Also, im Discord-Channel ist folgender Satz einfach mal in den Raum geworfen worden, mit der Bitte, ob wir den nicht mal beweisen könnten. Also, wir haben ein rechtwinkliges Dreieck. Jetzt geht es hier mal schnell. Ah, ich wollte das immer mal hier mit dem hier machen.

Also, rechtwinkliges Dreieck. Okay, rechtwinkliges Dreieck. Und, ähm, zeichnen wir es mal mit A, B, C. Die Seiten, nach der Konvention, werden ja immer die Seiten gegenüber den Ecken mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet.

Aber eigentlich ist es egal, wie man es bezeichnet. So, A, B, C, rechter Winkel, okay. So, und, ähm, die Behauptung ist, wenn ich jetzt hier einmal die Höhe einzeichne,

nennen Sie mal H, können auch HC sagen. Naja, lassen wir mal H, diese Höhe meine ich. Die Höhe, die auf C steht, auf der Seite C. Und jetzt gibt es die folgende Behauptung. 1 durch H² ist gleich 1 durch A² plus 1 durch B².

Das heißt, wenn ich das Quadrat über der Höhe habe und dann den Kehrbruch bilde, also 1 durch H² ist gleich 1 durch das Quadrat über der Seite A plus 1 durch das Quadrat über die Seite B.

So, das ist zu zeigen. So, ihr seid dran. Wie machen wir das? Wie könnte man das zeigen?

Habt ihr mal eine Idee? Was könnte man mal machen? Meistertypkit kann ich mitbekommen, dass ich heute streame. Oh, das habe ich auf allen Kanälen,

auf allen Kanälen habe ich das, ähm, gepostet. Vielleicht habe ich welche vergessen. Muss man mal sagen, wo ich es vergessen habe. Ah, die ersten Ideen. Mal hoch minus 1 nehmen. Ja, könnte man vielleicht machen. Genau. C in P und Q aufteilen. Das kann man ja mal machen.

Das wird vorgeschlagen. Jetzt C in P und Q aufteilen. Üblicherweise wird das so gemacht. Eine P unter A. Also P ist der Hypotenusenabschnitt unter A. Und Q ist der Hypotenusenabschnitt unter B. Genau. Wie es Nicka sagt, auch C wird zerlegt in C1 plus C2. Ich habe jetzt mal P und Q gewählt. Ist völlig egal. Aber so oder so machen.

Weapon of math instruction sagt, Höhensatz drauf werfen. Ja, Flodgy Kelly, von dir stammt über drei Tag auf Discord dazu. Genau. Richteck, ja. Sieht verdächtig nach dem Satz des Pythagoras aus. Nur ohne direkten rechten Winkel. Ja, naja, wir haben schon einen rechten Winkel. Hier oben bei C. Bei Punkt C haben wir einen rechten Winkel. Also wir haben schon ein rechtwinkliges Dreieck.

Pythagoras und Höhensatz irgendwie kombinieren. Ja, ja, es geht schon, es geht schon in die Richtung. Genau. Wir brauchen vielleicht mal die Satzgruppe des Pythagoras. Also es ist ganz gut, sich nochmal klarzumachen, was gilt denn eigentlich in rechtwinkligen Dreiecken

und das dann vielleicht verwenden. Genau. Da kann man irgendwie Pythagoras draufhauen. Okay, schauen wir mal. Was gilt denn hier in rechtwinkligen Dreiecken, wenn wir die Satzgruppe des Pythagoras mal betrachten? Satzgruppe des Pythagoras. Schreibe ich mal hin.

Welche Sätze kennt ihr denn? Es wurden schon zwei genannt. Satzgruppe des Pythagoras. Welche Sätze kennt ihr da? Eine wurde schon genannt. Na ja, Weapon of Mars Instruction.

Satz des Pythagoras, Höhensatz und Kathetensatz. Höhensatz heißt auch Höhensatz des Euklid und Kathetensatz des Euklid. Genau. Diese drei Sätze. Also Satz des Pythagoras. Satz des Pythagoras. Den kennt jeder. Also muss man ein bisschen aufpassen. Viele Leute sagen da a² plus b² gleich c².

Aber eigentlich ist natürlich die Summe der Kathetenquadrate ergibt das Hypotenusenquadrat. In unserem Fall ist es aber tatsächlich so, wir haben a, b und c. Also a und b sind die Katheten. Also in unserem Fall gilt tatsächlich a² plus b² gleich c².

Außerdem hat Weapon of Mars Instruction gesagt, der Höhensatz. Weapon of Mars Instruction. In den Fachanforderungen Schleswig-Holstein ist die Satzgruppe O'Dolph verankert als konzeptuelles Lernen.

