Ein Problem, wenn man nur schwarze Klamotten an hat, ist, wenn man mit Kreide schreit, dass man immer irgendwelche Kreideflecken auf dem Klamotten hat. Das ist echt furchtbar. Deswegen hatten früher die Mathematikerinnen ja auch so

weiße Kittel an, genauso wie die Chemikerinnen oder die Physiker und so weiter. Wegen der Kreideflecken. Oder sie hatten eine Waschmaschine, genau. Die beiden Möglichkeiten gibt es.

Was wir auch die ganze Zeit über intuitiv verwendet haben, aber nie richtig definiert haben, ist die Potenz eines Gruppenelements.

Und zwar, wir wollen ja nicht immer schreiben A verkettet mit A, verkettet mit A, verkettet mit A. Das ist irgendwie blöd. Das ist ja mühsam.

Man möchte eigentlich gerne schreiben A hoch K, wenn ich K As miteinander verkette. Und genau das macht eigentlich die Potenz. Nur eine verkürzte Schreibweise.

Also, für jedes A Element G, oder Gruppenträgermenge, und jedes N Element N, Element N oder Element Z?

Okay, wird festgelegt. Erstens A hoch Null. Was könnten wir festlegen bei A hoch Null? Was soll bei A hoch Null rauskommen?

Ja, Idee. Oder das Neutralelement. Das bezeichnet man ja oft als E, als 1 Element oder so. Genau.

Dann müssen wir Rekursiv, also es ist eine Rekursive Definition. A hoch N plus 1. Wie könnte man das definieren? Also wir legen fest A hoch Null ist das Neutralelement. Und A hoch N plus 1 ist was, wenn man es Rekursiv definieren würde?

Fast. Genau, A hoch N. Also mal, Vorsicht, genau, verkettet mit A. Das ist ja die Verknüpfungsoperation der Gruppe.

Genau. So, und jetzt brauchen wir noch eins, nämlich, was ist A hoch minus N? Was könnte das sein? Ja, von A, das Inverse von A hoch N. Genau. So, das heißt A hoch minus 3 ist das Inverse von A hoch 3.

Also wenn ich A mit A mit A verkette und davon das Inverse nehme, habe ich A hoch minus 3. Okay.

Und dann E heißt A hoch N die Ente Potenz von A. Und jetzt beweisen wir mal einen Satz zusammen.

Und zwar, wenn ich jetzt irgendein Element nehme und das potenziere, dann habe ich ja ein Element der Gruppe.

Also A hoch G ist ein Element der Gruppe. Wenn ich dieses jetzt nehme und immer wieder mit sich selber verknüpfe, kommt eine Untergruppe raus. Ich nehme ein Element, verknüpfe es immer wieder mit sich selbst und das, was daraus entsteht, ist eine Untergruppe.

Also die Menge aller ganzzahligen Potenzen A hoch K mit A Element G einer Gruppe G mit einer Verknüpfung.

Also wir nehmen ein A aus einer Gruppe und bilden die Potenz A hoch K. Und die Menge aller ganzzahligen Potenzen von A hoch K mit der Operation als Verknüpfung ist eine Untergruppe.

Alles klar? Okay. Beweis. Also wir bilden jetzt die Menge aller A hoch 2 K, A hoch 3 K, A hoch 4 K und so weiter.

Nee, Quatsch. Wir bilden von A alle Potenzen. Also A hoch 1, A hoch 2, A hoch 3, A hoch 4, A hoch 5 und so weiter.

A hoch minus 1, A hoch minus 2, A hoch minus 3. Wenn wir das alles zusammenpacken, ergibt es eine Untergruppe. Okay. Was müssen wir zuerst prüfen? Wir wollen jetzt gucken, ist diese Menge U, die entsteht, wenn ich alle Potenzen von A bilde, eine Untergruppe.

Was müssen wir als erstes prüfen? Abgeschlossenheit. Okay. Wenn ich zwei Elemente nehme, A hoch K und A hoch L Element U.

Also ich habe zwei von diesen Elementen, zwei Potenzen von A, die ich miteinander verkette. Was passiert dann? Ja. A hoch L, genau. Ist gleich A hoch K plus L. K, L, M.

Nee, ich habe ja hier K As miteinander verkettet und ich habe hier L As miteinander verkettet. Also insgesamt habe ich K plus L As miteinander verkettet.

