiden Strukturen nicht isomorph sind, weil es könnte ja eine andere Funktion geben, die biaktiv ist und homomorph. Und dann werde es ein Isomorphismus. Schön mit dem Wischer, oder? Ich mag das auch. Ich bin jetzt schon ein Fan von diesem Wischer.

Er hat auch einen Wischer? Ja. Ich habe auch festgestellt, so videomäßig ist es wirklich ein krasser Unterschied qualitativ. Also wenn die Tafel irgendwie so kreideverschmiert ist, man sieht nichts auf dem Video. Wenn der Wischer schön grün ist, ist gestochen scharf auf dem Video.

Es geht also Digitalität nicht ohne gescheite analoge Werkzeuge hier. Okay.