Was ist damit gemeint? Kannst du es mal mit neuer Erklärung interessieren? Ist die Gruppe wenigstens abisch, die Satzgruppe? Weiß ich nicht, ob die kommutativ ist. Wir müssen mal gucken. Satzgruppe O'Dolph. Genau, jetzt waren wir beim Höhensatz. Der Höhensatz. Wie lautet der nochmal?

Wer weiß es? Höhensatz, wie lautet der? L a p·q² a.

Ah, ich glaube wahrscheinlich, ich vertippe wahrscheinlich. Ah ja, hier genau, so h² gleich p·q. Genau, also das Quadrat über der Höhe hat die gleiche Fläche wie das Rechteck mit den Seitenlängen p und q. Also wenn ich jetzt hier unten drunter,

ich skizziere das mal hier oben unter dem Dreieck, wenn ich jetzt hier, aber da ist was falsch, das müsste q sein, wenn ich jetzt hier ein Rechteck drunter skizziere mit den Seitenlängen p und q, dann hat es die gleiche Fläche wie das Quadrat mit der Kantenlänge h.

Ah, als Beispiel dafür, dass die Schülerinnen und Schüler nicht nur einfach einen Satz auf die Aufgaben draufhauen können, bis diese aufgibt. Das, was wir jetzt machen gerade, sondern das Konzept der Zusammenhänge im Dreieck auf einer konzeptuellen, nicht auf einer Anwendesebene verstehen,

also tief verstehen. Genau, verständnisorientierter Mathematikunterricht, das ist ja das, worum es im Wesentlichen gehen sollte in der Mathematik, nicht einfach nur Regeln auswendig lernen, sondern die einzelnen Sätze auch verstehen. Wir versuchen jetzt hier gerade eine Aussage zu verstehen hier oben, nämlich diese seltsame Aussage

mit den Brüchen. Okay, wir haben jetzt fast alle Aussagen zusammengetragen. Der dritte Satz aus der Satzgruppe des Pythagoras fehlt noch, der Kathetensatz.

Wie lautet der Kathetensatz? Das sind eigentlich zwei Aussagen, wie jede Kathete. Hi, MG, schön, dass du da bist. Hey, Hobi, danke fürs Folgen.

Super, herzlichen Dank. Freut mich, dass du da bist. Ja, wie lautet der Kathetensatz? Wer hat eine Idee? Oder wer weiß es? Oh, siebte Klasse, zu lange her, musste ich googeln. Deswegen frischen wir es ja gerade auf. Wir frischen gerade unser Wissen

so ein bisschen zur Satzgruppe des Pythagoras auf und beweisen mal was gemeinsam und dann gehen wir heute hier raus und erinnern uns wieder. Weiß es jemand, Kathetensatz? Ich zeige nochmal das rechtwinklige Dreieck oben. Das hat irgendwas mit A zu tun

und P. A² ist gleich C mal P. Genau, richtig. Ich skizziere es nochmal kurz hier neben dran in klein. Also ich habe hier A

und B, hier P und Q und das ganze ist C. Und A² A² das soll A² sein das ist genauso groß wie P mal C und B²

ist genauso groß wie Q mal C. Also B² ist Q mal C A² ist P mal C und demnach ist A² plus B² ist gleich P plus Q mal C also C² weil P plus Q gleich C ist. Also diese Fläche

ist gleich groß wie diese hier und diese Fläche ist gleich groß wie diese hier und demnach ist A² plus B² gleich C² Okay. Also A² ist gleich P mal C und B² ist gleich Q mal C. Okay.

Genau, Weapon of Marth Instruction die Flächen über den Katheten finden sich genauso also die Quadratflächen über den Katheten finden sich genauso in den Anteilen der Gesamtfläche unter der Hypotenuse wieder wenn man die Höhe als Aufteilung fortführt. Das ist schön formuliert, ja, genau. Sehr schön. Um mal Elemente sprech anzunähern, ja genau.

Okay. So, jetzt haben wir die Sätze und jetzt haben wir hier oben unseren Satz, den wir noch beweisen wollen. 1 durch H² ist gleich 1 durch A² plus 1 durch B². Heute stundenlang Physik aufbereitet aber kein Pythagoras mehr können. Das ist mein Humor.