Kann man hier oben, dass das gilt, kann man hier oben aus der Definition mit Hilfe von vollständiger Nuktion beweisen. Das haben wir jetzt auch gestrichen. Wir gucken jetzt einfach, naja, die Potenzgesetze gelten alle. Okay. So. Und A hoch K plus L ist auch Element U, ist ja eine Potenz von A. Also

wenn ich eine Potenz von A verknüpfe mit einer Potenz von A, kommt eine Potenz von A raus. Ist also eine Untergruppe. Entschuldigung, ist abgeschlossen. So. Was brauchen wir als nächstes? Assoziativität.

Wie können wir die begründen? Nicht durchs Maschinenmodell. Maschinenmodell nur bei Abbildungen, die mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe geben. Können wir sagen, dass wenn ich so Potenzen miteinander verknüpfe, so drei, dass das Assoziativitätsgesetz gilt? Ja.

Ich kürze es mal ab. A hoch K verkettet mit A hoch L verkettet mit A hoch M. Ist gleich was?

Du kürzt schon ab. Dann machen wir einen Schritt noch mehr. Ist gleich A hoch K plus Klammer auf L plus M.

So. Jetzt bin ich hier oben in der Addition der ganzen Zahlen. Da gilt das Assoziativgesetz. Das heißt, ich kann jetzt hier oben schreiben A hoch K plus L plus M und kann jetzt wieder rückwärts auflösen.

A hoch K plus L verkettet mit A hoch M und das ist A hoch K verkettet mit A hoch L verkettet mit A hoch M. So. Assoziativgesetz gilt. Ich kann umklammern. Yes. Was brauchen wir noch? Gibt es das?

Weil A hoch Null ist Element der Untergruppe oder der Untermenge. Genau. A hoch Null ist ja eine ganz zahlige Potenz.

Also muss drin sein. Und gibt es das Inverse zu A hoch K. A hoch K verknüpft mit A hoch Minus K ist gleich A hoch K minus K ist gleich A hoch Null. Genau.

Und das ist das gleiche wie A hoch Minus K verknüpft mit A hoch K. Also wieder von links und rechts heran verknüpft. Okay. Also wenn ich Potenzen, ganz zahlige Potenzen eines Elements aus einer Gruppe nehme und die alle in eine Menge packe,

dann ist diese Menge mit der Verknüpfung auch eine Gruppe. Denn es ist abgeschlossen. Wenn ich zwei Potenzen miteinander verkette, kommt eine Potenz raus. Assoziativgesetz gilt, weil ich hier diese Kettenrechnung machen kann und die Assoziativität im Exponenten der Addition gilt.

Das nutze ich aus. Dann ist A hoch Null das Neutralelement in der Menge und zu jedem Element ist auch sein Inverses in der Menge. Kommutativ ist es auch noch. Ja. Interessant, oder?

Jede, genau. Du hast das schon den Begriff gebracht, denn jede Gruppe, die von einem Element erzeugt wird, ist eine zyklische Gruppe. Wir haben diese Begriffe noch gar nicht eingeführt. Müssen wir das noch mal einführen.

Also, wir wissen auf jeden Fall, dass wenn ich ein Element nehme aus der Gruppe und es mehrfach miteinander verknüpfe, kommt am Ende eine Untergruppe raus von der Gesamtgruppe. So, und jetzt führen wir noch das Begriff Erzeugungselement und zyklische Gruppe ein und dann haben wir es für heute.

Wenn in einer Gruppe ein Element A existiert, sodass für alle B Element G ein N Element N existiert mit A hoch N gleich B.

Also, wenn ein A in einer Gruppe existiert, sodass jedes andere Element in der Gruppe eine Potenz von A ist, A mehrfach mit sich selbst verkettet, gibt jedes Element der Gruppe, dann heißt die Gruppe zyklisch und erzeugendes Element der Gruppe.

Also, ich habe eine Gruppe und da drin nehme ich mir ein Element.

Wenn ich dieses Element mehrfach mit sich selbst verknüpfe und dabei alle Elemente der Gruppe rauskommen, dann heißt diese Gruppe zyklisch und das Element heißt Erzeugungselement der Gruppe. Okay, nehmen wir nochmal unser Sechseck.

Oh, jetzt zeichne ich ein Achteck, ne? Ja, okay. Wir brauchen trotzdem das regelmäßige Sechseck erstmal. Das so ein bisschen aussieht wie ein Achteck, aber kein Zist, sondern ein Sechseck. Okay, das ist ja die zyklische Gruppe, das wissen wir ja, weil es durch so Drehungen immer wieder entsteht.

Sagt mir mal ein Element in dieser Gruppe, das erzeugendes Element der Gruppe ist. Welches Element erzeugt die gesamte Gruppe? D60, genau.