Okay, lasst uns das einfach mal gucken, ob wir das jetzt hinkriegen. 1 durch H² ist gleich 1 durch A² plus 1 durch B². Wie könnte man anfangen? Wir wollen mal wirklich so richtig nach allen Regeln der Kunst beweisen und ich würde sagen wir beginnen mal auf der linken Seite bei 1 durch H²

und machen mal so lange Äquivalenzumformungen, bis wir rechts rauskommen. Bei 1 durch A² plus 1 durch B², okay? Lasst uns mal probieren. Wir fangen an mit 1 durch H². Was können wir machen? Mit all dem, was wir schon wissen, ansetzen. 1 durch H² ist was? 1 durch

P mal Q, genau. 1 durch P mal Q.

Was können wir jetzt machen? Wir müssen ja immer gucken, wo wollen wir hin? Wir wollen hin auf eine rechte Seite, in der A² und B² vorkommt. Jetzt haben wir aber weder A

noch B² hier drin, sondern P und Q. Können wir irgendwas verwenden, um P und Q zu ersetzen, um irgendwie auf A² und B² zu kommen? Was können wir machen? P umformen zu A² durch C.

Genau, wir wissen ja hier, schaut mal, A² ist P mal C. Sehr gut, genau, Jens. Genau, ZipTat auch, genau. Ja, Ruby hat die gleiche Idee, genau. Also P ist gleich A² durch C und Q ist gleich B² durch C.

Also können wir das doch jetzt hier einsetzen. Das ist also 1 durch A² durch C mal B² durch C.

Okay. Wie geht's weiter?

Ah ja, ist ein Mal, genau, ne? Wie multipliziert man Brüche? Was kommt jetzt hier raus? Ist gleich 1 durch... Ja, B-Snickers, du bist schon einen Schritt schneller als wir,

glaube ich, genau. Ich würde jetzt erst mal nur die beiden Brüche miteinander multiplizieren, ne? Also A² mal B² durch C², ne? Genau, richtig, Hela. So. Und jetzt muss man ein bisschen Bruchrechnungen regeln können, ne?

Wir holen jetzt das C² in den Zähler hoch. Es ist gleich wie C² durch A² mal B². Wenn irgendwas nicht klar ist, einhaken, ne? Also ihr könnt jederzeit Fragen stellen. Wenn ihr was nicht versteht, wenn irgendwas so schnell geht,

in den Chat hineinschreiben. Klären wir zusammen. Keiner geht hier raus und hat irgendwas nicht verstanden. Hi, korruptmango. Danke fürs Folgen. Schön, dass du da bist. Okay, also wie gesagt, wenn ihr Fragen habt, einfach Fragen, ne? Jederzeit Fragen. Keiner geht hier raus mit einer Verständnislücke.

So. Was machen wir jetzt? Wir haben rechts auf der Seite immer noch A² und B². Schonmal nicht schlecht. Da wollen wir hin, ne? Also nochmal zu allen. Wir wollen hier oben hin. Da rechts muss rauskommen 1 durch A² plus 1 durch B². So. Jens, was meinst du? Kannst du das nochmal, das zu zeigen, zeigen?

Das verstehe ich nicht ganz. Was soll ich nochmal zeigen? Genau. Wir haben auf der rechten Seite noch so ein C², was stört, ne? Hi, korruptmango. Endlich mal was Sinnvolles hier. Ah, das kann... Ja, gut, aber ich finde, die Gaming-Streams sind auch sinnvoll, ne? Und die Music-Streams. Ich habe ein paar Empfehlungen bei mir unten drin. Also Music-Streams, die ich immer ganz gerne höre auf Twitch.

Jule the Fox finde ich zum Beispiel super. Tolle Empfehlung. Reingehen, wenn der auf Techno-Musik steht, ne? Ah ja, was rumkommen soll. Genau. Also am Ende soll ich schreiben nochmal unten hin, was rauskommen soll, ja? 1 durch A² plus

1 durch B². Da muss man ein bisschen angewöhnen, mit dem Tablet auch sauberer zu schreiben. So. Das soll rauskommen am Ende. Okay? Das soll rauskommen. Und wir sind jetzt aber hier. Wir sind jetzt noch hier. Und müssen jetzt umformen, solange bis wir da unten rauskommen. Und das stört uns jetzt das C². Wie werden wir das los? Ah, Framlin hat schon einen Hinweis.

Genau. Wir können den Satz des Pythagoras verwenden, ne? C² ist A² plus B². Also A² plus B² durch A² mal B². A² plus B² durch A² mal B². So. Und was machen wir jetzt?

Wir sind kurz davor. Wir haben es fast geschafft, Leute. Kürzen? Jaja, genau, aber ähm, ja, durch Summen kürzen nur die Dummen. Hä, ja, genau. Das sind die alten Sprüche, die man so drauf hat, ne? Mag ich ehrlich gesagt nicht so gern,

weil, ähm, durch Summen kürzen nur die Dummen, wenn man sowas sagt und Leute haben das versiedelich gemacht, dann denken die, die sind dumm oder so. Ist doch Quatsch, ne? Ist doch niemand dumm. Hat halt einen Fehler gemacht. Meine Güte. Wir müssen ein bisschen aufpassen, dass wenn jemand tickt, Leute nicht den Eindruck vermitteln, sie seien dumm, weil sie irgendwas nicht verstanden haben oder irgendwas

einen Fehler gemacht haben oder so, ne? Das ist schlechtes Feedback. Das betrifft jetzt nicht dich, sondern die Leute, die das vermittelt haben, ne? Genau. In den Summen kürzen nur die ganz Schlauen. Genau. Wir teilen jetzt sozusagen die Every time you do this, a kitten dies. Oh mein Gott.

Genau. Wir können jetzt ja die Summe auseinanderziehen, ne? Also das Ganze ist jetzt, wir können zwei Brüche miteinander addieren, um auf diesen Gesamtpunkt zu kommen, nämlich a² durch a² mal b² plus b² durch a² mal b², ne?

Also wenn ihr das jetzt rückwärts denkt, dann ist es ja so, wenn ihr rückwärts denkt, dann ist es so, als hättet ihr die beiden Brüche genommen und addiert, dann bedeutet das, die Zähler werden addiert, wenn die Nenner gleichnamig sind, ne? Und die Nenner sind hier gleichnamig, a² mal b². Ich zeig's nochmal.

Also rückwärts gedacht, von hier nach da, ne? a² mal b² sind die beiden Nenner. Die beiden Brüche haben also den gleichen Nenner, also kann ich die Brüche addieren. Man muss dann nur noch die Zähler addieren und kommen auf das hier. So. Ich hab das Ganze rückwärts gemacht, ne? Wir haben das Ganze rückwärts gemacht. Wir haben es aufgeteilt, den Bruch.

Ja, und jetzt sieht man, ne? Schaut mal. Jetzt kann ich kürzen, ne? Hier kann ich a² kürzen und dort kann ich b² kürzen. Und was dann rauskommt, ist 1 durch b² plus 1 durch a². Oder 1 durch a² plus 1 durch b². Machen wir das vielleicht noch kurz.

Ich mach das mal weg, ich brauch ein bisschen mehr Platz. Also, da steht also jetzt hier 1 durch b² plus 1 durch a² und das natürlich das gleiche wie 1 durch a² plus 1 durch b². Und ich glaub, ich sag jetzt was, weil ich zum ersten Mal in einem Stream sage, nämlich

QED. Ah, wunderschön. Yay! Goal erreicht. Genau. Wir brauchen irgendein QED-Emoji. Das dann alle posten können, wenn wir irgendwas bewiesen haben, ne?

B-Snickers, das Coole ist bei dem Beweis, dass einfach jedes der drei bekannten Resultate verwendet wurde. Also eine schöne Übung eigentlich. Genau, wir haben alle 3 Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras verwendet. Um diesen einen Satz zu zeigen. Und es ist immer ein tolles Gefühl, das schreiben zu dürfen. Ja, genau.

Ich hätte noch einen anderen Beweisansatz, der ohne Höhensatz und Kathetensatz auskommt. Oh, das wär spannend. Oh, Nervous-Slipwetter, ja genau, versuch mal was zu zaubern. Das wär cool. Frank Medford, ja geil.

QED, das ist auch sehr süß. Ja. QED. QED. Roger Kelly, vielleicht willst du noch sagen, wie du das gelöst hast. Ohne Höhensatz und ohne Kathetensatz.

Kann man sich gut merken. Ja, genau. QED. Ja, das finde ich, sollten wir etablieren. QED. Roger Kelly, ich würde den Weg über den Flächeninhalt

gehen. A mal B halbe ist gleich H mal C halbe. Warte mal. Schau mal. B halbe ist gleich

C halbe. Ah ja, okay. Über den Flächeninhalt. Ah, okay. Und QED sprechen wir aus wie Dach, Admiral Wurst. Ja, genau. Also betracht das sozusagen den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen A und B.

Und A mal B halbe ist ja der Flächeninhalt des Dreiecks. Und H mal C halbe ist auch der Flächeninhalt des Dreiecks. Okay, H mal C halbe ist auch der Flächeninhalt des Dreiecks. Wollen wir mal gucken, vielleicht können wir das damit lösen. Gucken wir mal. Genau. Machen wir einen zweiten Ansatz. A mal B halbe ist gleich

H mal C halbe. Du würdest also über den Flächeninhalt gehen. Wir wollen beweisen, 1 durch H Quadrat ist gleich 1 durch A Quadrat plus 1 durch B Quadrat. Machen wir das mal zusammen, oder? Finde ich spannend jetzt. Okay, wie können wir da weitermachen?