D60 ist ein erzeugendes Element, weil D60² ist gleich D120, D60 dreimal miteinander verkettet ist D180, D60 viermal miteinander verkettet ist D240 und so weiter. Das heißt, ich kann die gesamten Gruppenelemente erzeugen daraus, dass ich D60 miteinander verknüpfe.

Immer wieder mit sich selbst. D60 ist erzeugendes Element. Gibt es noch ein weiteres erzeugendes Element? Nämlich D240.

Doch, doch, klar gibt es D240. Was passiert, wenn ich D240 mit sich selbst verknüpfe? Ja, bleiben wir mal bei D240. Wenn ich das mit sich selbst verkette, was kommt raus?

D240 nochmal mit D240. Ich brauche 120 Grad, um auf D360 zu kommen. Nochmal 120, also D120.

Und dann kommt 360 raus. Also das ist Idee, D360 ist Idee. Und dann bin ich wieder bei D240. Aha, D240 erzeugt also nicht die gesamte Gruppe. Aber, aber was erzeugt das? Die Untergruppe. Es erzeugt eine Untergruppe.

Nämlich die Untergruppe, die aus diesen drei Elementen besteht, die wir vorhin rausgefunden hatten. Das ist eine Untergruppe. Das heißt, wenn ich ein Element nehme einer Gruppe und es mehrfach mit sich selbst verkette, erzeugt dieses eine Untergruppe. Und manchmal ist es die gesamte Gruppe. Manchmal aber auch nicht.

Genau, diese Gruppe wird von jedem Element außer Idee in der Gruppe erzeugt. Genau. Welche erzeugende Elemente gibt es noch von der gesamten Gruppe?

D300, denn D300 ist D-160. Also wenn, also eins nach links. Also D300. Genau, was kommt als nächstes raus? Wenn ich D300 mit sich selbst verknüpfe. 300 Grad und nochmal um 300 Grad drehen.

D-180, D-120, D-60 und I-D. Genau. Alle erzeugt. Gibt es noch ein weiteres erzeugende Element?

Nee, ne? Wir haben gesehen, D-120 erzeugt die Untergruppe. D-240 erzeugt die Untergruppe. D-60 und D-300 erzeugen die gesamte Gruppe. Wir haben nur noch nicht D-180 angeschaut. Nämlich D-180 und die D.

Interessant, dass bei dieser zyklischen Gruppe manche Elemente die gesamte Gruppe erzeugen. Nämlich D-60 und D-300. Und andere Elemente eine Untergruppe erzeugen.

Die jetzt, also eine echte Untergruppe, keine triviale Untergruppe. Warum erzeugt D-240 nicht die gesamte Gruppe? Oder D-120. Nimm mal D-120. Was ist der Grund, warum D-120 nicht die gesamte Gruppe erzeugt?

Kannst du mal versuchen zu formulieren? Genau. Ich lasse sozusagen hier D-180 aus. Und D-300 lasse ich aus.

Und D-60. Genau. Die lasse ich aus. Das heißt D-120, D-240, D-0, D-120, D-140 ergibt eine eigene Untergruppe. Weil, wenn man so will, 120 sind Teile von 360. Und mit die selbst verkettet die Drehung halt irgendwann 360 ergibt.

Und dann bin ich wieder bei 120 und ich habe ein paar Übersprungen. Kennt jemand von euch eine zyklische Gruppe, bei der jedes Element erzeugend ein Element dieser Gruppe ist?

Wir haben jetzt hier eine zyklische Gruppe mit sechs Elementen. Und da scheint es ja so ein paar Elemente zu geben, die nur echte Untergruppen erzeugen, nicht die gesamte Gruppe. Gibt es eine zyklische Gruppe, bei der jedes Element der Gruppe die Gruppe erzeugt?

Ein elementige zyklische Gruppe, also Idee erzeugt sich selbst, mit Idee, die zweielementige Gruppe. Also es geht natürlich immer um alle Elemente außer Idee, muss man sagen. D-180 erzeugt die gesamte Gruppe.

Okay, Idee wird immer ausgenommen, klar, Idee erzeugt immer nur die triviale Untergruppe mit einem Element. Quadrat. Erzeugt jedes Element der Drehsymmetriegruppe des Quadrats die Gesamtgruppe? D-180 erzeugt nur D-180 und D-360, nicht D-90 und D-270, die man auch bräuchte.

D-90 und D-90 sind Erzeugen-Elemente.

Sehr gut, genau, yay, einschlagen. Wenn ich hier sechs Elemente habe, die zusammengenommen die Gruppe ergeben, dann ergibt das zweite,

also wenn das hier das erste Element ist, das zweite, mit sich selbst verkettet das vierte, mit sich selbst verkettet das sechste,

gleichzeitig das nökel, wie damit sie selbst verkettet das zweite, das vierte, das sechste. Das heißt, die drehen sich immer nur so im Kreis und ich überspringe Elemente. Ja, genau, man kann sich das sehr schön an der Restlassengruppe erklären, die ja isomorph ist zu den Drehgruppen der Figuren.

Das heißt, wenn ich eine Gruppe habe mit Primzahlordnung, dann hat die ja nur die trivialen Teile eins und die Primzahl. Und dann muss es so sein, dass jedes Element in der Gruppe die gesamte Gruppe erzeugt, weil die Ordnung der Untergruppe auch nur die gesamte Gruppe sein kann.

Wir wissen ja vom Satz von Lagrange, wir wissen durch den Satz von Lagrange, dass jede Untergruppe, dass die Ordnung einer Untergruppe ein Teile ist von der Ordnung der Gesamtgruppe. Wenn die Ordnung der Gesamtgruppe eine Primzahl ist, dann kann es ja nur die beiden trivialen Untergruppen geben.

Die eine elementige oder die mit der Primzahlordnung. Und wenn ich dann irgendein Element nehme aus der Gruppe, dann bleibt doch gar nichts anderes übrig, als dass dessen Potenzen die gesamte Gruppe erzeugen. Sie können ja keine Untergruppe erzeugen, keine echte Untergruppe. Sie können nur die Gesamtgruppe als Untergruppe erzeugen.

Weil jedes Element erzeugt ja automatisch eine zyklische Gruppe, wenn man es mit sich selbst verknüpft. Wenn ich jetzt eine zyklische Gruppe mit Primzahlordnung habe, dann gibt es nur zwei Untergruppen,

nämlich eins und die Gesamtgruppe. Und wenn jedes Element mit sich selbst verkettert wieder eine Untergruppe ergibt, muss das ja die Gesamtgruppe ergeben. Oder wenn ich Idee nehme, halt nur die triviale Einsergruppe.

Genau. Okay. Krass, oder? Dann machen wir vielleicht noch einen Satz zum Abschluss.

Das hattest du vorhin schon mal angedeutet. Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Jede zyklische Gruppe ist abelsch.

Was ist eine zyklische Gruppe? Haben wir gerade definiert?

Was war das nochmal? Ja, so im Kreis rum und so weiter. Genau. Wenn ich ein Element in der Gruppe habe, in der Menge, die die gesamte Gruppe erzeugt, mit sich selbst verkettert, dann ist es eine zyklische Gruppe. Weil ich habe ja a, a², a³, a¬4, a¬5 und so weiter bis a¬0, gleiche Neutralelement.

Ich habe so ein Zyklus sozusagen. Ich habe also die gesamte Gruppe erzeugt mit einem Element. Das heißt, alle Elemente einer zyklischen Gruppe sind Potenzen dieses erzeugenden Elements. Beweis sei a erzeugendes Element von g mit der Verknüpfung.

Jedes Element hat die Form a¬ oder a¬. Jedes Element ist eine Potenz von a. Sonst wäre es ja keine zyklische Gruppe. Seien a¬ und a¬ Element g. Das müssen wir jetzt zeigen. Also a¬ verknüpft mit a¬.

Genau. Ist gleich a¬ plus n. Das ist gleich.

Wo wollen wir hin? Wir wollen hin zu, dass es selbe wie a¬ verknüpft mit a¬. Was können wir jetzt machen?

Hier oben ist das Kometativgesetz anwenden. Genau. Bei der Addition von natürlichen Zahlen oder von ganzen Zahlen im Falle wissen wir. Genau. Fertig. Jede zyklische Gruppe ist abisch. Das heißt also, wenn ihr eine zyklische Gruppe habt und die Gruppentafel aufstellt,

eine endliche zyklische Gruppe die Gruppentafel aufstellt, dann ist sie kommutativ. Das heißt symmetrisch bezüglich der Diagonalen, die quer durch die Tabelle durchgeht.

Okay. Andersrum was? Nein. Wir haben ja n und m beliebig gewählt. Das habe ich jetzt vergessen hinzuschreiben. Nur n und m sind beliebig gewählt aus z. Genau. Links kommutativ, rechts kommutativ.

Damit könnt ihr euch in den Ferien mal beschäftigen. Genau. Was ist links kommutativ und rechts kommutativ? Ich beende mal den Stream.