A mal B Quadrat, A mal B durch 2 ist gleich H mal C durch 2. Wir wollen da rechts rauskommen. Was können wir da jetzt machen? Wer hat einen Vorschlag? Was machen wir als nächstes? Wollen wir jetzt von hier mal

starten und wollen nach H umstellen? Na ja, können wir mal machen, ne? Also erstmal können wir ja durch 2 können wir ja streichen, auf beiden Seiten. Also A mal B ist gleich H mal C, oder? Und dann nach H umstellen, dann ist H ist gleich A mal B durch C.

Wie geht's weiter? Nehmen wir eine Idee? Was können wir machen? Kehrwert bilden durch 1. Okay. 1 durch H ist gleich

C durch A mal B. Ach Leute, geil, geil, geil, geil. Ja, seht ihr's auch schon? Seht ihr's auch schon? Was machen wir jetzt? Geiler Ansatz, Logic Addict. Cool. Richtig geil. Was machen wir jetzt?

Wer hat eine Idee? Oh Leute, es macht so Spaß mit euch. Quadrieren, genau. 1 durch H Quadrat, also 1 Quadrat durch H Quadrat

ist gleich C Quadrat durch A mal B zum Quadrat. Das können wir noch auflösen. Noch umrechnen. C Quadrat durch A Quadrat mal B Quadrat. Okay. Ja, und jetzt sind wir genau da, wo wir vorhin waren. Das können wir jetzt eigentlich gemeinsam fertig machen.

jetzt können wir 1 durch H Quadrat ist gleich C Quadrat ersetzen durch A Quadrat plus B Quadrat. Und dann sind wir genau da, wo wir vorhin waren. Oh Mann, was eine tolle Alternativlösung.

So, und das können wir jetzt wieder A Quadrat kürzen, B Quadrat kürzen. Kommt raus, 1 durch A Quadrat plus 1 durch B Quadrat. Kommt, postet das in den Chat, Leute.

ED Logic Alley, vielen herzlichen Dank. Wow, oder? Cool. Cool. Ja, das bin ich auch richtig begeistert. Also finde

ich richtig geil. Da haben wir jetzt zwei verschiedene Beweisansätze richtig durchgearbeitet, zusammen. und sieht gut zusammen, oder? Mit uns hier. Also, ich mag das in den Streams, dass wir uns das gemeinsam überlegen. Ich hatte mir natürlich den ersten Beweisweg schon vorher ein bisschen überlegt.

Das hat aber von selbst drauf gekommen, finde ich super. Und den zweiten kannte ich nicht. Den haben wir gerade gemeinsam gemacht und hat richtig gut funktioniert. Super. Toll. So muss das laufen. Logic Alley ist einfach ein Vollprofi.

Ja. Absolut. Super. Ja, fühlt euch gerade auch so gut wie ich. Wir haben etwas nicht nur einmal bewiesen, sondern zweimal bewiesen. Doppelgemoppelt hält besser, oder?

Linux, ich muss Differential Gleichung Übung höre aber zu. Wir haben den selben Satz zweimal bewiesen auf unterschiedliche Arten. Und da wäre ich nie im Leben darauf gekommen, jetzt hier über den Flächenenhalt zu gehen. Weil da denkt man nicht dran. Ich war natürlich schon irgendwie so gebrieft auf

die Satzgruppe des Pythagoras. Auf die Satzgruppe des Pythagoras. Und was natürlich cool ist, mal die Fläche des Dreiecks zu betrachten, auf unterschiedliche Arten und Weisen auszurechnen. Also A mal B durch 2, A ist klar, weil es ein rechtwinkliges Dreieck ist, geht das. Und ganz normal Dreiecksflächenberechnung

ein halb H mal C mal H. Oder ein halb H mal C. Genau, flotche Kelle, jeder der hier zuschaut, ist automatisch Vollprofi. Das sehe ich genauso. Jens, wie froh bin ich, dass ich keine Mathe-Vorlesung mehr habe. Kommt auf die

Mathe-Vorlesung an, würde ich sagen. Ja, cool. Okay. Da haben wir schön was bewiesen. Daraus mache ich ein YouTube-Video. Das stelle ich online. Das ist bestimmt cool für die Leute. Haben wir gemeinsam gemacht. Gemeinsam unsere Lösung

kommt auf YouTube. Super. Finde ich toll.